多一次公平试验，为什么胜率恰好一半｜2023云南省考第52题

完整题面

52． 甲、乙两个商场营业日每天是否打折的概率均为 1 2。某周，甲商场营业 7 天，而乙商场营业 6 天，休 业 1 天。问在这一周，甲商场打折天数比乙商场多的概率为： A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 7 13

原卷页图：核对图表与选项

**结论：按相互独立的公平试验模型，选C，概率为1/2。**

这里必须先说明建模边界：原题给出了各营业日打折的概率均为1/2，但没有明确写出不同日期、不同商场的打折事件相互独立。只有边缘概率，通常不足以确定两家商场打折总天数的联合分布。本题按行测常用的独立模型解释，C是这一模型下的答案；不能把“相互独立”说成题干已经明确提供的条件。

**题干依据：把营业日转成13次试验。**

设甲打折天数为X，乙打折天数为Y。在上述模型下，X来自7次独立公平试验，Y来自另外6次独立公平试验，两组也相互独立。目标是求P(X>Y)。乙休业的那一天不属于随机试验，不能再给它安排一个1/2的打折概率。

**首选解法：把乙的成功改记为失败。**

乙有6个营业日，因此乙不打折的天数为6−Y。将甲的“打折”和乙的“不打折”统一记作成功，得到总成功数：

S=X+(6−Y)。

因为每个营业日打折、不打折的概率都是1/2，而且13个事件相互独立，所以S就是13次独立公平试验的成功总数。

原事件可以依次转化为：

X>Y，等价于X+(6−Y)>6，也就是S≥7。

13是奇数，成功数不可能恰好等于试验次数的一半。将任意一串13次试验的成功、失败全部互换，成功数就从S变成13−S；两串结果概率相等，并且一串属于“至少成功7次”，另一串属于“至多成功6次”。两个事件互斥且覆盖全部结果，故各占一半：

P(X>Y)=P(S≥7)=1/2。

这一步的关键是“公平、独立、奇数次”，而不是简单认为营业天数较多的一方一定更容易赢。

**独立交叉解法：先比较六次，再加入甲的第七次。**

设甲前6个营业日打折天数为U，乙6个营业日打折天数为V，甲最后一个营业日是否打折记为Z，打折记1，不打折记0。

U和V独立同分布，所以交换两组结果不会改变概率。记两者相等的概率为q，则：

P(U>V)=P(U<V)=(1−q)/2。

加入Z后分三类：

- U>V：无论Z是0还是1，甲都严格更多。 - U=V：仅当Z=1时，甲严格更多，条件概率为1/2。 - U<V：即使Z=1，甲也至多追平，不能严格更多。

因此：

P(U+Z>V)=(1−q)/2+q×1/2=1/2。

这与首选解法一致。它也说明，多出来的一次公平试验，恰好把原先平局概率的一半转化为甲的胜率。

**数值复核。**

13次公平试验共有8192种等概率结果。成功7至13次对应的结果数分别为1716、1287、715、286、78、13、1，总计4096种。因此所求概率为4096/8192=1/2。

**A—D逐项判断。**

- A项1/6：错误。严格获胜事件对应4096种等概率结果，占全部结果的一半，不是1/6。 - B项1/3：错误。“甲多、相等、乙多”虽然是三类结果，却不代表三类等概率，不能平均分配为1/3。 - C项1/2：正确。符合互补对称、分类讨论和结果计数三种核验。 - D项7/13：错误。7/13是甲的营业日数占两家营业日总数的比例，不是甲打折总天数严格更多的概率。

**容易混淆的两种对称。**

不能直接声称P(X>Y)=P(X<Y)，因为X、Y的试验次数不同。事实上，原题平局概率为1716/8192=429/2048，而甲严格更多的概率为1/2，因此乙严格更多的概率为595/2048，三者并不相等。

真正成立的对称是：把全部13次成功、失败翻转后，差值X−Y变成1−(X−Y)。整数差值“至少为1”与“至多为0”一一配对，所以P(X>Y)=P(X≤Y)=1/2。

**迁移方法：先检查条件，再寻找整数分界。**

遇到两组成功次数比较，可以先尝试把其中一组的成功数改写成“总次数减失败数”，将差转成和。如果两组共有奇数次相互独立的公平试验，且目标恰好落在中间两个整数之间，就能用互补对称平分概率。

