先合并人数，再用组合计数求概率｜2025云南省考第54题
内容摘要：从原题条件出发，逐项核验选项；配5道完整原创迁移练习及独立解析。
完整题面
54．某公司甲部门男性员工比女性多 2 人，乙部门女性员工比男性多 3 人。已知甲、乙两部门女性员工共 6 人，问从甲、乙两部门中随机选出 4 人，恰好选到 2 名男员工和 2 名女员工的概率是： A． 4 11 B． 5 11 C． 2 33 D． 5 66
原卷页图：核对图表与选项
结论与题干依据
第54题选B，所求概率为5/11。
原图中的关键条件是：甲部门男性比女性多2人，乙部门女性比男性多3人，两部门女性合计6人；从两部门员工中随机选出4人，要求恰好2男2女。原图四个选项分别为A项4/11、B项5/11、C项2/33、D项5/66。
解题的关键有两步：先把两个部门的人数差合并，确定抽样总体；再把“选出4人”和“恰好2男2女”分别转化为组合数。
首选解法：人数差相加，再数无序小组
第一步：求出男女总人数
统一用“男性人数－女性人数”表示差额：
- 甲部门的差额为+2。 - 乙部门的差额为－3。 - 两部门合计差额为2－3＝－1。
因此，两部门男性总数比女性总数少1人。女性有6人，所以男性有5人，总人数为11人。
这里不需要分别求甲、乙各有多少名男女员工。题目从两个部门合并后的人员中抽取，决定概率的是合并后的男女总数。
第二步：计算所有可能的小组数
用C(n,k)表示从n个不同对象中选出k个、不考虑顺序的选法数。
从11人中随机选出4人，总小组数为：
C(11,4)＝11×10×9×8÷(4×3×2×1)＝330。
第三步：计算符合要求的小组数
从5名男性中选2名，有C(5,2)＝10种选法；从6名女性中选2名，有C(6,2)＝15种选法。
每一种男性组合都能与每一种女性组合配成一个小组，因此符合要求的小组数为：
C(5,2)×C(6,2)＝10×15＝150。
所求概率＝150/330＝5/11，选B。
独立交叉解法：依次抽取，汇总全部性别顺序
先用另一种方式核验人数。设甲部门女性为x人，则甲部门男性为x＋2人；乙部门女性为6－x人，男性为3－x人。男性合计为：
(x＋2)＋(3－x)＝5人。
再把随机选4人理解为依次不放回抽取4人。只考虑一种指定顺序“男、男、女、女”，其概率为：
5/11×4/10×6/9×5/8＝5/66。
但“恰好2男2女”允许多种抽取顺序。4个位置中选2个位置放男性，共有C(4,2)＝6种性别顺序。每种顺序的概率相同，且这些事件互不重叠，因此：
所求概率＝6×5/66＝5/11。
两条计算路径得到一致结果，也解释了D项为什么容易被误选：5/66只对应一种指定性别顺序。
A—D逐项判断
| 选项 | 数值核验 | 判断 |
|---|---|---|
| A：4/11 | 换成分母330后为120/330，与实际150个合格小组不符 | 错误 |
| B：5/11 | 等于150/330，与组合计数及依次抽取两种方法均一致 | 正确 |
| C：2/33 | 换成分母330后为20/330，与实际合格小组数不符 | 错误 |
| D：5/66 | 等于一种指定性别顺序的概率，尚需乘6 | 错误 |
A、C项可用计数结果直接排除，无须臆测其命题错因。
易错点：总体、顺序与抽样方式
**人数差必须统一方向。**“甲男比女多2人”与“乙女比男多3人”方向相反，统一成男减女后才能相加；不能把2和3直接相加。
**“从两部门中选4人”没有部门配额。**题目没有要求甲、乙各出2人，也没有要求两个部门都有人入选。擅自添加这些限制，会改变样本空间。
**随机选人属于不放回抽样。**一人入选后不能再次入选，依次抽取时分母应为11、10、9、8。直接使用固定比例相乘，相当于改变了抽样模型。
**分子、分母必须使用一致的计数口径。**用组合数时，分子、分母都数无序小组；用依次抽取时，必须计入所有符合要求的顺序。已经使用C(5,2)×C(6,2)计数，就不能再额外乘6。
迁移方法
