相遇后匀加速：先定时间，再求末速度｜2025云南省考第56题

完整题面

56．小张和小赵分别从甲、乙两地同时出发前往对方的出发地。小张出发时的速度是小赵的一半，两人 匀速行进 1 小时后迎面相遇。此后小张开始均匀加速，最终比小赵晚到达1 小时。问小张到达时的速 度是小赵到达时速度的多少倍： A． 5 3 B． 7 3 C． 5 6 D． 7 6

原卷页图：核对图表与选项

结论与题干依据

第56题选C，小张到达时的速度是小赵到达时速度的5/6。

随附第9页中，本题题文及四个选项完整可辨：A为5/3，B为7/3，C为5/6，D为7/6。

解题要抓住三个阶段条件：两人出发后先匀速行进1小时；相遇后只有小张改为均匀加速，小赵保持原来的速度；小张比小赵晚到达1小时。最后一个条件比较的是两人的到达时刻，不能直接当作小张加速阶段的持续时间。

首选解法：赋值速度，逐段确定时间和距离

题目只问速度之比，可以给速度赋值。设小张出发时速度为1个长度单位/小时，小赵速度为2个长度单位/小时。

**第一步，利用相遇求全程。**

两人同时相向出发，1小时后相遇，因此甲乙两地距离为：

全程 = (1 + 2) × 1 = 3个长度单位。

相遇时，小张已经走了1，小赵已经走了2。因此，小张相遇后还需要走2。

**第二步，先算小赵何时到达，再确定小张的加速时长。**

小赵始终匀速，走完全程需要：

小赵全程时间 = 3 ÷ 2 = 1.5小时。

小张比小赵晚到1小时，因此：

小张全程时间 = 1.5 + 1 = 2.5小时。

小张在出发1小时后开始加速，所以：

小张加速时间 = 2.5 - 1 = 1.5小时。

把关键数据集中起来：

对象与阶段	距离	用时	速度信息
小赵全程	3	1.5小时	始终为2
小张相遇前	1	1小时	始终为1
小张相遇后	2	1.5小时	从1开始均匀加速

**第三步，利用匀加速平均速度反求末速度。**

小张加速阶段的平均速度为：

平均速度 = 2 ÷ 1.5 = 4/3。

均匀加速时，速度随时间均匀增加，所以这一阶段满足：

平均速度 = (初速度 + 末速度) ÷ 2。

设小张到达时速度为u，则：

(1 + u) ÷ 2 = 4/3。

解得u = 5/3。

最后还要与小赵的速度2比较：

所求倍数 = (5/3) ÷ 2 = 5/6。

因此选C。

独立交叉解法：设加速度，用位移公式核验

改设小赵的恒定速度为v，小张的初速度就是v/2。

相遇前经过1小时，全程为3v/2；小赵全程用时为1.5小时，小张全程用时为2.5小时。因此，小张加速阶段仍是1.5小时，所走距离为小赵相遇前走过的距离，即v × 1小时。

设小张的加速度为a，统一以小时作为时间单位。匀加速阶段满足：

位移 = 初速度 × 时间 + 加速度 × 时间平方 ÷ 2。

代入数值：

v = (v/2) × 1.5 + a × 1.5 × 1.5 ÷ 2。

整理得a = 2v/9，故小张到达时的速度为：

末速度 = v/2 + (2v/9) × 1.5 = 5v/6。

与小赵速度v相比，仍为5/6。这个解法通过加速度和位移公式复核，与前面的平均速度法相互印证。

A—D逐项判断

仍取小张初速度为1、小赵速度为2。已确定的小张加速时间是1.5小时、加速距离是2。将各选项作为末速度比代入，可检查其是否满足这两个条件。

选项	假设的末速度比	对应小张末速度	据此算出的加速距离	判断
A	5/3	10/3	[(1 + 10/3) ÷ 2] × 1.5 = 13/4	不等于2，排除
B	7/3	14/3	[(1 + 14/3) ÷ 2] × 1.5 = 17/4	不等于2，排除
C	5/6	5/3	[(1 + 5/3) ÷ 2] × 1.5 = 2	满足条件
D	7/6	7/3	[(1 + 7/3) ÷ 2] × 1.5 = 5/2	不等于2，排除

