盈亏方程求单价，预算不等式数方案｜2023云南省考第46题
内容摘要：从原题条件出发，逐项核验选项；配5道完整原创迁移练习及独立解析。
完整题面
46． 为了保护生态环境，某单位需要购买一批污水处理设备，总的预算不超过 120 万元。现有甲、乙两 种类型设备可供选择，如果购买 2 台甲型设备和 3 台乙型设备，将超出预算 10 万元；若购买 3 台甲 型设备和 2 台乙型设备，将结余10 万元。若该单位最终购买5 台污水处理设备，问共有几种购买方案： A．1 B．2 C．3 D．4
原卷页图：核对图表与选项
答案为C，共3种购买方案。关键是先把“超支、结余”还原成实际支出，再利用“恰好买5台”消去一个数量变量，最后数出满足预算的整数取值。
题干有三处决定解题方向的依据：预算上限为120万元；两次试算分别超支10万元、结余10万元；最终采购数量恰好为5台。“不超过”意味着支出可以小于或等于预算，题干也没有要求两种设备都必须购买。
首选解法是联立方程求单价。设甲、乙设备的单价分别为x、y万元。超支10万元，表示实际支出为120＋10＝130万元；结余10万元，表示实际支出为120－10＝110万元。因此：
2x＋3y＝130； 3x＋2y＝110。
两式相加得5x＋5y＝240，即x＋y＝48；第一式减第二式得y－x＝20。由此得到x＝14，y＝34。代回检验：2×14＋3×34＝130，3×14＋2×34＝110，两条条件均满足。
设最终购买乙型设备b台，则甲型设备为5－b台。b必须是0至5之间的整数，总费用为：
14×(5－b)＋34b＝70＋20b。
预算要求70＋20b≤120，所以b≤2.5。结合整数条件，b只能取0、1、2，对应3种方案。
| 甲型台数 | 乙型台数 | 总费用（万元） | 是否符合预算 |
|---|---|---|---|
| 5 | 0 | 70 | 符合 |
| 4 | 1 | 90 | 符合 |
| 3 | 2 | 110 | 符合 |
| 2 | 3 | 130 | 不符合 |
| 1 | 4 | 150 | 不符合 |
| 0 | 5 | 170 | 不符合 |
还可以用不求单价的办法独立交叉核验。两次试算的总台数都是5台，从“3甲2乙”变成“2甲3乙”，相当于把1台甲换成1台乙，费用从110万元增加到130万元。因此，每增加1台乙并减少1台甲，费用增加20万元。
从已知的“3甲2乙、费用110万元”出发，乙型台数依次取0、1、2、3、4、5，费用就是70、90、110、130、150、170万元。这直接确认前3种符合预算，后3种超支。该方法只使用同台数方案的费用差，避开了求出两种单价的过程。
逐项判断选项：
- A项“1种”：错误。5甲0乙、4甲1乙、3甲2乙均可行，不止1种。 - B项“2种”：错误。如果额外要求两种设备都买，才会漏掉5甲0乙；原题没有这一限制。 - C项“3种”：正确，对应表中的前3行。 - D项“4种”：错误。第4个候选组合2甲3乙需要130万元，已经超出预算。
最容易出错的是把超支、结余的正负号写反，或把预算上限误当成必须花完的金额。120万元是允许支出的最高值，并不要求费用恰好等于120万元。另一个常见遗漏是排除0台某型号：只要题干没有要求两类都买，数量变量就应从非负整数开始取值。购买顺序也不构成新方案，同一组甲、乙台数只能计数一次。
这类题可以按“还原支出—确定单价或价差—用总数消元—求整数范围—检查边界”的顺序处理。若总数为N，甲型单价为p，乙型比甲型贵d，购买乙型b台时，总费用就是Np＋db。再与预算比较即可。若题目另有最低处理能力、两类设备最低数量、固定费用或分档优惠，应把这些条件一并写入；只有所有条件同时成立的整数取值才算可行方案。对于费用随b递增的情形，核验最后一个可行值和紧接着的第一个不可行值，能够快速检查边界是否取错。
5道原创迁移练习
以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。
原创迁移练习1
【教学模拟】某处理站采购普通型和增强型设备，各类型设备的单价固定，无其他费用。按100万元预算试算，购买5台普通型和3台增强型恰好用完预算；购买3台普通型和5台增强型则超出预算24万元。普通型每台每天可处理2吨污水，增强型每台每天可处理5吨，处理能力可直接相加。现决定恰好购买6台，要求总费用不超过100万元，且每天总处理能力至少为21吨。购买方案只按两类设备台数区分，允许某一类型为0台。共有多少种购买方案？
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
查看答案与解析
答案：B
设普通型、增强型单价分别为x、y万元，则5x＋3y＝100，3x＋5y＝124。相加得x＋y＝28，相减得y－x＝12，因此x＝8、y＝20。设增强型买b台，普通型为6－b台，费用为48＋12b≤100，故整数b≤4；处理能力为2×(6－b)＋5b＝12＋3b≥21，故b≥3。只有b＝3、4，对应普通型与增强型分别为(3，3)、(2，4)，费用84、96万元，处理能力21、24吨，共2种。交叉核验：b≤2时处理能力最多18吨，b≥5时费用至少108万元，均不可能新增可行方案。
迁移维度：在预算上界之外增加处理能力下界，求两个整数取值范围的交集。
原创迁移练习2
【教学模拟】某实验中心采购甲、乙两类设备，单价固定。每批采购另收一次性安装费18万元，与采购台数和类型无关，无其他费用。预算为180万元：购买4台甲和2台乙，连同安装费将结余6万元；购买2台甲和4台乙，连同安装费将超支42万元。现要求恰好购买6台，且甲、乙两类各至少购买2台，总费用含安装费不超过180万元。只按两类设备台数区分，共有多少种购买方案？
