总量与平均量列式，增幅门槛向上取整｜2025云南省考第59题
内容摘要：从原题条件出发，逐项核验选项；配5道完整原创迁移练习及独立解析。
完整题面
59．甲、乙、丙 3 名研究生本学期已阅读了 159 篇本专业的学术论文。已知甲的阅读量比乙的一半多 28 篇，丙的阅读量比甲和乙的平均阅读量多 18 篇。问乙本学期至少还要再阅读多少篇，阅读量才能比 丙多 50%以上： A．42 B．48 C．54 D．60
原卷页图：核对图表与选项
答案为C，乙至少还要阅读54篇。甲、乙、丙目前分别阅读了50篇、44篇、65篇。
**首选解法：先把平均量看成一个整体。**
题干给出，丙比甲、乙的平均阅读量多18篇。设甲、乙的平均阅读量为m篇，则甲、乙合计为2m篇，丙为m＋18篇。三人的总量因此满足：
2m＋m＋18＝159。
解得m＝47，所以甲、乙合计94篇，丙阅读65篇。这一步利用“总量＋平均量差”，直接确定了比较对象丙的阅读量。
再设乙阅读b篇。根据“甲比乙的一半多28篇”，甲为b÷2＋28篇。于是：
b＋b÷2＋28＝94。
解得b＝44，因此甲阅读50篇。
接下来处理目标。“乙比丙多50%以上”的比较基准是丙，乙的最终阅读量至少应达到丙的150%。设乙还需阅读y篇，则：
44＋y ≥ 65×1.5＝97.5。
y ≥ 53.5。
论文篇数必须是整数，因此y最小为54。也可以先把最终阅读量取整：乙至少累计阅读98篇，再用98－44＝54篇。
**独立交叉解法：只设乙的阅读量，直接列总量方程。**
设乙已阅读b篇，则甲为0.5b＋28篇。丙比甲、乙的平均数多18篇，因此：
丙＝（0.5b＋28＋b）÷2＋18＝0.75b＋32。
三人合计159篇，得到：
（0.5b＋28）＋b＋（0.75b＋32）＝159。
即2.25b＋60＝159，解得b＝44。进而得到甲50篇、丙65篇，与首选解法一致。
将结果代回全部条件：50＋44＋65＝159；44÷2＋28＝50；（50＋44）÷2＋18＝65，三项均成立。再检查临界整数：乙增加53篇后为97篇，低于97.5篇；增加54篇后为98篇，达到目标。
**A—D逐项判断。**
| 选项 | 乙新增篇数 | 乙最终篇数 | 比丙多出的比例 | 判断 |
|---|---|---|---|---|
| A | 42 | 86 | 21÷65，约32.31% | 未达到50% |
| B | 48 | 92 | 27÷65，约41.54% | 未达到50% |
| C | 54 | 98 | 33÷65，约50.77% | 达标，且新增量最少 |
| D | 60 | 104 | 39÷65＝60% | 达标，但不是最少 |
D项提醒我们：“能达到目标”只是必要条件，还必须符合“至少还要”的最小值要求。
**三个容易混淆的地方。**
第一，“甲比乙的一半多28篇”应写成“甲＝乙÷2＋28”，不能写成“甲＝（乙＋28）÷2”。先确定比较对象，再处理增加量。
第二，“丙比甲、乙的平均量多18篇”中的18篇加在平均数外面。丙＝（甲＋乙）÷2＋18；若改写为丙＝（甲＋乙＋18）÷2，就会把差额错误地减半。
第三，增长比例的分母是丙的65篇。这里不是让乙在自身44篇的基础上增长50%，所以不能用44×50%求新增量。应先求目标总量65×150%，再减去乙已有的44篇。
题面“50%以上”按包含50%的口径列为“≥50%”。参考解析使用了严格大于号，但本题的目标边界是97.5篇，整数阅读量无法恰好等于该边界，因此两种写法均得到新增54篇，答案不受影响。
**迁移方法。**
遇到“三个量的总和已知，其中一个量比另外两个的平均数多d”的结构，可先设另外两个的平均数为m：总量＝3m＋d。先求平均量及这两个量的合计，再用第二个关系拆分，通常能减少运算。
求新增量时，按“确定比较基准—求目标总量—减去现有量—检查整数限制”的顺序处理。如果比较对象也在变化，必须把变化后的量写进不等式；如果新增量只能按整批计入，还要检查批量限制，不能只对连续计算结果取整。
5道原创迁移练习
以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。
原创迁移练习1
【教学模拟】甲、乙、丙三个仓库账面共有210件零件。甲仓件数比乙仓件数的2倍少5件，丙仓件数比甲、乙两仓件数的平均数多15件。盘点发现，乙仓其中5件无法使用，需要剔除；甲、丙两仓零件全部可用。此后只向乙仓补入可用零件，其他仓库数量不变。若乙仓可用零件数至少比丙仓多25%，最少需要补入多少件？
A．60件
B．55件
C．59件
D．65件
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答案：A
设甲、乙账面件数之和为S，则S＋S÷2＋15＝210，得S＝130，丙仓80件。甲＝2乙－5，所以3乙－5＝130，乙仓账面45件、甲仓85件。乙仓剔除5件后可用40件，目标为80×1.25＝100件，至少补入60件。独立代回：85＋45＋80＝210，85＝2×45－5，80＝（85＋45）÷2＋15。逐项检查，A补60件后为100件，恰好达标；B补55件后为95件，未达标；C补59件后为99件，未达标；D补65件后为105件，达标但不是最少。
迁移维度：在总量与平均量关系中加入不可用数量，先修正现有可用量，再计算相对增幅。
原创迁移练习2
【教学模拟】甲、乙、丙三个工作组目前累计完成240份工单。甲组比乙组多完成20份，丙组比甲、乙两组完成量的平均数多30份。下一阶段按完整轮次工作，每轮乙组新增完成3份工单，丙组新增完成1份工单，甲组不再新增。至少完成多少轮后，乙组累计完成量才能比丙组至少多20%？