A尤其容易误选：5/3是赋值之后小张的末速度数值，题目要求的却是两人的末速度之比，还需要除以小赵的速度2。

易错点：加速、平均速度与到达先后要分开

**“晚到1小时”不等于“加速1小时”。** 小赵在相遇后还走了0.5小时，小张又比他晚到1小时，因此小张相遇后共走1.5小时。

**相遇不代表各走一半路程。** 两人的初速度比为1∶2，相遇前的路程比也为1∶2。相遇后，小张剩余的是全程的2/3。

**全程不能统一套用初末速度平均值。** 小张先匀速、后匀加速，只有后一段满足“平均速度 = 初末速度之和的一半”。

**加速不代表最终一定超过对方。** 小张从1加速到5/3，速度确实增加，但仍低于小赵的2。这与晚到完全一致。

还可以做一次范围检查：如果小张相遇后仍以速度1行进，就需要2小时；实际只用1.5小时，说明平均速度已经提高。其平均速度4/3又介于初速度1与末速度5/3之间，运动状态合理。

迁移方法：先搭时间线，再处理变速段

同类题可以按以下顺序推进：

1. 用相遇、追及或里程记录，确定总路程及阶段路程。 2. 优先计算始终匀速一方的到达时刻。 3. 根据早到、晚到关系，求另一方的全程时间。 4. 扣除匀速、停留等阶段，单独确定匀加速阶段的时间和距离。 5. 用“末速度 = 2 × 阶段距离 ÷ 阶段时间 - 阶段初速度”求解。 6. 回到问题所问，检查需要的是速度值、速度比、时间差，还是可行范围。

如果题目改给末速度、要求到达时间，就反向使用：阶段时间 = 2 × 阶段距离 ÷ (初速度 + 末速度)。关键始终是先把各阶段划清，再使用对应关系。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】一辆巡检车沿直线同向行驶，先以6米/秒的速度匀速行驶20秒，随后立即开始匀加速行驶，30秒后到达终点。里程记录显示，这50秒内共行驶390米。另一辆测试车始终以15米/秒匀速行驶。巡检车到达终点时的速度是测试车速度的多少倍？

A．3/5

B．4/5

C．6/5

D．8/5

查看答案与解析

答案：B

匀速阶段行驶6 × 20 = 120米，因此匀加速阶段行驶390 - 120 = 270米，平均速度为270 ÷ 30 = 9米/秒。设末速度为u，则(6 + u) ÷ 2 = 9，得u = 12米/秒。所求比值为12 ÷ 15 = 4/5，选B。独立核验：加速度为(12 - 6) ÷ 30 = 0.2米/秒²，全程位移为6 × 50 + 0.2 × 30² ÷ 2 = 390米。逐项代入时，A、B、C、D对应末速度分别为9、12、18、24米/秒，对应全程距离分别为345、390、480、570米，只有B符合记录。

迁移维度：由总里程扣除匀速段，提取匀加速段；在没有相遇条件时求末速度比。

原创迁移练习2

【教学模拟】甲、乙两台运输机器人从一条直线路线的两端同时出发，前往对方的起点。甲最初以30米/分钟匀速行驶，乙始终以60米/分钟匀速行驶，两台机器人在出发10分钟后相遇。相遇后甲立即开始匀加速行驶，到达终点时的速度恰为乙速度的3/2。两台机器人相遇及交会均不耗时。甲比乙晚到达多少分钟？

A．3分钟

B．4分钟

C．5分钟

D．10分钟

查看答案与解析

答案：C

全程为(30 + 60) × 10 = 900米。乙全程用时900 ÷ 60 = 15分钟。甲相遇后剩余600米，末速度为60 × 3/2 = 90米/分钟，加速阶段平均速度为(30 + 90) ÷ 2 = 60米/分钟，所以加速时间为600 ÷ 60 = 10分钟。甲全程用时20分钟，比乙晚5分钟，选C。独立核验：甲的加速度为(90 - 30) ÷ 10 = 6米/分钟²，加速段位移为30 × 10 + 6 × 10² ÷ 2 = 600米。若分别按A、B、C、D的时间差计算，甲加速时间为8、9、10、15分钟；在初末速度已确定的情况下，对应加速距离为480、540、600、900米，只有C满足剩余600米。

