总人次判奇偶，分区域验上限｜2025云南省考第53题
内容摘要：从原题条件出发，逐项核验选项；配5道完整原创迁移练习及独立解析。
完整题面
53．甲乙两部门组织户外团建，共设 A、B、C 三项活动。甲部门每人三项活动均参加 1 次，乙部门每人 任选 2 项不同活动各参加 1 次。已知 A、B、C 三项活动分别有 18 人、16 人、15 人参加，问甲部门 成员至多有多少人： A．11 B．12 C．13 D．14
原卷页图：核对图表与选项
答案为C，甲部门至多有13人。关键是把“总人次符合条件”和“各项活动能够实际安排”分开验证：奇偶约束可以筛选人数，分区域人数非负才能确定上限。
**题干依据与变量设置**
据附图核对，三项活动参加人数依次为18、16、15；甲部门每人参加全部三项，乙部门每人参加两项不同活动。因此，每名甲部门成员贡献3人次，每名乙部门成员贡献2人次，且乙部门只有“仅参加AB、仅参加AC、仅参加BC”三种类型。
设甲部门有x人，乙部门有y人，则：
3x＋2y＝18＋16＋15＝49。
这里的49是参加活动的总人次，不能当作实际人数。实际人数为x＋y。
**首选解法：先筛奇偶，再验证分区**
因为2y为偶数，49为奇数，所以3x为奇数，x必须为奇数。选项中的12和14可以排除。
接着检验较大的奇数13。甲部门13人参加全部活动后，三项活动还分别需要乙部门提供：
A：18－13＝5人；B：16－13＝3人；C：15－13＝2人。
安排3人仅参加AB、2人仅参加AC，就能准确补足上述人数。因此，13人确实可行。
还需说明：即使脱离选项，人数也不能超过13。设乙部门中仅参加AB、AC、BC的人数分别为u、v、w，则：
u＋v＝18－x； u＋w＝16－x； v＋w＝15－x。
后两式相加，再减去第一式，得到：
2w＝13－x。
因为w不能为负，所以x≤13。结合13人的可行安排，上限就是13。
完整分配如下，可逐列复核活动人数：
| 人员类型 | 人数 | 参加A | 参加B | 参加C |
|---|---|---|---|---|
| 甲部门，三项均参加 | 13 | 13 | 13 | 13 |
| 乙部门，仅参加AB | 3 | 3 | 3 | 0 |
| 乙部门，仅参加AC | 2 | 2 | 0 | 2 |
| 乙部门，仅参加BC | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 合计 | 18 | 18 | 16 | 15 |
**独立交叉解法：用实际总人数建立上界**
设两部门实际总人数为N。每人先按参加两项计算，甲部门每人再多贡献1人次，所以：
49＝2N＋x，即x＝49－2N。
仅A活动就有18人参加，因此实际总人数N至少为18：
x＝49－2N≤49－36＝13。
上表已经给出实际总人数恰为18人的安排，故上界能够达到。这一解法从“至少需要多少名实际参加者”出发，与分区域计算得到相同结论。
**A—D逐项判断**
| 选项 | 假设甲部门人数 | 判断依据 | 结论 |
|---|---|---|---|
| A | 11 | 可安排乙部门仅参加AB、AC、BC的人数分别为4、3、1 | 可行，但不是最大值 |
| B | 12 | 乙部门需承担49－3×12＝13人次，不能分成每人2人次 | 不可行 |
| C | 13 | 乙部门仅参加AB为3人、仅参加AC为2人、仅参加BC为0人 | 可行，且达到上限 |
| D | 14 | 乙部门需承担49－3×14＝7人次，不能分成每人2人次 | 不可行 |
**易错点：总人次为偶数，只是必要条件**
参考解析中“剩余人次为偶数，所以符合题意”的判断还需要补充分配验证。偶数只能保证乙部门总人数为整数，不能保证每项活动的人数都能满足。
