用数量差建立不定方程，靠箱数整数性求最小值｜2025云南省考第52题

完整题面

52．某公司搬家需打包运走电脑主机和显示器各 n 台。有两种打包方式：一种是一箱装入 6 台主机和 4 台 显示器，另一种是一箱装入 3 台主机和 8 台显示器。已知公司所有的电脑主机和显示器正好装满若干 箱，问 n 可能的最小值为： A．18 B．24 C．30 D．36

原卷页图：核对图表与选项

答案为D，n的最小值是36。关键是先利用两类设备数量相等确定两种箱子的数量比，再把这个比还原成最小整数箱数。

题干依据：两类设备要分别数清

原页第52题明确：主机和显示器各有n台；第一种箱子装6台主机、4台显示器，第二种装3台主机、8台显示器；所有设备恰好装满若干箱。

“各n台”表示两类设备总量相等；“恰好装满”表示不能出现半箱，也不能余下设备。因此，箱数必须是非负整数，且搬运规模为正。

首选解法：用每箱的数量差配平

设第一种箱子有a箱，第二种有b箱。

第一种箱子每箱主机比显示器多2台；第二种每箱显示器比主机多5台。两类设备最终数量相等，意味着两种差额恰好抵消：

2a = 5b。

由于2与5互质，全部整数解可写为：

a = 5k，b = 2k。

两种箱子单独使用，都不能使主机和显示器数量相等。因此，在n为正的条件下，k必须是正整数。

代入主机数量：

n = 6a + 3b = 6×5k + 3×2k = 36k。

所以n只能取36、72、108……，最小值为36。

取a = 5、b = 2实际核验：主机有6×5 + 3×2 = 36台，显示器有4×5 + 8×2 = 36台，全部按规定装满，确实可行。

独立交叉解法：直接由n反求箱数

分别对主机和显示器列式：

6a + 3b = n；

4a + 8b = n。

用第一式的8倍减去第二式的3倍，得到36a = 5n，因此a = 5n/36。

用第二式的6倍减去第一式的4倍，得到36b = 2n，因此b = n/18。

因为a必须是整数，而5与36互质，所以n必须是36的倍数。n = 36时，a = 5、b = 2，两项都满足整数条件。这与数量差配平法一致。

这个检验也说明：仅看b = n/18，会误以为n最小可以取18；还必须同时检查a是否为整数。

A—D逐项判断

选项	n	第一种箱数a = 5n/36	第二种箱数b = n/18	判断
A	18	5/2	1	第一种需要半箱，不成立
B	24	10/3	4/3	两种箱数均不是整数，不成立
C	30	25/6	5/3	两种箱数均不是整数，不成立
D	36	5	2	两种箱数均为整数，且是最小正整数解

常见错因

一是把比例当成实际箱数。由a = 2.5b不能直接令b = 1，因为此时a = 2.5，不符合整箱要求。应先写成a∶b = 5∶2，再取最小整数配比。

二是只检查一个变量。n = 18能使第二种箱数为整数，却不能使第一种箱数为整数；联立方程求出的每一个计数变量都要满足整数约束。

三是只计算设备总数。两种箱子分别装10台、11台设备，但只列2n = 10a + 11b，会丢掉主机与显示器必须分别各有n台的条件。

四是凭总量相等就把两种箱数设为相等。两种箱子的数量差分别为2和5，抵消这些差额需要5∶2的箱数比。

迁移方法：先配平，再约束，最后求目标

遇到两种套餐、两种生产批次或两种装箱方式，可以依次处理：

1. 写清每种方式带来的数量差；如果目标是两类物品达到某个比例，就先把比例转成加权数量差。 2. 利用目标条件建立方程。若存在初始库存或固定余量，方程右侧通常不再是0。 3. 将箱数、批次等变量写成整数通解，再用预算、需求量、运输容量等条件限制参数。 4. 最后计算题目所问的数量。最小箱数、最少车辆和最多配套数量，目标不同，最后一步也不同。

其中，“比例已配平”和“实际可执行”之间，还隔着整数性这一关。本题的最小配平单元是第一种5箱、第二种2箱，对应主机和显示器各36台。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】某阅读活动采购阅读卡和书签，只能购买两种不可拆分的组合包。甲包内有7张阅读卡、2枚书签，乙包内有2张阅读卡、5枚书签。活动要求将购入物品全部分给参加者，每人恰好领取2张阅读卡和1枚书签，且至少有1人参加。不允许剩余物品，最少可以满足多少人？

A．23人

B．31人

C．46人

D．62人

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答案：B

设购买甲包x包、乙包y包。阅读卡数量必须是书签数量的2倍，因此7x+2y=2×(2x+5y)，整理得3x=8y。因3与8互质，x=8k、y=3k，其中k为正整数。参加人数等于书签总量，即2x+5y=31k，最小为31人。交叉核验：8包甲和3包乙共有62张阅读卡、31枚书签，恰好分给31人。由人数m反求包数，可得x=8m/31、y=3m/31，整数性要求m为31的倍数；23、46、62均不符合。故选B。