迁移维度：反向求解：已知末速度比，用匀加速平均速度求阶段时间和到达时间差。

原创迁移练习3

【教学模拟】在一条直线测试道上，终点坐标为90米。计时开始时，甲车位于20米处，以4米/秒向终点匀速行驶；乙车位于0米处，以6米/秒向终点匀速行驶。乙追上甲的瞬间，甲开始匀加速行驶，此后乙仍保持原速。两车均沿坐标增大的方向行驶，追及交会不耗时，甲最终比乙晚1秒到达终点。甲到达终点时的速度是乙速度的多少倍？

A．1

B．4/3

C．3/2

D．2

查看答案与解析

答案：A

追及时间为20 ÷ (6 - 4) = 10秒，追及位置为6 × 10 = 60米。两车此时距终点均为30米，乙还需30 ÷ 6 = 5秒。甲晚到1秒，所以加速段用时6秒，平均速度为30 ÷ 6 = 5米/秒。由(4 + 末速度) ÷ 2 = 5，得末速度为6米/秒，与乙速度之比为1，选A。独立核验：甲的加速度为(6 - 4) ÷ 6 = 1/3米/秒²，加速段位移为4 × 6 + (1/3) × 6² ÷ 2 = 30米；甲总用时16秒，乙总用时90 ÷ 6 = 15秒，恰好相差1秒。B、C、D对应甲末速度8、9、12米/秒，在6秒内的位移分别为36、39、48米，均不符合30米。

迁移维度：将迎面相遇迁移为同向追及，先用速度差确定变速起点，再求末速度比。

原创迁移练习4

【教学模拟】甲、乙两辆模型车从直线轨道两端同时出发，前往对方的起点。甲最初以20米/分钟匀速行驶，乙始终以30米/分钟匀速行驶，两车在出发8分钟后相遇。相遇后，甲先保持原速继续行驶1分钟，再开始匀加速行驶，直至到达终点。甲比乙晚3分40秒到达。相遇交会不耗时，途中均不停留。甲到达时的速度是乙速度的多少倍？

A．5/6

B．1

C．4/3

D．7/6

查看答案与解析

答案：D

全程为(20 + 30) × 8 = 400米。乙全程用时400 ÷ 30 = 13分20秒，甲全程用时为13分20秒 + 3分40秒 = 17分钟。甲在开始加速前共匀速行驶9分钟，走了20 × 9 = 180米，因此加速段用时8分钟、距离220米。加速段平均速度为220 ÷ 8 = 27.5米/分钟，末速度为2 × 27.5 - 20 = 35米/分钟。所求比值为35 ÷ 30 = 7/6，选D。独立核验：加速度为(35 - 20) ÷ 8 = 15/8米/分钟²；全程位移为20 × 17 + (15/8) × 8² ÷ 2 = 400米。A、B、C、D对应末速度25、30、40、35米/分钟，在8分钟加速段内分别行驶180、200、240、220米，只有D满足剩余路程。

迁移维度：识别相遇时刻与加速起点不同，准确扣除延续匀速阶段的时间和距离。

原创迁移练习5

【教学模拟】甲、乙两台小车从一条直线路线的两端同时出发，前往对方的起点。甲最初以30米/分钟匀速行驶，乙始终以60米/分钟匀速行驶，出发20分钟后相遇。相遇后，甲立即以恒定的正加速度行驶至终点，且这一阶段的速度始终不超过60米/分钟。两车交会不耗时，途中均不停留。下列哪一个数值可能是甲比乙晚到达的时间？

A．10分钟

B．15分钟

C．20分钟

D．30分钟

查看答案与解析

答案：C

全程为(30 + 60) × 20 = 1800米，乙全程用时30分钟。甲相遇后还需行驶1200米。设甲晚到d分钟，则甲的加速时间为30 + d - 20 = 10 + d分钟，末速度为2400 ÷ (10 + d) - 30。甲以正加速度行驶且速度不超过60米/分钟，所以末速度必须大于30且不大于60。逐项代入：A的末速度为90，超过上限；B为66，超过上限；C为50，满足条件；D为30，对应零加速度，不满足正加速度要求。因此选C。独立核验：选C时甲加速30分钟，加速度为(50 - 30) ÷ 30 = 2/3米/分钟²，加速段位移为30 × 30 + (2/3) × 30² ÷ 2 = 1200米；甲全程50分钟，比乙晚20分钟。由平均速度范围30 < 平均速度 ≤ 45，还可推出晚到时间范围为16分40秒 ≤ d < 30分钟，四个选项中也只有20分钟落在范围内。

迁移维度：从精确求值迁移到可行性判断，结合正加速度和速度上限筛选到达时间差。