遇到“多个部分各自给人数差，再从总体抽样”的题，可依次处理：
1. 统一差额方向，将各部分差额相加，求总体分类人数。 2. 明确抽样规则，判断是合并抽样、分组配额抽样，还是已有固定入选对象。 3. 在等可能的无序子集抽样下，用“符合要求的小组数÷全部小组数”。 4. 对“至少”事件考虑补集；对附加已知条件的事件重新确定分母。
若总体共有a个第一类对象、b个第二类对象，等可能地选出k个，恰好选到r个第一类对象的概率为：
C(a,r)×C(b,k－r)÷C(a＋b,k)。
使用前应检查r不超过a，k－r不超过b。公式成立的前提是每个k人子集等可能；若规定每个部门各选若干人，就需要分别计数。
5道原创迁移练习
以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。
原创迁移练习1
【教学模拟】甲、乙两盘中装有大小、质地相同的红色和蓝色玻璃珠。甲盘蓝珠比红珠多3枚，乙盘红珠比蓝珠多1枚，两盘红珠合计5枚。将两盘玻璃珠充分混合，等可能地随机取出3枚，不放回。取出的玻璃珠中两种颜色都出现的概率是多少？
A．35/44
B．7/11
C．9/44
D．5/11
查看答案与解析
答案：A
统一按蓝珠减红珠计算，总差额为3－1＝2枚，因此共有蓝珠7枚、红珠5枚，总计12枚。全部3枚子集共有C(12,3)＝220种。“两种颜色都出现”的反面是3枚同色，同色选法为C(7,3)＋C(5,3)＝35＋10＝45种。所以概率为(220－45)/220＝35/44，选A。独立核验：恰好1红2蓝有C(5,1)×C(7,2)＝105种，恰好2红1蓝有C(5,2)×C(7,1)＝70种，合计175种，175/220仍为35/44。B、D分别为140/220、100/220，均不等于175/220；C项9/44＝45/220，是取到3枚同色的概率。
迁移维度：由人数差迁移到物品差额，并将“恰好分类配额”改为“两类均出现”，训练补集法与直接分类计数的互相核验。
原创迁移练习2
【教学模拟】某活动候选名单有6名策划人员、4名设计人员，每人只属于其中一类。组织者已指定其中1名设计人员担任组长，再从其余9人中等可能地随机选出4人，与组长组成5人小组。最终小组恰好包含3名策划人员和2名设计人员的概率是多少？
A．5/42
B．10/21
C．8/21
D．5/14
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答案：B
组长已经占用1个设计人员名额，剩余候选人为6名策划人员、3名设计人员。还需选3名策划人员和1名设计人员，因此概率为C(6,3)×C(3,1)÷C(9,4)＝20×3÷126＝10/21，选B。独立核验：剩余4人的一种指定类别顺序“策划、策划、策划、设计”的概率为6/9×5/8×4/7×3/6＝5/42；设计人员可处在4个位置，合计4×5/42＝10/21。A项只计算一种顺序；C项8/21可由误把组长放回候选池、使用C(6,3)×C(4,1)÷C(10,4)得到；D项5/14＝C(6,2)×C(3,2)÷C(9,4)，对应最终2名策划、3名设计，目标人数相反。
迁移维度：加入已固定入选的对象，训练同时调整抽样总体与剩余配额，避免直接套用原总体。
原创迁移练习3
【教学模拟】两个工作室的候选人构成如下，每人只属于表中一类。
| 工作室 | 创意类人数 | 分析类人数 |
|---|---|---|
| 甲 | 3 | 2 |
| 乙 | 2 | 3 |
现从甲工作室等可能地随机选2人，从乙工作室等可能地随机选2人，两次选择相互独立。最终4人中恰好有2名创意类、2名分析类人员的概率是多少？
A．10/21
B．9/25
C．23/50
D．1/2
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答案：C