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
查看答案与解析
答案：A
设两类设备单价为x、y万元。两次含安装费的支出分别为174、222万元，因此4x＋2y＋18＝174，2x＋4y＋18＝222。扣除安装费后，两式为4x＋2y＝156、2x＋4y＝204，解得x＝18、y＝42。设乙型买b台，甲型为6－b台，各至少2台意味着2≤b≤4。总费用为18×(6－b)＋42b＋18＝126＋24b≤180，故b≤2.25。唯一整数取值为b＝2，对应4甲2乙。交叉核验：满足最低数量要求的候选只有b＝2、3、4，费用分别为174、198、222万元，仅第一种符合预算。
迁移维度：从报价中扣除一次性费用，并将两类最低采购数量转化为整数边界。
原创迁移练习3
【教学模拟】某单位采购甲、乙两类设备，基础单价固定。按基础单价计算，2台甲和1台乙共52万元，1台甲和2台乙共68万元。现恰好购买7台，总预算为140万元。优惠规则为：本批乙型达到3台时，每台乙型均在基础单价上减4万元；乙型不足3台时不优惠。甲型无优惠，无其他费用，两类设备均允许购买0台。方案只按两类台数区分，共有多少种购买方案？
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
查看答案与解析
答案：C
设基础单价为x、y万元，由2x＋y＝52、x＋2y＝68，得x＝12、y＝28。设乙型买b台。b＝0、1、2时无优惠，费用为12×(7－b)＋28b＝84＋16b，分别为84、100、116万元，均可行。b≥3时乙型每台实际价格为24万元，费用为84＋12b≤140，得到b≤4又2/3，因此该档只有b＝3、4可行。合计5种。交叉核验：将b＝0至7逐项代入实际优惠规则，费用依次为84、100、116、120、132、144、156、168万元，只有前5项不超过140万元。优惠门槛必须按乙型台数判断，不能把所有方案统一套用一个单价。
迁移维度：遇到按数量触发的优惠时分段列式，再合并各段的整数解。
原创迁移练习4
【教学模拟】某实验室取得普通型、增强型设备的基准报价：3台普通型和2台增强型共80万元，2台普通型和3台增强型共95万元。基准单价在各报价中相同。实验室最终将采购6台。交货时，每台普通型价格可能在基准价上增加0至2万元，每台增强型可能增加0至5万元；各台设备的涨价幅度可分别取上述范围内任意值，所有设备同时达到各自涨价上限也是允许的情形。没有其他费用。实验室要求在所有允许的涨价情形下，采购总费用都不超过150万元。两类设备均允许购买0台，方案只按两类台数区分。共有多少种符合要求的购买方案？
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
查看答案与解析
答案：D
设普通型、增强型基准单价为x、y万元，则3x＋2y＝80、2x＋3y＝95，解得x＝10、y＝25。所有设备同时达到涨价上限是允许的，且总费用随任一涨价幅度增加而增加，所以满足所有情形的充要条件是最高费用不超过150万元。两类最高单价分别为12、30万元。设增强型买b台，则最高费用为12×(6－b)＋30b＝72＋18b≤150，故b≤4又1/3。结合0≤b≤6且为整数，b＝0、1、2、3、4，共5种。独立核验：基准费用为60＋15b，最大涨价总额为2×(6－b)＋5b＝12＋3b，相加仍为72＋18b。边界上b＝4的最高费用为144万元，b＝5为162万元，确认可行范围。
迁移维度：把所有允许价格情形下均合规的要求，转化为最大费用情形下的预算不等式。
原创迁移练习5
【教学模拟】某单位采购甲、乙两类设备，单价固定，无其他费用。以300万元预算试算，购买10台甲和10台乙将超支20万元；购买15台甲和5台乙将结余20万元。现要求恰好花完300万元，甲、乙两类各至少买1台，且因仓储限制，采购总台数不能超过21台。采购总台数可以变化，方案只按两类台数区分。共有多少种购买方案？
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
查看答案与解析
答案：C
设甲、乙单价为x、y万元，由10x＋10y＝320、15x＋5y＝280，得到x＋y＝32、3x＋y＝56，解得x＝12、y＝20。设甲、乙数量为a、b，恰好花完要求12a＋20b＝300，即3a＋5b＝75。按除以3的余数判断，b必须是3的倍数。又a＝(75－5b)÷3，仓储条件a＋b≤21等价于(75－2b)÷3≤21，故b≥6；a≥1给出b≤14.4。该范围内3的倍数只有6、9、12，对应(a，b)分别为(15，6)、(10，9)、(5，12)，总台数分别为21、19、17，共3种。独立核验：设总台数为n，则12n＋8b＝300，即3n＋2b＝75，因此n为奇数。因两类都买，平均单价小于20万元，故n大于15；结合n≤21，只能取17、19、21。逐一求得乙型台数12、9、6，均满足两类至少1台，费用分别为60＋240、120＋180、180＋120，均为300万元。
迁移维度：将固定总台数改为可变总台数，以整除条件和仓储上限筛选恰好用完预算的正整数解。
引用与权威来源
常见问题
第46题的参考作答和依据是什么？
参考作答C。设甲、乙单价分别为x、y万元。由原题得2x＋3y＝130、3x＋2y＝110，解得x＝14、y＝34。设乙型买b台，则甲型买5－b台，费用为70＋20b≤120。结合0≤b≤5且b为整数，得到b＝0、1、2，共3种，选C。题干未要求两种类型都购买，因此包含5甲0乙。
本篇提供多少道原创迁移练习？
本篇含5道完整原创迁移练习，提供选项、参考答案与解析。原创情境和数据均为教学模拟。