A．33轮
B．34轮
C．35轮
D．40轮
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答案：B
设甲、乙现有完成量之和为S，则S＋S÷2＋30＝240，得S＝140，丙现有100份。结合甲比乙多20份，得到甲80份、乙60份。设完成n轮，须满足60＋3n≥1.2×（100＋n），化简得1.8n≥60，即n≥100÷3，最少34轮。独立检查初始数据：80＋60＋100＝240，100＝（80＋60）÷2＋30。逐项检查，A的33轮对应乙159份、丙133份，159＜133×1.2＝159.6，不达标；B的34轮对应乙162份、丙134份，162≥160.8，达标；C的35轮对应乙165份、丙135份，165≥162，达标但较多；D的40轮对应乙180份、丙140份，180≥168，达标但较多。每增加一轮，乙相对目标值的差额增加1.8份，结合33轮失败、34轮成功，可确认最小值。
迁移维度：比较双方同步增长，使用变化后的丙组数量作为百分比基准。
原创迁移练习3
【教学模拟】某资料库中，甲、乙、丙三类互不重叠的条目共有224条。乙类条目数比甲类少25%，丙类条目数比甲、乙两类条目数的平均数多14条。现在只补录乙类条目，甲、丙两类数量保持不变。若要求丙类现有条目数不超过乙类补录后条目数的70%，最少需要补录乙类条目多少条？
A．36条
B．58条
C．59条
D．60条
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答案：D
设甲、乙之和为S，则S＋S÷2＋14＝224，得S＝140，丙为84条。乙＝0.75甲，故1.75甲＝140，甲80条、乙60条。设补录x条，条件是84≤0.7×（60＋x），得到60＋x≥120，故x至少为60。独立检查：80＋60＋84＝224，60＝80×75%，84＝（80＋60）÷2＋14。逐项检查，A补36条后乙为96条，其70%为67.2条；B补58条后乙为118条，其70%为82.6条；C补59条后乙为119条，其70%为83.3条，均低于丙的84条；D补60条后乙为120条，其70%恰好为84条，满足要求。这里应除以70%求乙的目标量，不能将70%直接乘在丙的数量上。
迁移维度：识别反向百分比条件，从“比较对象占目标量的比例”倒求目标量。
原创迁移练习4
【教学模拟】甲、乙、丙三名学员目前累计完成138课时。甲的课时数比乙的一半多9课时，丙的课时数比甲、乙课时数的平均数多12课时。此后乙只能通过参加完整训练营增加课时，每完成一次训练营计入8课时，参加次数必须是整数；甲、丙课时数保持不变。若乙的累计课时数至少比丙多50%，乙最少需要新增多少课时？
A．24课时
B．31课时
C．32课时
D．40课时
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答案：C
设甲、乙已有课时之和为S，则S＋S÷2＋12＝138，得S＝84，丙54课时。又甲＝乙÷2＋9，所以1.5乙＋9＝84，乙50课时、甲34课时。乙的目标累计课时为54×1.5＝81，连续计算所需新增量为31课时；但新增量必须是8的整数倍。设参加k次训练营，则50＋8k≥81，得k≥31÷8，所以至少参加4次，新增32课时。独立检查：34＋50＋54＝138，34＝50÷2＋9，54＝（34＋50）÷2＋12。A新增24课时后为74课时，未达标；B新增31课时虽能达到81课时，但无法由完整训练营获得；C新增32课时后为82课时，达标且可实现；D新增40课时后为90课时，可实现但不是最少。
迁移维度：将整数取整推广到整批约束，先求所需批次数，再换算新增总量。
原创迁移练习5
【教学模拟】某档案库的甲、乙、丙三类档案互不重叠，目前共200份。甲类份数是乙类的1.5倍，丙类份数比甲、乙两类份数的平均数多20份。现在只向乙类补录互不重复的新档案，甲、丙两类数量不变。补录后，乙类档案占三类档案总份数的比例至少达到35%，最少需要补录多少份？
A．34份
B．22份
C．33份
D．70份
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答案：A
设甲、乙现有份数之和为S，则S＋S÷2＋20＝200，得S＝120，丙80份。甲＝1.5乙，所以2.5乙＝120，乙48份、甲72份。设补录x份，乙类数量变为48＋x，总量同时变为200＋x。要求（48＋x）÷（200＋x）≥35%，化简为20×（48＋x）≥7×（200＋x），即13x≥440，故x至少为34。独立检查初始关系：72＋48＋80＝200，72＝48×1.5，80＝（72＋48）÷2＋20。逐项检查，A补34份后乙占82÷234，约35.04%，达标；B补22份后占70÷222，约31.53%，不达标；C补33份后占81÷233，约34.76%，不达标；D补70份后占118÷270，约43.70%，达标但不是最少。不等式已给出全部可行整数范围x≥34，临界值核验也支持答案A。
迁移维度：从相对增幅迁移到整体占比，补录使分子与总量分母同时增加。
引用与权威来源
常见问题
第59题的参考作答和依据是什么？
参考作答C。设甲、乙平均阅读量为m，则2m＋（m＋18）＝159，解得m＝47。甲、乙合计94篇，结合甲＝乙÷2＋28，得乙44篇、甲50篇，丙65篇。设乙新增y篇，44＋y≥65×1.5＝97.5，故整数y至少为54，选C。
本篇提供多少道原创迁移练习？
本篇含5道完整原创迁移练习，提供选项、参考答案与解析。原创情境和数据均为教学模拟。