必须遵守每个工作室各选2人的配额，总选法为C(5,2)×C(5,2)＝100种。按甲、乙入选创意类人数分类：分别为0、2时，有C(2,2)×C(2,2)＝1种；分别为1、1时，有(3×2)×(2×3)＝36种；分别为2、0时，有C(3,2)×C(3,2)＝9种。合格选法共1＋36＋9＝46种，概率为46/100＝23/50，选C。独立核验：最终创意类人数为0、1、3、4的选法数依次为3、24、24、3，反面共54种，所求为1－54/100＝23/50。A项10/21是将全部10人合并后直接随机选4人的概率，与规定抽法不同；B项9/25只保留两边各选1名创意类的36种情况；D项1/2也不等于46/100，人数对称不能直接推出事件概率为一半。
迁移维度：区分合并抽样与按组配额抽样，通过分类枚举建立正确样本空间。
原创迁移练习4
【教学模拟】一个盒子中有4枚金色筹码和5枚银色筹码，所有筹码大小、质地相同。等可能地随机取出3枚，不放回。在已知取出的3枚中至少有1枚金色筹码的条件下，恰好取到2枚金色、1枚银色筹码的概率是多少？
A．5/14
B．22/37
C．15/32
D．15/37
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答案：D
附加条件要求将样本空间限制在“至少1金”的3枚子集中。这样的子集有C(9,3)－C(5,3)＝84－10＝74种；其中恰好2金1银有C(4,2)×C(5,1)＝6×5＝30种。条件概率为30/74＝15/37，选D。独立核验：在至少1金的范围内，恰好1金、2金、3金的选法依次为C(4,1)×C(5,2)＝40种、30种、C(4,3)＝4种，合计74种，目标占30/74。A项5/14＝30/84遗漏了条件对分母的限制；B项22/37＝44/74是条件范围内“不恰好2金”的概率；C项15/32与30/74不等，不能由正确的条件样本空间得到。
迁移维度：在不放回抽样中加入已知条件，训练缩小样本空间以及条件概率与无条件概率的区分。
原创迁移练习5
【教学模拟】一个袋中共有12枚大小、质地相同的红色或蓝色筹码，两种颜色各至少2枚。若从袋中等可能地随机取出3枚，不放回，恰好取到2红1蓝的概率是恰好取到1红2蓝概率的3/2。现将筹码全部放回并充分混合，再等可能地随机取出4枚，不放回，恰好取到2红2蓝的概率是多少？
A．14/33
B．7/99
C．7/33
D．7/12
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答案：A
设红色筹码r枚、蓝色筹码b枚，则r＋b＝12。两个3枚抽样事件分母相同，概率之比等于C(r,2)×b÷[r×C(b,2)]＝(r－1)/(b－1)＝3/2。由2r－2＝3b－3及r＋b＝12，解得r＝7、b＝5。全部放回后总体恢复，抽4枚恰好2红2蓝的概率为C(7,2)×C(5,2)÷C(12,4)＝21×10÷495＝14/33，选A。独立核验：指定顺序红红蓝蓝的概率为7/12×6/11×5/10×4/9＝7/99，符合2红2蓝的顺序共有6种，合计6×7/99＝14/33。B项只计一种顺序；C项仅为正确概率的一半；D项7/12是单次抽到红色的概率。反向代入也有C(7,2)×5＝105、7×C(5,2)＝70，二者之比确为3/2。
迁移维度：先利用同一抽样规模下的概率比反推总体构成，再完成新的不放回抽样计算，训练组合式约分与逆向建模。
引用与权威来源
常见问题
第54题的参考作答和依据是什么？
参考作答B。依据所附第9页原图，甲部门男性减女性为2人，乙部门男性减女性为－3人，合计男性比女性少1人。女性共6人，故男性5人、总体11人。随机选4人的总选法为C(11,4)＝330，恰好2男2女的选法为C(5,2)×C(6,2)＝150，概率为150/330＝5/11，对应B。
本篇提供多少道原创迁移练习？
本篇含5道完整原创迁移练习，提供选项、参考答案与解析。原创情境和数据均为教学模拟。