连续事件的概率比：先求单次比，再乘方｜2025云南省考第55题

完整题面

55．某种农作物一年一熟，每次种植均有 0.2 的概率歉收，有 0.3 的概率丰产。问该农作物连续 3 年丰产 的概率是连续 3 年歉收概率的多少倍： A．2.5 以下 B．2.5～3 之间 C．3～4.5 之间 D．4.5 以上

原卷页图：核对图表与选项

答案为C。按各年收成相互独立的考试模型，连续3年丰产与连续3年歉收的概率之比为3.375，落在“3～4.5之间”。

**题干依据与模型边界**

一年一熟，所以连续3年对应3次种植；单次歉收概率为0.2，单次丰产概率为0.3。题目比较的是两个连续事件的概率，要求用“连续3年丰产的概率”除以“连续3年歉收的概率”。

需要说明：原题没有明写“各年相互独立”。本题按数量关系考试中采用的各年独立模型计算；这一点属于建模前提，不能把它说成原文明示的条件。仅有每年的边际概率相同，并不能在一般概率模型中保证连续事件的概率等于单次概率的三次方。

**首选解法：直接计算概率比**

在各年独立的模型下：

连续3年丰产的概率＝0.3×0.3×0.3；

连续3年歉收的概率＝0.2×0.2×0.2。

先把同一年对应的概率相除：

概率比＝(0.3÷0.2)×(0.3÷0.2)×(0.3÷0.2)

＝1.5×1.5×1.5

＝3.375。

这种方法省去了分别计算两个小数概率的步骤。只要比较的两个事件持续次数相同，且各次试验满足相应的独立条件，就可以优先考虑“单次概率比的乘方”。

**独立交叉解法：分别计算，再核对区间**

连续3年丰产的概率＝0.027；连续3年歉收的概率＝0.008。

0.027÷0.008＝27÷8＝3.375。

还可以直接核验选项区间：

3×0.008＝0.024，小于0.027；

4.5×0.008＝0.036，大于0.027。

因此，所求倍数严格介于3与4.5之间，与首选解法一致。

**A—D逐项判断**

选项	给定范围	判断依据
A	2.5以下	3.375大于2.5，排除
B	2.5～3之间	3.375大于3，排除
C	3～4.5之间	3小于3.375，且3.375小于4.5，正确
D	4.5以上	3.375小于4.5，排除

结果没有落在区间端点上，因此不涉及端点是否包含的问题。

**常见错因**

1. 只算0.3÷0.2＝1.5。这比较的是单年概率，漏掉了连续3年的条件。 2. 用0.3×3或0.2×3计算连续事件。独立事件同时发生应当连乘；直接相加不能表达“每一年都发生”。 3. 把“连续3年丰产”改成“3年中至少1年丰产”。后者才适合用1减去“3年均未丰产”的概率，两者对应不同事件。 4. 把歉收与丰产当成互补事件。0.2＋0.3＝0.5，题目还允许出现既不歉收也不丰产的收成，不能把丰产概率写成1－0.2。 5. 把两个概率的比值当成差值。题目问“是多少倍”，应做除法；若问“高多少个百分点”，才比较概率之差。

**怎样迁移到新题**

先把文字翻译成明确事件，再检查独立性，最后选择计算形式。

若每次目标事件的概率分别固定为p、q，连续n次全部发生的概率比为(p÷q)的n次方。若不同阶段概率不同，就分别求出每个阶段的概率比，再连乘。

若题目出现“恰好若干次”，还要检查排列位置的数量。只有两个事件的排列数相同，相关系数才能约去。若出现“至少一次”，应优先检查能否用对立事件简化。

若后一次的概率取决于前一次状态，则应沿指定路径使用条件概率连乘。例如连续处于某状态3轮，应计算“首轮进入该状态的概率×第二轮继续保持的条件概率×第三轮继续保持的条件概率”，不能直接对首轮概率乘方。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

以下数据均为教学模拟。甲生产线单件产品不合格的概率为0.2，乙生产线单件产品不合格的概率为0.4，各件产品的检验结果相互独立。从两条生产线各随机抽取3件产品，甲线所抽产品全部合格的概率，是乙线所抽产品全部合格概率的多少倍？

A．9/4

B．64/27

C．16/9

D．4/3

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答案：B

先由不合格概率求合格概率：甲为0.8，乙为0.6。所求比值＝(0.8÷0.6)的3次方＝(4/3)的3次方＝64/27，选B。独立交叉核验：两事件概率分别为0.512和0.216，相除为512/216＝64/27。逐项核对：A＝2.25，B约为2.37037，C约为1.77778，D约为1.33333，只有B与结果一致。C、D分别对应少乘一次、少乘两次；A也不等于实际比值。