迁移维度：把两类物品数量相等推广为指定配套比例，用加权数量差建立整数方程。

原创迁移练习2

【教学模拟】某园艺课堂已有7株红花苗，没有白花苗。补购时只能整袋购买：甲袋含5株红花苗和2株白花苗，乙袋含2株红花苗和6株白花苗。课堂要求原有及补购的花苗全部使用，最终红、白花苗数量相等。至少需要补购多少株花苗？

A．39株

B．46株

C．53株

D．60株

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答案：C

设补购甲袋x袋、乙袋y袋。根据最终两种花苗数量相等，7+5x+2y=2x+6y，即3x-4y=-7。对4取余得x≡3（模4），所以非负整数解为x=3+4t、y=4+3t，其中t为非负整数。补购总量为7x+8y=53+52t，最小为53株。交叉核验：买3袋甲、4袋乙，新增红花苗23株、白花苗30株，加上原有7株红花苗，最终两种各30株；补购总量为23+30=53株。全部可行补购量为53、105、157……，A、B小于最小值，D也不符合通解，故选C。

迁移维度：加入初始库存差额，建立非齐次不定方程，并在非负整数解中优化采购总量。

原创迁移练习3

【教学模拟】某实验课堂需要采购传感器和电池，两类物品最终数量必须相等，且全部用于组装套件，每套使用1个传感器和1节电池。采购渠道只出售以下两种不可拆分的组合包，预算不超过200元，没有其他库存，也没有其他费用。最多可以组装多少套？

组合包	传感器数量	电池数量	每包价格
甲	5个	3节	12元
乙	2个	5节	9元

A．38套

B．57套

C．63套

D．76套

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答案：B

设购买甲包x包、乙包y包。两类物品数量相等要求5x+2y=3x+5y，即2x=3y，因此x=3k、y=2k，k为非负整数。每个配平单元可组装5×3+2×2=19套，花费12×3+9×2=54元。预算要求54k≤200，所以k最大为3，最多组装57套。交叉核验：购买9包甲和6包乙，传感器45+12=57个，电池27+30=57节，花费108+54=162元；增加到下一配平单元需216元，超过预算。A可实现但不是最大值；C不是19的倍数；D需要216元。故选B。

迁移维度：先求最小整数配平单元，再叠加预算上限，将最小规模问题迁移为最大产出问题。

原创迁移练习4

【教学模拟】某活动场地需要运入数量相等的折叠桌和折叠椅，且两类物品各不少于100件。仓库只能按两种方式装满箱子：甲箱装7张桌子和3把椅子，乙箱装2张桌子和5把椅子。运到场地的物品全部保留，不另行调入或调出。每辆运输车一次最多装9箱，箱子不可拆分，两种箱子可以混装。要求所有车辆均只运输一次，最少需要多少辆车？

A．2辆

B．3辆

C．4辆

D．5辆

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答案：C

设甲箱x箱、乙箱y箱。桌椅数量相等要求7x+2y=3x+5y，即4x=3y，因此x=3k、y=4k。每种物品数量均为29k件，总箱数为7k箱。因为29k≥100，整数k至少为4，此时两类各116件，总计28箱。每辆车最多9箱，3辆最多运27箱，因此至少需要4辆。交叉核验：取甲箱12箱、乙箱16箱，桌子84+32=116张，椅子36+80=116把；28箱可按9、9、9、1箱安排给4辆车。反过来，若只有3辆车，总箱数最多27，而可行箱数必须为7的倍数，最多只能取21箱，对应每类87件，达不到需求。故选C。

迁移维度：把物品配平、最低需求与运输容量串联，区分整数参数向上取整和车辆数量向上取整。

原创迁移练习5

【教学模拟】某手作课堂采购木珠、连接扣和挂绳，供应方只提供下表所列的三种不可拆分材料包。课堂要求购入的三种材料数量完全相等，全部用于制作挂件，每个挂件恰好使用1颗木珠、1个连接扣和1根挂绳，且至少制作1个。最少可以制作多少个挂件？

材料包	木珠	连接扣	挂绳
甲	4颗	1个	2根
乙	1颗	5个	2根
丙	2颗	1个	5根

A．73个

B．78个

C．82个

D．87个

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答案：A

设甲、乙、丙分别购买a、b、c包。木珠与连接扣相等，得到3a-4b+c=0；木珠与挂绳相等，得到2a-b-3c=0。由第二式得b=2a-3c，代入第一式得13c=5a。因13与5互质，a=13k、c=5k，再得b=11k；至少制作1个要求k为正整数。挂件数量为木珠总数4a+b+2c=73k，最小为73个。交叉核验：购买甲13包、乙11包、丙5包，木珠为52+11+10=73颗，连接扣为13+55+5=73个，挂绳为26+22+25=73根；三类合计219件，恰好组成73个挂件。整数通解表明全部可行数量均为73的正整数倍，B、C、D均不符合。故选A。

迁移维度：从两类物品推广到三类材料，通过两条独立配平关系确定最小整数采购组合。