百分比化分数：用整除条件锁定人数｜2025云南省考第60题

完整题面

60．甲和乙两个科研单位共有 99 名工作人员。其中甲单位研究人员占本单位工作人员总数的 75%，乙单 位研究人员占本单位工作人员总数的 88%。问甲单位的非研究人员比乙单位的非研究人员： A．少不到 5 人 B．少 5 人以上 C．多不到 5 人 D．多 5 人以上

第五部分 判断推理 （共 35 题，参考时限 35 分钟）

一、图形推理。请按每道题的答题要求作答。 请开始答题：

原卷页图：核对图表与选项

结论：选A，甲比乙少3名非研究人员

甲单位共有24人，其中研究人员18人、非研究人员6人；乙单位共有75人，其中研究人员66人、非研究人员9人。因此，甲单位的非研究人员比乙单位少3人，属于“少不到5人”。

题干中真正有用的约束

人数必须是整数。题目给出的75%和88%按精确比例理解，并未说明是四舍五入后的统计结果。

75% = 3/4，意味着甲单位总人数必须是4的倍数：如果总人数不能被4整除，研究人员就不能恰好占3/4。

88% = 22/25，意味着乙单位总人数必须是25的倍数。这里必须先约成最简分数，不能把100误当作人数必须整除的最小单位。

一般而言，某类人数占总人数的a/b，且a/b已经约成最简分数，那么总人数一定是b的倍数。原因是a与b互质，a×总人数/b要成为整数，只能由总人数提供分母中的因子。

首选解法：枚举取值更少的一方

两单位人数均为正整数，总人数为99。乙单位人数是25的倍数，所以只可能为25、50或75人。

乙单位总人数	甲单位总人数：99减去乙	甲是否为4的倍数
25	74	否
50	49	否
75	24	是

唯一可行的规模是甲24人、乙75人。

接下来要计算的是非研究人员。甲的非研究人员比例为1/4，乙的非研究人员比例为3/25：

甲：24×1/4 = 6人。

乙：75×3/25 = 9人。

甲减乙为6−9 = −3，负号表示甲更少，因此选择A。

这一解法的关键，是先枚举分母较大的乙单位。它只有三个候选值，核验成本很低。

独立交叉解法：整数方程与余数

设甲单位总人数为4x，乙单位总人数为25y，其中x、y均为正整数，则：

4x＋25y = 99。

比较除以4的余数：4x的余数为0，25y的余数与y相同，99的余数为3，所以y除以4余3。

又因为乙单位人数小于99，y只能取1、2、3，故y = 3。代入可得x = 6。

甲单位的非研究人员直接等于x，即6人；乙单位的非研究人员等于3y，即9人。仍得甲少3人。

再用原比例反查：18/24 = 75%，66/75 = 88%，24＋75 = 99，所有条件同时成立。

A—D逐项判断

选项	判断	依据
A．少不到5人	正确	甲少3人，且3小于5
B．少5人以上	错误	“少”的方向正确，但差额只有3人
C．多不到5人	错误	差额的绝对值虽小于5，但甲的人数更少
D．多5人以上	错误	方向与差额范围均不符合计算结果

常见错因与迁移方法

**只比较比例，不比较基数。** 甲的非研究人员占25%，高于乙的12%，但甲单位总人数更少，实际非研究人员仍少于乙。比例大小不能直接决定人数大小。

**把比例差乘以共同总人数。** 用99×（25%−12%）没有依据。两个比例分别以甲、乙各自的人数为分母，不能直接合并计算。

**列出两个未知数就认为条件不足。** 如果允许任意实数，一个总量方程通常不能确定两个未知数；本题还要求人数为正整数，比例又进一步规定了整除条件，因此能够得到唯一解。

**只用奇偶性就停止核验。** 奇偶性只能说明y为奇数，仍需区分y = 1和y = 3。比较除以4的余数，可以直接锁定y。

迁移到培训人数、合格品数量、库存销售比例等题目时，可以依次做四步：把精确比例约成最简分数；写出总量的倍数形式；结合总量、大小关系或其他条件筛选整数解；最后计算题目所问的数量，并代回全部条件。

还要检查是否真的只有一个可行解。总量增大后，同一组比例可能对应多种分配；遇到“约占”“保留整数百分比”等表述，也不能直接套用精确比例的整除结论。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】两个培训班共有94名学员。第一班完成课程的学员恰占本班的5/6，第二班完成课程的学员恰占本班的70%。已知第一班人数少于第二班，问第二班未完成课程的学员比第一班多多少人？

A．11人

B．15人

C．17人

D．21人

查看答案与解析

答案：C

设两班人数为6x、10y，则3x＋5y = 47。由余数可得y除以3余1，结合正整数范围，y只能为1、4、7，对应两班人数分别为84与10、54与40、24与70。只有24小于70，故两班未完成人数为24×1/6 = 4人、70×30% = 21人，差为17人。交叉核验：第一班完成20人，第二班完成49人，比例分别为5/6和70%，总人数94。A、B均不等于差额，D为第二班未完成人数，只有C成立。