迁移维度：先用互补关系求目标事件概率，再计算连续独立事件的概率比。

原创迁移练习2

以下数据均为教学模拟。某信号模拟器每轮恰好输出强信号、弱信号、无信号三种结果之一，概率依次为0.3、0.2、0.5，各轮相互独立。连续观察3轮，出现“恰好2轮强信号、1轮无信号，顺序不限”的概率，是出现“恰好2轮弱信号、1轮无信号，顺序不限”概率的多少倍？

A．3/2

B．27/8

C．9/4

D．27/4

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答案：C

前一事件中，无信号可出现在3个位置，概率为3×0.3×0.3×0.5＝0.135；后一事件同样有3种位置安排，概率为3×0.2×0.2×0.5＝0.06。比值为0.135÷0.06＝2.25＝9/4，选C。独立交叉核验：相同的排列数3和无信号概率0.5约去，直接得到(0.3÷0.2)的2次方＝9/4。逐项核对：A＝1.5，漏掉一次目标信号；B＝3.375，误按3轮均为目标信号；C＝2.25，符合计算；D＝6.75，多乘了一个排列系数。

迁移维度：从连续全部发生迁移到指定次数事件，识别并约去相同的排列系数。

原创迁移练习3

以下数据均为教学模拟。两套处理方案都需要依次通过三个环节才算完成任务。对同一方案而言，各环节通过与否相互独立，各环节通过概率如下表。甲方案完成任务的概率，是乙方案完成任务概率的多少倍？

方案	环节一	环节二	环节三
甲	0.8	0.6	0.5
乙	0.4	0.5	0.6

A．2

B．8/5

C．12/5

D．4

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答案：A

各阶段的概率不同，应逐阶段连乘。甲完成任务的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24；乙为0.4×0.5×0.6＝0.12。相除得2，选A。独立交叉核验：逐环节求比再相乘，得到(0.8÷0.4)×(0.6÷0.5)×(0.5÷0.6)＝2×6/5×5/6＝2。逐项核对：A＝2，B＝1.6，C＝2.4，D＝4，只有A成立。C遗漏第三环节的比值，D也不符合完整乘积。

迁移维度：从同概率重复试验迁移到各阶段概率不同的串联系统，使用概率比的乘积。

原创迁移练习4

以下数据均为教学模拟。某模拟通信通道每次传输只有成功、失败两种结果，成功概率为0.6，失败概率为0.4，各次传输相互独立。连续进行n次传输，若要求“n次全部成功”的概率至少达到“n次全部失败”概率的5倍，则正整数n最小为多少？

A．1

B．2

C．3

D．4

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答案：D

两事件的概率比为(0.6÷0.4)的n次方，即1.5的n次方。n＝1、2、3、4时，比值依次为1.5、2.25、3.375、5.0625，因此最小为4，选D。因为每增加一次传输，比值都乘以大于1的1.5，所以比值递增，前三项均不满足即可确认最小性。独立交叉核验：n＝3时，0.216＜5×0.064＝0.32；n＝4时，0.1296≥5×0.0256＝0.128。A、B、C对应的比值均小于5，D首次达到要求。

迁移维度：由已知次数求概率比，迁移到根据概率比阈值反求最小重复次数。

原创迁移练习5

以下数据均为教学模拟。某设备每轮处于甲、乙、丙三种状态之一。首轮处于甲、乙、丙的概率分别为0.3、0.2、0.5。从第二轮起，下一轮的状态仅取决于当前轮状态，转移概率如下表。设备前三轮始终处于甲状态的概率，是前三轮始终处于乙状态概率的多少倍？

当前轮状态	下一轮为甲	下一轮为乙	下一轮为丙
甲	0.5	0.2	0.3
乙	0.3	0.4	0.3
丙	0.2	0.3	0.5

A．75/32

B．27/8

C．15/8

D．3/2

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答案：A

各轮状态存在依赖，应沿指定路径使用条件概率。前三轮始终为甲的概率＝0.3×0.5×0.5＝0.075；始终为乙的概率＝0.2×0.4×0.4＝0.032。比值为75/32，选A。独立交叉核验：首轮概率比为3/2，后两次保持原状态的条件概率比均为5/4，所以总比值＝3/2×5/4×5/4＝75/32。逐项核对：A＝2.34375；B＝3.375，误将首轮概率比重复使用3次；C＝1.875，只计入一次保持状态的转移；D＝1.5，只比较首轮。首轮概率之和及转移表每行概率之和均为1，模型有效，且只有A符合两条完整路径的概率比。

迁移维度：识别独立性边界，将无条件概率乘方迁移为沿路径的条件概率连乘。