累计时长先拆阶段，再用等效效率求总量｜2023云南省考第47题

完整题面

47． 在某应急救援作业中，假设每台机器工作效率相同，如果两台机器配合作业，效率分别提高 25%， 而三台机器同时合作，每台效率各自提高 50%。甲、乙、丙三台机器依次投入救援，直到救援完成。 已知甲救援时间为 60 分钟，乙救援时间为甲的 1 2，而丙救援时间为乙的 1 3； ，问仅有一台机器完成该救 援作业需要多少分钟： A．120 B．125 C．130 D．150

原卷页图：核对图表与选项

答案为B，单台机器独立完成需要125分钟。关键是先把各机器的累计工作时间还原成单机、双机、三机三个阶段，再分别计算工作量。

一、题干依据：累计工作时间包含重叠部分

原题给出：甲工作60分钟，乙工作时间是甲的1/2，即30分钟；丙工作时间是乙的1/3，即10分钟。

按照“依次投入救援，直到救援完成”的通常考试含义，机器投入后持续工作至同一完工时点。因此，甲的60分钟包含与乙、丙合作的时间，乙的30分钟也包含与丙合作的时间。这三个数不能直接作为三个阶段的长度。

以甲启动为第0分钟，完工为第60分钟：乙在第30分钟投入，丙在第50分钟投入。由此得到：

作业阶段	时间区间	阶段长度	计算依据
甲单独作业	第0至30分钟	30分钟	60－30
甲、乙合作	第30至50分钟	20分钟	30－10
甲、乙、丙合作	第50至60分钟	10分钟	丙累计工作10分钟

三个阶段合计30＋20＋10＝60分钟，与甲的总工作时间一致。

二、首选解法：赋值效率，分段累计工作量

取每台机器独立作业的效率为每分钟4个工作量单位，便于消去25%带来的小数。

两台合作时，题干说的是每台效率分别提高25%，所以每台效率为4×1.25＝5，合计效率为10。

三台合作时，每台效率相对独立作业提高50%，所以每台效率为4×1.5＝6，合计效率为18。这里不需要再乘一次1.25。

作业阶段	时间	合计效率	完成工作量
单机阶段	30分钟	4单位/分钟	120单位
双机阶段	20分钟	10单位/分钟	200单位
三机阶段	10分钟	18单位/分钟	180单位
合计	60分钟	—	500单位

整项作业的总工作量为120＋200＋180＝500单位。单台机器独立作业的效率为4，因此需要500÷4＝125分钟，选B。

也可以把单机效率设为1，直接计算等效单机时间：30×1＋20×2.5＋10×4.5＝125分钟。

三、独立交叉解法：按机器分别累计贡献

换一个统计方向：逐台计算它完成的工作相当于多少分钟的单机作业。独立作业每分钟折算为1，双机合作时每台每分钟折算为1.25，三机合作时折算为1.5。

机器	单独作业时间	双机合作时间	三机合作时间	等效单机工作时间
甲	30分钟	20分钟	10分钟	30＋20×1.25＋10×1.5＝70分钟
乙	0分钟	20分钟	10分钟	20×1.25＋10×1.5＝40分钟
丙	0分钟	0分钟	10分钟	10×1.5＝15分钟

三台贡献相加为70＋40＋15＝125分钟，与按阶段计算一致。表中的70分钟表示甲的工作贡献折算值，并非甲实际工作了70分钟。

还可作一次快速校验：不考虑协作增效，三台累计工作时间合计为60＋30＋10＝100分钟；双机阶段的额外贡献为2×20×25%＝10分钟；三机阶段的额外贡献为3×10×50%＝15分钟。合计仍为125分钟。

四、A—D逐项判断

沿用单机效率4、总工作量500的赋值，逐项核对：

选项	候选时间	单机在该时间内完成的工作量	判断
A	120分钟	480单位	少于500单位，尚差20单位，排除
B	125分钟	500单位	恰好完成，正确
C	130分钟	520单位	超过所需工作量20单位，排除
D	150分钟	600单位	超过所需工作量100单位，排除