迁移维度：在总量方程存在多组整数解时，利用两组规模的大小关系筛选，再比较人数。

原创迁移练习2

【教学模拟】某次检测包含两批产品，每件产品的结果只有合格或不合格。第一批合格率恰为87.5%，第二批合格率恰为90%，两批不合格产品数量相等。若两批产品总数超过100件，则总数最少是多少件？

A．102件

B．108件

C．112件

D．120件

查看答案与解析

答案：B

第一批不合格率为1/8，第二批为1/10。设每批不合格产品均为k件，则两批总数分别为8k、10k，合计18k。18k大于100，最小正整数k为6，所以总数最少为108件。独立核验：两批分别为48件、60件，合格42件、54件，不合格均为6件；k = 5时合计90件，尚未超过100。A、C、D均不是18的倍数，无法满足两批不合格数量相等且比例精确的条件，只有B成立。

迁移维度：把两组数量相等转化为共同整数参数，并在总量下限下求最小可行规模。

原创迁移练习3

【教学模拟】某商店期初共有甲、乙两类商品113件。完成一轮销售后，甲类售出数量恰占甲类期初数量的62.5%，乙类售出数量恰占乙类期初数量的84%。随后只补进甲类商品，期间没有其他进货、销售或损耗。若“甲类累计售出数量÷甲类期初数量与本次补货数量之和”恰为55%，则本次补进甲类商品多少件？

A．8件

B．10件

C．16件

D．12件

查看答案与解析

答案：D

62.5% = 5/8，84% = 21/25，设期初两类商品分别为8x、25y件，则8x＋25y = 113。比较除以8的余数，y除以8余1；结合1≤y≤4，得到y = 1、x = 11。因此甲类期初88件，累计售出55件。设补货z件，则55/(88＋z) = 55/100，得到88＋z = 100，z = 12。交叉核验：乙类期初25件、售出21件，21/25 = 84%；甲类55/88 = 62.5%，补货后55/(88＋12) = 55%。A、B、C对应分母96、98、104，均不等于所需的100，故只有D正确。

迁移维度：先由两种精确比例恢复初始规模，再处理分子不变、分母增加的比例变化。

原创迁移练习4

【教学模拟】某机构审核四份彼此独立的培训计划。每份计划都把全部学员分为甲、乙两班，两班人数均为正整数。表中完成率均要求精确达到，完成人数须为整数；除此之外没有其他限制。哪份计划无法实现？

计划	两班总人数	甲班完成率	乙班完成率
A	58人	75%	87.5%
B	66人	75%	90%
C	71人	80%	87.5%
D	81人	5/6	88%

A．计划A

B．计划B

C．计划C

D．计划D

查看答案与解析

答案：A

计划A要求甲班人数是4的倍数、乙班人数是8的倍数，两班总人数必为4的倍数，而58不是4的倍数，因此不能实现。逐项独立核验其余计划：B可取甲56人、乙10人，完成42人、9人，比例为75%、90%；C可取甲55人、乙16人，完成44人、14人，比例为80%、87.5%；D可取甲6人、乙75人，完成5人、66人，比例为5/6、88%。各组总人数分别为66、71、81，均符合表格。因此只有A无法实现。注意：总人数能被两分母的最大公因数整除只是必要条件，确认其余计划可行仍应给出正整数分配。

迁移维度：从求具体人数转为审核数据可行性，用公因数排除不可能方案，并用实例证明其他方案可行。

原创迁移练习5

【教学模拟】甲、乙两个工作组共有124名成员。甲组持证成员恰占本组的75%，完成安全培训的成员恰占本组的80%；这两类成员可以重合。乙组持证成员恰占本组的87.5%。已知甲组至少有40人，且人数少于乙组。问甲组未持证成员与乙组相比如何？

A．甲组多3人

B．甲组少7人

C．甲组多7人

D．甲组多15人

查看答案与解析

答案：C

甲组人数既是4的倍数，又是5的倍数，因此是20的倍数。乙组人数是8的倍数。甲组至少40人且少于乙组，结合总人数124，得到40≤甲组人数<62，所以甲只能为40人或60人。甲40人时乙84人，不是8的倍数；甲60人时乙64人，满足条件。甲未持证60×25% = 15人，乙未持证64×12.5% = 8人，甲多7人，选C。交叉核验：甲持证45人、安全培训完成48人，比例分别为75%、80%；乙持证56人，比例为87.5%；60＋64 = 124，且40≤60<64。两类甲组成员允许重合，例如重合33人、仅持证12人、仅完成培训15人即可实现。A的差额不符，B的方向相反，D把甲组未持证人数当成了差额。

迁移维度：同一总体同时满足两种精确比例时，取分母的最小公倍数，再结合规模区间筛选。