先数等差点位，再扣重合节省｜2023云南省考第50题

完整题面

50． 某地计划在连接甲镇和乙镇的长度为 60 公里的公路上安装限速标志和测速仪器。具体方案是：从距 离甲镇 3 公里处开始安装限速标志，然后每隔 4 公里再设置一个限速标志；从 8 公里处开始安装测 速仪器，然后每隔 9 公里再设置一个测速仪器。假设单独安装一个限速标志费用为 500 元，单独安 装一个测速仪器费用为 800 元，如果限速标志和测速仪刚好在同一个地点安装，则可以节约安装费 用，此时安装两种设备总共只需要 1000 元。问最终安装总费用是多少元： A．10600 B．11200 C．12000 D．12300

原卷页图：核对图表与选项

**正确答案：C，12000元。** 解题关键是分别数清两类设备的安装数量，找出实际重合的地点，再扣除合装节省的费用。

**题干依据与计数边界**

以甲镇为起点，所有距离统一使用公里。限速标志的位置依次为3、7、11……；测速仪器的位置依次为8、17、26……。安装地点必须落在60公里的公路范围内，不能将下一个已经越界的位置算入。

每处重合地点原本分别安装需要500＋800＝1300元，实际合装只需1000元，因此每处节省300元。1000元是合装总价，不能直接当作节省额。

**首选解法：分别计数，用同余关系确定重合点**

第一步，数两类设备。

限速标志的位置满足3＋4k≤60，其中k为非负整数。最大的k为14，所以共有15个。也可以计算为：向下取整[(60－3)÷4]＋1＝15。最后一个在59公里处，下一个在63公里处，已经越界。

测速仪器的位置满足8＋9j≤60，其中j为非负整数。最大的j为5，所以共有6个。最后一个在53公里处，下一个在62公里处，已经越界。

这里的“＋1”是在补回起始点：间隔数量比点位数量少1。

第二步，找重合点。

若某重合地点距甲镇x公里，则x除以4余3，除以9余8。两项条件分别等价于：x＋1能被4整除，x＋1能被9整除。

4与9的最小公倍数为36，因此x＋1必须是36的倍数，重合位置依次为35、71、107……公里。公路只有60公里长，所以只有35公里这一处重合。

第三步，先分别计费，再扣合装节省。

总费用＝15×500＋6×800－1×300＝7500＋4800－300＝12000元。

**独立交叉解法：枚举较少的一类，再按安装类型结账**

测速仪器只有6个，直接检查其位置8、17、26、35、44、53即可。限速标志的位置必须满足“减去3后能被4整除”，这6个位置中只有35符合。

因此，实际安装包括14个仅有限速标志的地点、5个仅有测速仪器的地点，以及1个合装地点。

费用＝14×500＋5×800＋1×1000＝7000＋4000＋1000＝12000元，与首选解法一致。地点总数也可核对为14＋5＋1＝20，等于15＋6－1。

**A—D逐项判断**

选项	金额	判断依据
A	10600元	错误。相比分别安装的12300元，少了1700元；题设每处合装只能节省300元，1700元不能对应整数处合装。
B	11200元	错误。相比分别安装少了1100元，同样不符合每处节省300元的计费结构。
C	12000元	正确。分别安装需12300元，35公里处合装节省300元。
D	12300元	错误。这是全部分别安装的费用，遗漏了唯一重合地点的优惠。

**常见错因与迁移方法**

一是将间隔数当作点位数。计算“终点减起点再除以间距”后，要先向下取整，再加1，并用最后一个点和下一个点检查边界。

二是看到两个间距，就把它们的最小公倍数直接当成第一个重合位置。最小公倍数通常描述重合点之间的周期；第一个重合点还取决于起始偏移。本题的周期是36公里，但第一个重合点是35公里。

三是把合装总价当作优惠额。本题应扣除的是500＋800－1000＝300元。也可以直接按照“仅安装第一类、仅安装第二类、合装”三种情况结账，避免重复计算。

推广到其他两类等距布点问题，可以按“核对范围—分别计数—寻找首个重合点—按共同周期数重合次数—处理费用”完成。若两个间距并不互质，应先检查两起点之差能否被两个间距的最大公约数整除；不满足时，两类点位不会重合。有禁设区时，还要分别扣除区内两类点位及区内重合点。

本题全部位置单位均为公里，35公里不能写成35米。它训练的是题设条件下的数学计数与费用计算。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】某实验室在08:00至09:00期间安排两类检测，起止时刻均计入。甲类检测从08:00开始，每隔6分钟进行一次；乙类检测从08:04开始，每隔8分钟进行一次。甲类单独进行一次收费40元，乙类单独进行一次收费70元；两类恰在同一时刻进行时，该时刻两类检测合计收费90元。除此之外没有其他费用或优惠。该时段检测总费用是多少？

A．920元

B．940元

C．980元

D．1000元

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答案：B

以08:00为第0分钟，甲类在0、6、12……60分钟进行，共11次；乙类在4、12、20、28、36、44、52、60分钟进行，共8次。共同检测发生在12、36、60分钟，共3次，每次节省40＋70－90＝20元。总费用＝11×40＋8×70－3×20＝940元，选B。独立核验：甲类单独进行8次、乙类单独进行5次、共同进行3次，费用＝8×40＋5×70＋3×90＝940元。09:00恰好两类都检测，必须计入；漏掉该时刻会少计90元。