例如，若尝试令甲部门有15人，剩余活动人数为3、1、0，总人次为4，确实是偶数。但这意味着乙部门只有2人，无法让A活动获得3名乙部门参加者，因此仍不可行。用分区方程计算，也会得到仅参加BC的人数为－1。
另一个常见错误是把“至少有某活动人数那么多人”写成“总人数等于某活动人数”。本题只能先由A活动推出N≥18，再通过具体安排证明N＝18能够实现。
**可迁移的方法**
对于“部分人员三项全参加，其余人员恰好参加两项不同活动”的模型，设三项活动人数为a、b、c，三项全参加的人数为x，则：
仅参加AB的人数＝(a＋b－c－x)÷2；
仅参加AC的人数＝(a＋c－b－x)÷2；
仅参加BC的人数＝(b＋c－a－x)÷2。
以上三个结果必须都是非负整数，同时x也必须是非负整数。这些条件满足时，就可以直接按三个分区的人数安排人员，从而证明方案可行。
实际解题时，可以依次检查：总人次的奇偶是否允许；三个分区是否出现负数；若题目还有某类人员至少几人等限制，分区人数是否满足；最后是否给出了达到目标值的具体安排。求“至多”既要证明不能更多，也要证明这个数确实能够做到。
5道原创迁移练习
以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。
原创迁移练习1
【教学模拟】某培训班安排A、B、C三门体验课。每名学员或者三门课全部参加，或者恰好参加其中两门不同的课，每门课最多参加一次。三门课分别有22、19、17人参加，且仅参加B、C两门课的学员至少有2人。三门课全部参加的学员至多有多少人？
A．8
B．10
C．12
D．14
查看答案与解析
答案：B
设三门全参加者为x人，仅参加BC者为w人，则2w＝19＋17－22－x＝14－x。由w≥2，得x≤10。总人次为58，3x＋2y＝58还要求x为偶数。取x＝10时，仅参加AB、AC、BC分别为7、5、2人，复核为A：10＋7＋5＝22，B：10＋7＋2＝19，C：10＋5＋2＝17，故最大值为10。逐项看，A项8人也可行，对应分区8、6、3，但不是最大值；B项10人达到上界；C项12人会使仅参加BC者为1人，D项14人会使其为0人，均违反至少2人的要求。独立核验：B、C人次合计比A多14，三门全参加者每人贡献差额1，仅参加BC者每人贡献差额2，故14＝x＋2w，仍得x≤10。
迁移维度：把特定两项参加者的最低人数转化为更紧的上界，并构造达到上界的安排。
原创迁移练习2
【教学模拟】某工作坊共有11名学员，安排A、B、C三项体验。其中4人必须参加全部三项，其余7人每人必须参加两项不同体验，每项最多参加一次。组织者初拟的三项参加人数指标依次为13、7、6，允许调整指标。每次调整是将一项指标减1，同时将另一项指标加1，其他指标不变。至少调整多少次，才能使三项指标存在符合上述人员规则的实际安排？
A．1
B．2
C．3
D．4
查看答案与解析
答案：B
实际只有11人，任何一项指标都不能超过11。A的初拟指标为13，每次调整至多使它减少1，因此至少需要2次。把A的2个人次指标移给B，指标成为11、9、6。扣除4名三项全参加者后，剩余指标为7、5、2，可安排5人仅参加AB、2人仅参加AC、0人仅参加BC，恰好用完其余7人。因此最少为2次。逐项核验：A项1次后A指标至少为12，仍不可行；B项2次已有构造；C项3次和D项4次虽然也能形成可行指标，但不是最少次数。分别把A的3或4个人次指标移给B，可得10、10、6或9、11、6，对应两项参加者分区为5、1、1或5、0、2。独立核验：初始剩余指标为9、3、2，最大数比其余两数之和多4；每次从A向其他项移转1，最多缩小差额2，也至少需要2次。
迁移维度：从判断方案可行扩展到修复不可行指标，利用人数上限和分区约束求最少调整次数。
原创迁移练习3
【教学模拟】某社团共有20名成员，开展A、B、C三项训练。所有成员都参加训练，每人或者三项全部参加，或者恰好参加两项不同训练，每项最多参加一次。A、B、C分别有17、16、15人参加。仅参加A、B两项训练的成员有多少人？
