中点分高与补形求面积｜2025云南省考第58题

完整题面

58．某梯形区域 ABCD 的俯视图如下图所示，AB、BC、AD 长度相等，且为 CD 长度的一半，E、F、G 分别为所在边的中点。现打算在阴影区域建艺术广场，如果梯形 ABCD 的总面积为 120 亩，问艺术 广场的面积为多少亩：

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A．80 B．50√3 C．40√3 + 30 D．100

原卷页图：核对图表与选项

结论与原图核验

第58题选D，艺术广场面积为100亩。

已逐一查看所附第9页和第10页：第9页提供题干，第10页提供完整图形及四个选项。结合文字与图形可确定：AB∥CD，AB=AD=BC，CD=2AB；E、F、G分别是AD、AB、BC的中点。阴影区域的边界依次为D—E—F—G—C，梯形内未涂阴影的部分只有三角形AEF和三角形BFG。

解题所需的关键条件是CD=2AB、中点关系和阴影边界。AD=BC说明梯形为等腰梯形，但面积比例并不需要先求腰长、角度或实际高度。

首选解法：总面积减去两个小三角形

设AB=a，CD=2a，梯形的高为h。

F是AB的中点，所以AF=FB=a/2。

E是AD的中点。沿直线AD从A走到D，到平行底边AB的距离由0均匀增加到h，因此E到AB的距离为h/2。同理，G到AB的距离也是h/2。

这里要区分两件事：AE是腰的一部分，h/2才是以AF为底计算三角形AEF面积时所用的高。不能把斜边AE直接当作高。

于是：

- 三角形AEF面积=(a/2)×(h/2)÷2=ah/8。 - 三角形BFG面积同样为ah/8。 - 两块空白面积之和=ah/4。 - 梯形面积=(a+2a)×h÷2=3ah/2。

空白部分占整个梯形的比例为：

(ah/4)÷(3ah/2)=1/6。

所以阴影占5/6，艺术广场面积为：

120×5/6=100亩。

也可以先算空白面积：120×1/6=20亩，再用120−20=100亩。

独立交叉解法：把阴影拆成三个三角形

连接FD、FC，阴影被分成三角形FDC、三角形FDE和三角形FGC。这条路径直接加阴影面积，不沿用上面的“总面积减空白”运算。

先看三角形FDC。它以CD为底，高与梯形相同，因此：

三角形FDC面积÷梯形面积=CD÷(AB+CD)=2/3。

所以三角形FDC面积为120×2/3=80亩。

梯形剩余的三角形FAD和三角形FBC，面积合计120−80=40亩。两者的底AF、FB相等，高均为h，所以各为20亩。

E是AD的中点。三角形FDE与三角形FDA以同一直线AD上的线段为底，从F到AD的高相同，且DE=AD/2，因此三角形FDE面积是20×1/2=10亩。同理，三角形FGC面积为10亩。

阴影面积=80+10+10=100亩，与首选解法一致。

还可用中位线作快速复核：连接EG，则EG=(AB+CD)/2=3a/2，到两底的距离均为h/2。阴影由下方梯形DEGC与上方三角形EFG组成，两者面积分别为7ah/8、3ah/8，合计5ah/4；除以整个梯形面积3ah/2，仍为5/6。

A—D逐项判断

选项	判断	核验依据
A：80	错误	80亩恰好是三角形FDC的面积，尚未计入左右两块阴影三角形FDE、FGC，各漏算10亩。
B：50√3	错误	约为86.60亩，与准确结果100亩不符。即使利用腰长求出含√3的高度，计算面积比时高度也会约去。
C：40√3+30	错误	约为99.28亩，虽然接近100亩，但题目求准确面积，不能按接近程度选取。
D：100	正确	空白面积占1/6，阴影占5/6，120×5/6=100。

对B、C只能根据计算结果判错；没有证据支持把某一种特定误算过程说成它们唯一的设计来源。

常见错因

**把“中点”直接理解成面积减半。** 面积是否减半，要看所比较的三角形是否同高，以及底边是否减半。三角形AEF相对于三角形FAD，确实因AE=AD/2且同高而面积减半；相对于整个梯形，则不能直接这样判断。

**只看到底边减半，漏掉高度也减半。** 以AF为底时，AF=AB/2，E到AB的距离又是梯形高度的一半。两个比例都必须进入三角形面积公式。

**将阴影当成三角形FDC。** 阴影边界经过E、G，两侧仍有面积，不能直接以折线DF、FC替代原边界。

**被根号选项带去求实际边长。** 由等腰条件确实可以求高与AB的比例，但总面积已经给出，目标又是其中一部分的面积，先求比例更直接。选项中出现根号，不代表解法必须出现根号。

迁移方法：把位置关系改写成高度比例

遇到这类题，可以按以下顺序处理：确认阴影边界；识别总图形与空白图形；把中点或分点关系转成垂直距离的比例；求部分面积与总面积的比；最后代入总面积。

一个实用推广是：设梯形上底为a、下底为b、高为h；E、G仍是两腰中点，而F可以是上底AB上的任意一点。两块空白面积之和为：

AF×(h/2)÷2+FB×(h/2)÷2

=(AF+FB)×h/4=ah/4。

因此，空白占比=a÷[2(a+b)]，阴影占比=1−a÷[2(a+b)]。

这说明：只要E、G仍是两腰中点，F沿上底移动并不会改变阴影总面积，因为一侧增加的空白面积恰好抵消另一侧减少的面积；梯形是否等腰也不影响这一结论。

如果E、G的分点比例不同，就不能直接套用上述抵消结论。设AE/AD=p、BG/BC=q，AF=x，则E、G到AB的距离分别为ph、qh，两块空白面积之和为：

h×[px+q(a−x)]÷2。

当p=q时，F的位置被约去；当p≠q时，F的位置会影响面积。若F移到梯形内部，则应重新识别各块图形及实际高度，不能继续把AF、FB当作上底上的两段使用。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】一个凸梯形ABCD的顶点依次排列，AB∥CD，上底AB长30米，下底CD长50米，总面积为320平方米，不要求两腰相等。E、G分别为AD、BC的中点，F在AB上且AF∶FB=1∶2。沿D—E—F—G—C—D围成的五边形用作展示区。展示区面积是多少平方米？