迁移维度：将空间点位迁移为时间事件，重点检查起止时刻同时计入及末端重合。

原创迁移练习2

【教学模拟】一条试验带长50米，以一端为0米，另一端为50米，两个端点均允许安装。甲类传感器从2米处开始，每隔6米安装一个；乙类传感器从4米处开始，每隔9米安装一个。甲类单独安装一个收费100元，乙类单独安装一个收费160元；若两类位于同一点，两类合计收费220元。所有符合上述序列且位于试验带内的点位都安装。两类传感器的重合地点数量和总费用分别是多少？

A．1处，1820元

B．2处，1780元

C．3处，1740元

D．0处，1860元

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答案：D

甲类数量为向下取整[(50－2)÷6]＋1＝9，乙类数量为向下取整[(50－4)÷9]＋1＝6。甲类位置除以3余2，乙类位置除以3余1，所以不可能重合。总费用＝9×100＋6×160＝1860元，选D。独立核验：甲类位置为2、8、14、20、26、32、38、44、50米；乙类位置为4、13、22、31、40、49米，两份清单没有共同位置。也可检查起点差为2，而两间距的最大公约数为3，2不能被3整除，因此无重合解。

迁移维度：两个间距不互质时，先判断重合是否可能，避免机械套用最小公倍数。

原创迁移练习3

【教学模拟】某试验管线长49米，以入口为0米，49米处也允许设置设备。甲类测点原计划从1米处开始，每隔4米设置一个；乙类测点原计划从3米处开始，每隔6米设置一个。因施工限制，距入口20米至34米的闭区间内，所有原计划测点均取消，其他测点保持原位置，不重新排列。甲类单独设置一处收费200元，乙类单独设置一处收费350元；两类保留测点位于同一点时，该处合计收费450元。实际总费用是多少？

A．3350元

B．3150元

C．3550元

D．3650元

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答案：A

原计划甲类13处、乙类8处。禁设区内，甲类在21、25、29、33米，共取消4处；乙类在21、27、33米，共取消3处。因此实际保留甲类9处、乙类5处。原重合位置为9、21、33、45米，取消区内21、33米后，还剩9、45米两处。每处合装节省200＋350－450＝100元，总费用＝9×200＋5×350－2×100＝3350元，选A。独立核验：保留甲类位置为1、5、9、13、17、37、41、45、49米，保留乙类位置为3、9、15、39、45米；于是仅甲类7处、仅乙类3处、合装2处，费用＝7×200＋3×350＋2×450＝3350元。禁设区中的重合点也必须同步扣除。

迁移维度：增加禁设区，训练分别调整两类数量和重合数量，并保持区外序列不变。

原创迁移练习4

【教学模拟】某库房有编号1至100的柜位，每个整数编号对应一个柜位。甲类巡检覆盖编号为4的倍数的全部柜位，乙类巡检覆盖编号为6的倍数的全部柜位。某柜位只有甲类巡检时收费20元，只有乙类巡检时收费35元；两类都巡检时，该柜位统一收取合并费用p元，不再另收单类费用。各柜位的合并费用p相同，未被巡检的柜位不收费。本轮总收费为900元，p是多少？

A．25元

B．30元

C．35元

D．40元

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答案：C

甲类覆盖100÷4＝25个柜位；乙类覆盖向下取整(100÷6)＝16个柜位。共同覆盖的编号为12的倍数，共8个。若分别收费，总额为25×20＋16×35＝1060元，实际少收160元，说明每个共同柜位少收160÷8＝20元。因此p＝20＋35－20＝35元，选C。独立核验：仅甲类柜位25－8＝17个，仅乙类柜位16－8＝8个，共同柜位8个。列式17×20＋8×35＋8p＝900，得620＋8p＝900，p＝35。代入四个选项，总费用依次为820、860、900、940元，只有C符合。

迁移维度：从总费用反求合装单价，区分共同点数量、每点节省额和合并收费。

原创迁移练习5

【教学模拟】某展示系统在第0分钟至第47分钟之间执行两类刷新任务，两个边界时刻均计入，超出该范围的任务不执行。甲类固定从第3分钟开始，每隔6分钟执行一次。乙类每隔10分钟执行一次，首次执行时刻只能从第0、1、3、7分钟中选择一个；首次执行前不安排乙类任务。甲类单独执行一次耗费60个计费单位，乙类单独执行一次耗费100个计费单位；两类恰在同一分钟执行时，该分钟合计耗费130个计费单位。应选择哪个乙类首次执行时刻，才能使总耗费最低？

A．第3分钟，最低920个计费单位

B．第0分钟，最低980个计费单位

C．第1分钟，最低950个计费单位

D．第7分钟，最低950个计费单位

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答案：A

甲类执行时刻为3、9、15、21、27、33、39、45分钟，共8次。乙类无论选择哪个允许的起始时刻，均执行5次，所以分别计费的基础耗费固定为8×60＋5×100＝980。每次共同执行节省60＋100－130＝30。乙类从0分钟开始时，与甲类无重合；从1分钟开始时，仅21分钟重合；从3分钟开始时，3、33分钟重合；从7分钟开始时，仅27分钟重合。四种选择的总耗费依次为980、950、920、950，故选A。独立核验最优方案：甲类单独执行6次、乙类单独执行3次、共同执行2次，耗费＝6×60＋3×100＋2×130＝920。其他方案最多只有1次重合，最低也需950，因此最优选择唯一。

迁移维度：由固定方案计费迁移到起始时刻优化，在两类执行次数不变时通过增加重合次数降低费用。