A．3
B．4
C．5
D．6
查看答案与解析
答案：C
设三项全参加者为x人，其余为20－x人。由3x＋2×(20－x)＝17＋16＋15＝48，得x＝8。扣除这8人后，三项剩余人数为9、8、7，因此仅参加AB的人数为(9＋8－7)÷2＝5，选C。另两个分区为仅参加AC的4人、仅参加BC的3人；8＋5＋4＋3＝20，三项人数也分别为17、16、15。独立核验：没有参加C的成员共有20－15＝5人；按题设，他们必须恰好参加A、B，所以答案直接为5。A、B、D对应的3、4、6均与这一确定人数不符。
迁移维度：已知实际总人数时反求全参加人数和指定分区，并用未参加某项的人数交叉验证。
原创迁移练习4
【教学模拟】甲、乙两组共同参加A、B、C三项活动。甲组每人参加全部三项，乙组每人恰好参加其中两项不同活动，每项最多参加一次。两组都至少有1人，三项活动的参加人数分别为14、12、10。两组实际总人数共有多少种不同的可能值？
A．4种
B．5种
C．6种
D．7种
查看答案与解析
答案：A
设甲组x人、乙组y人。3x＋2y＝36，故x为偶数。乙组仅参加BC的人数为(12＋10－14－x)÷2＝(8－x)÷2，非负要求x≤8；甲组至少1人，所以x只能是2、4、6、8。对应乙组仅参加AB、AC、BC的人数依次为：x＝2时7、5、3；x＝4时6、4、2；x＝6时5、3、1；x＝8时4、2、0，均可行，乙组也都非空。实际总人数N满足36＝2N＋x，因此分别为17、16、15、14，共4种，选A，B、C、D均高估可能值数量。独立核验：三项参加人数给出N≥14；甲组人数x＝36－2N≥1给出N≤17。因此整数N只可能为14至17，四个值又已全部构造成功。
迁移维度：从求单个最大值扩展为枚举全部可行总人数，结合奇偶、边界和逐值构造。
原创迁移练习5
【教学模拟】某研学活动安排A、B、C三个项目。恰有3名学员只参加A，恰有1名学员只参加B，没有只参加C的学员；其余每名学员或者三个项目全部参加，或者恰好参加两个不同项目，每个项目最多参加一次。A、B、C分别有19、16、13人参加，没有不参加任何项目的学员。此次研学实际至少有多少名学员？
A．18
B．19
C．20
D．21
查看答案与解析
答案：C
先扣除4名单项参加者，其余人员在A、B、C的参加人数为16、15、13，总人次为44。设这些人员中三项全参加者为x人、两项参加者为y人，则3x＋2y＝44。仅参加BC的人数为(15＋13－16－x)÷2＝(12－x)÷2，故x≤12；实际总人数为4＋x＋y＝26－x÷2，因此至少为20。取x＝12，安排3人仅参加AB、1人仅参加AC、0人仅参加BC，再加原有4名单项参加者，总人数为20；三项人数分别为3＋12＋3＋1＝19、1＋12＋3＝16、12＋1＝13，全部满足。逐项看，A、B项18或19人低于必要下界，C项20人能够达到；D项21人也可行，例如三项全参加者10人，两项分区4、2、1人，再加4名单项参加者，但不是最少人数。独立核验：扣除4名单项参加者后，A项目仍需要16名不同学员，因此其余人员至少16人，总人数至少16＋4＝20，与构造一致。
迁移维度：先剥离已知单项参加者，再把实际总人数最小化转化为三项全参加人数最大化。
引用与权威来源
常见问题
第53题的参考作答和依据是什么？
参考作答C。附图中的人数为A项18人、B项16人、C项15人，选项依次为11、12、13、14。设甲部门x人、乙部门y人，3x＋2y＝49，故x为奇数。设乙部门仅参加BC的人数为w，由各活动人数方程得2w＝16＋15－18－x＝13－x，非负约束给出x≤13。取x＝13时，仅参加AB、AC、BC分别安排3、2、0人，可以准确得到18、16、15，故最大值为13，选C。
本篇提供多少道原创迁移练习？
本篇含5道完整原创迁移练习，提供选项、参考答案与解析。原创情境和数据均为教学模拟。