由此可见，只有B与题干确定的总工作量相符。

五、常见错因与迁移方法

第一，把60、30、10直接当作三个阶段。它们是累计工作时间，存在重叠；阶段时间应先作差。若误算为60×1＋30×2.5＋10×4.5，会得到180分钟，与真实时间结构不符。

第二，只把累计工作时间相加得到100分钟。这相当于忽略全部协作增效，漏掉了25分钟的等效工作贡献。

第三，把“双机各提高25%”理解为团队合计效率只有1.25倍单机。两台机器各有1.25倍单机效率，合计应为2.5倍；三台合计则为4.5倍。

第四，把三机阶段的效率算成1.25×1.5。题干中的25%和50%分别描述两种合作状态，均以独立作业效率为基准，不能连续相乘。

迁移到其他题目时，先找所有启动、退出、停机和恢复时点，把时间轴切成在岗机器组合不变的区间；再确定各区间的合计效率，累计工作量。若所有机器依次加入并共同完工，可以直接对累计时长作差；若存在提前退出或中途维护，就必须逐段列出在岗组合。

对于本题这种三台同效机器依次加入、共同完工的情形，设累计工作时间分别为a、b、c，且a≥b≥c，则等效单机时间为：(a－b)＋2.5×(b－c)＋4.5×c。这个表达式的每一项都对应一个真实作业阶段，理解阶段含义后再使用，才不容易套错。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】三台相同设备甲、乙、丙加工同一批可连续计量的物料。单台独立作业效率恒定；两台同时作业时，每台效率比独立作业提高25%；三台同时作业时，每台效率比独立作业提高50%。甲从第0分钟开始，乙随后加入，丙在第40分钟加入，三台均在第48分钟完成加工，且各台加入后持续工作至完工。已知这批物料由单台设备独立加工需要106分钟。乙在甲启动后的第几分钟加入？

A．第16分钟

B．第20分钟

C．第28分钟

D．第32分钟

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答案：B

设乙在第t分钟加入，单机效率设为1。三个阶段分别为t分钟、40－t分钟、8分钟，总工作量满足t＋2.5×(40－t)＋4.5×8＝106，即136－1.5t＝106，解得t＝20。独立核验：乙累计工作28分钟，丙累计工作8分钟，基础贡献为48＋28＋8＝84；双机阶段20分钟增加2×20×25%＝10，三机阶段8分钟增加3×8×50%＝12，合计106。逐项代入，A、B、C、D对应的等效单机工作量分别为112、106、94、88分钟，只有B满足条件。

迁移维度：由已知总工作量反求设备加入时点，区分启动时刻与累计工作时长。

原创迁移练习2

【教学模拟】三台相同设备加工一批物料，独立作业效率均恒定。任意两台同时作业时，每台效率比独立作业提高25%；三台同时作业时，每台效率比独立作业提高50%。各设备仅在下表所列区间连续作业，设备退出不影响已完成的工作，物料恰好在第50分钟全部加工完毕。若改用其中一台设备独立加工全部物料，需要多少分钟？

设备	开始时刻	退出或完工时刻
甲	第0分钟	第40分钟
乙	第10分钟	第30分钟
丙	第20分钟	第50分钟

A．105分钟

B．110分钟

C．115分钟

D．125分钟

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答案：C

按第0、10、20、30、40、50分钟切分时间轴，在岗台数依次为1、2、3、2、1，每段均为10分钟。单机阶段共20分钟，双机阶段共20分钟，三机阶段10分钟。设单机效率为1，总工作量为20＋20×2.5＋10×4.5＝115，因此单机需要115分钟。独立核验：三台实际工作时间为40、20、30分钟，基础贡献合计90；双机增效贡献为2×20×25%＝10，三机增效贡献为3×10×50%＝15，合计115。四个选项依次比所需时间少10、少5、恰好、超过10分钟，只有C正确。