A．240

B．250

C．260

D．280

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答案：C

梯形高为320×2÷(30+50)=8米。E、G到AB的距离均为4米，AF=10米、FB=20米。两块空白三角形面积分别为10×4÷2=20、20×4÷2=40平方米，展示区面积为320−20−40=260平方米。独立复核：EG为中位线，长40米；下方梯形DEGC面积为(40+50)×4÷2=180平方米，上方三角形EFG面积为40×4÷2=80平方米，合计260平方米。四个选项中只有C符合。

迁移维度：去掉等腰条件，并将上底分点改为非中点，检验同高三角形面积之和只取决于两段底边之和。

原创迁移练习2

【教学模拟】凸梯形ABCD满足AB∥CD，且CD>AB。E、F、G分别为AD、AB、BC的中点。梯形总面积为200平方米，五边形D—E—F—G—C—D的面积为175平方米。下底CD的长度是上底AB的多少倍？

A．2倍

B．3倍

C．4倍

D．5倍

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答案：B

空白面积为200−175=25平方米，占总面积的1/8。设上底为a、下底为b、高为h，两块空白三角形总面积为ah/4，梯形面积为(a+b)h/2，因此a/[2(a+b)]=1/8，得8a=2a+2b，故b=3a。独立复核：将下底与上底的比记作r，阴影比例为1−1/[2(1+r)]。依次代入选项2、3、4、5，得到5/6、7/8、9/10、11/12；题设175/200=7/8，只有B符合。

迁移维度：由已知保留面积反求上下底比例，将正向面积计算转化为比例方程。

原创迁移练习3

【教学模拟】凸梯形ABCD中，AB∥CD，AB=18米，CD=30米，高为12米。E在AD上，满足AE∶ED=1∶2；G在BC上，满足BG∶GC=2∶1；F在AB上，满足AF∶FB=2∶1。五边形D—E—F—G—C—D的面积是多少平方米？

A．216

B．228

C．252

D．240

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答案：D

梯形面积为(18+30)×12÷2=288平方米。AF=12米、FB=6米；E到AB的距离为12×1/3=4米，G到AB的距离为12×2/3=8米。两块空白面积分别为12×4÷2=24、6×8÷2=24平方米，所求为288−48=240平方米。独立复核：连接FD、FC，三角形FDC面积为30×12÷2=180平方米；三角形FAD面积为12×12÷2=72平方米，其中FDE占DE/DA=2/3，面积48平方米；三角形FBC面积为6×12÷2=36平方米，其中FGC占GC/BC=1/3，面积12平方米。合计180+48+12=240平方米，只有D符合。

迁移维度：两腰分点比例不同，用各自的高度比例计算，避免误套两个空白三角形等面积或中点公式。

原创迁移练习4

【教学模拟】凸梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24米，CD=36米，高为10米。E在AD上，AE∶ED=1∶3；G在BC上，BG∶GC=3∶1。点F在上底AB上移动，且6米≤AF≤18米。五边形D—E—F—G—C—D的面积最大为多少平方米？

A．255

B．240

C．225

D．270

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答案：A

梯形总面积为(24+36)×10÷2=300平方米。E、G到AB的距离分别为2.5米、7.5米。设AF=x米，则FB=24−x米，空白面积为[x×2.5+(24−x)×7.5]÷2=90−2.5x，五边形面积为210+2.5x。它随x增大而增大，在x=18时达到最大值255平方米。独立复核：此时AF=18米、FB=6米。连接FD、FC，三角形FDC面积为180平方米；三角形FDE面积为(18×10÷2)×3/4=67.5平方米；三角形FGC面积为(6×10÷2)×1/4=7.5平方米，合计255平方米。并且F每向B移动1米，两块空白面积分别增加1.25、减少3.75平方米，阴影净增2.5平方米，验证最大值确在允许区间右端。只有A符合。

迁移维度：把分点位置作为变量，通过面积变化率与区间端点求最大值。

原创迁移练习5

【教学模拟】等腰梯形ABCD中，AB∥CD，上底AB=16米，下底CD=32米，高为18米。E、G分别为AD、BC的中点。点F位于梯形的对称轴上、梯形内部，且F到下底所在直线CD的距离为12米。沿D—E—F—G—C—D围成的五边形用作活动区。活动区面积是多少平方米？

A．252

B．288

C．324

D．360

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答案：B

EG是梯形中位线，长(16+32)÷2=24米，到CD的距离为18÷2=9米。F到CD的距离为12米，因此F到EG的距离为12−9=3米。活动区可拆为梯形DEGC和三角形EFG，面积分别为(32+24)×9÷2=252、24×3÷2=36平方米，合计288平方米。独立复核：整个梯形面积为(16+32)×18÷2=432平方米；上半梯形ABGE面积为(16+24)×9÷2=180平方米，其中活动区只占三角形EFG的36平方米，所以空白为180−36=144平方米，活动区为432−144=288平方米。只有B符合。若把F到CD的12米直接当作三角形EFG的高，会得到错误结果；该三角形的底在EG上，必须先减去EG到CD的9米。

迁移维度：将尖点移入梯形内部，重新确定三角形实际高度，并用下方梯形加上方三角形求面积。