迁移维度：处理设备提前退出和交错作业，按全部变化时点重建作业阶段。

原创迁移练习3

【教学模拟】甲、乙、丙三台设备独立加工时的效率分别为每分钟2件、3件、5件。任意两台同时加工时，各自效率在其独立效率基础上提高20%；三台同时加工时，各自效率在其独立效率基础上提高40%。甲从第0分钟开始加工，乙在第10分钟加入，丙在第20分钟加入，三台均持续工作至第30分钟恰好完成全部任务。若改由丙独立加工同样的任务，需要多少分钟？忽略设备切换耗时。

A．36分钟

B．40分钟

C．42分钟

D．44分钟

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答案：D

前10分钟仅甲工作，完成2×10＝20件；第10至20分钟甲、乙合作，完成(2＋3)×1.2×10＝60件；最后10分钟三台合作，完成(2＋3＋5)×1.4×10＝140件。总量为220件，丙独立加工需220÷5＝44分钟。独立核验：按机器统计，甲完成2×10＋2×1.2×10＋2×1.4×10＝72件；乙完成3×1.2×10＋3×1.4×10＝78件；丙完成5×1.4×10＝70件，合计220件。A、B、C、D对应丙独立加工量分别为180、200、210、220件，只有D恰好完成。

迁移维度：将同效机器模型推广到不同基础效率，按实际参与设备的效率之和计算合作产出。

原创迁移练习4

【教学模拟】三台相同设备甲、乙、丙依次投入一项作业，各台投入后均连续工作至共同完工。甲、乙、丙累计工作时间分别为50、30、10分钟。任意两台同时作业时，每台效率比独立作业提高p；三台同时作业时，每台效率比独立作业提高2p。例如，若p为10%，三台合作时每台效率就提高20%，两种提高幅度均以独立作业效率为基准。已知全部任务由一台设备独立完成需要110分钟，p等于多少？

A．10%

B．15%

C．20%

D．25%

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答案：C

单机、双机、三机阶段分别为20、20、10分钟。设单机效率为1，则总工作量为20＋2×(1＋p)×20＋3×(1＋2p)×10＝90＋100p。由90＋100p＝110，得p＝20%。独立核验：基础贡献为50＋30＋10＝90，所需额外贡献为20；双机阶段额外贡献为40p，三机阶段为60p，因此100p＝20。将四个选项代入，总工作量依次相当于单机工作100、105、110、115分钟，只有C符合条件。

迁移维度：由累计时长和总工作量反求协作增效率，分清百分比基准及倍数关系。

原创迁移练习5

【教学模拟】三台相同设备甲、乙、丙独立作业时均每分钟处理1单位物料。任意两台同时作业时，每台效率比独立作业提高25%；三台同时作业时，每台效率比独立作业提高50%。现有160单位物料，甲在第0分钟启动，乙在第10分钟加入，丙在第30分钟加入。甲在第30至34分钟停机维护，此间乙、丙持续合作；第34分钟甲恢复，此后三台持续合作至全部完成。除甲的这次维护外，各设备投入后均不停机，忽略启动和恢复耗时。全部物料在甲首次启动后的第几分钟处理完毕？

A．第54分钟

B．第50分钟

C．第56分钟

D．第60分钟

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答案：A

第0至10分钟甲单独处理10单位；第10至30分钟甲、乙合作处理2.5×20＝50单位；第30至34分钟乙、丙合作处理2.5×4＝10单位。因此第34分钟已处理70单位，尚余90单位。三台合作效率为3×1.5＝4.5单位/分钟，还需90÷4.5＝20分钟，于第54分钟完成。独立核验：到第54分钟，甲、乙、丙实际工作时间分别为50、44、24分钟，基础贡献合计118；双机阶段共24分钟，增效贡献为2×24×25%＝12；三机阶段20分钟，增效贡献为3×20×50%＝30，总量118＋12＋30＝160。按各候选时点持续执行，A、B、C、D对应产量分别为160、142、169、187单位；后两者在候选时点之前已完成，只有A是首次完成时刻。

迁移维度：将临时停机纳入时间轴，先计算恢复前产出，再用剩余工作量求完工时点。