若改成“至少一样多”，必须把平局计入；若试验总次数为偶数，要处理正中间的概率；若成功概率不是1/2，翻转后的结果通常不再等概率；若各次事件有关联，则需要重新核查联合分布。不能仅凭“多试一次”就套用1/2。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】一个游标从数轴原点出发，依次移动4次，移动距离分别为1、2、4、6个单位。每次向左、向右的概率均为1/2，四次方向选择相互独立。游标最终位于原点右侧的概率是多少？

A．1/4

B．1/2

C．3/8

D．5/8

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答案：B

四次移动的总距离为13。任意方向组合的最终位置都可写成13减去某个偶数，因此不可能为0。将四次方向全部反转，最终位置变为原来的相反数；对应两种方向组合均具有1/16的概率。因此，最终位置为正、为负的概率各为1/2。独立复核：前三次移动后的8个等概率位置为−7、−5、−3、−1、1、3、5、7。最后向右移动6时，有7个位置最终为正；最后向左移动6时，只有1个位置最终为正。因此概率为(1/2)×(7/8)+(1/2)×(1/8)=1/2。其余三个选项均不符。

迁移维度：从成功次数比较迁移到不同权重的随机移动，识别等概率反转配对，并证明不存在零点。

原创迁移练习2

【教学模拟】甲、乙两个程序各运行3次任务。每次任务成功的概率均为1/2，全部6次任务的结果相互独立。甲成功次数严格多于乙的概率是多少？

A．1/2

B．5/16

C．21/32

D．11/32

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答案：D

两组试验次数相同，甲严格更多与乙严格更多的概率相等，但必须先扣除平局。每组成功0、1、2、3次的结果数分别为1、3、3、1，因此平局结果共有1×1+3×3+3×3+1×1=20种。全部结果共64种，平局概率为20/64=5/16。甲严格更多的概率为(1−5/16)/2=11/32，选D。独立复核：按甲成功1、2、3次分类，甲严格更多的结果数分别为3×1=3、3×(1+3)=12、1×(1+3+3)=7，共22种，22/64=11/32。A遗漏平局，B是平局概率，C是甲成功次数不少于乙的概率。

迁移维度：处理相同试验次数下的平局，区分严格比较与包含等号的比较。

原创迁移练习3

【教学模拟】一个服务站初始有1个可用名额。当天有3名潜在用户，每人提出申请的概率均为1/2，每份申请占用1个名额；另有2个备用名额，每个能够启用的概率均为1/2。上述5个随机事件相互独立，所有备用名额是否可用均在分配前确定。服务站能够满足当天全部申请的概率是多少？

A．13/16

B．1/2

C．11/16

D．3/16

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答案：A

设申请人数为R，可启用的备用名额数为K。满足全部申请的条件是R≤1+K，即R+(2−K)≤3。每名用户提出申请和每个备用名额不能启用的概率均为1/2，且5个事件相互独立，因此S=R+(2−K)是5次独立公平试验的成功总数。S≤3的等概率结果数为1+5+10+10=26，故概率为26/32=13/16，选A。独立复核：K为0、1、2的概率依次为1/4、1/2、1/4；相应满足申请的概率依次为4/8、7/8、1。加权得(1/4)×(4/8)+(1/2)×(7/8)+(1/4)×1=13/16。D是无法满足全部申请的概率；B错误地把偏离中线的条件直接平分；C也不符合完整计数。

迁移维度：将实际供需条件转为带常数项的不等式，通过补事件合并试验，并准确处理整数边界。

原创迁移练习4

【教学模拟】甲、乙两条测试信道分别发送2条、1条消息。每条消息成功送达的概率均为2/3，全部3条消息是否送达相互独立。甲信道成功送达的消息数严格多于乙信道的概率是多少？

A．1/2

B．2/3

C．16/27

D．20/27

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答案：C

这里成功概率为2/3，成功、失败翻转后不再等概率，不能套用公平试验的1/2结论。若乙失败，概率为1/3，甲至少成功1条即可，甲满足条件的概率为1−(1/3)×(1/3)=8/9，这一类贡献8/27。若乙成功，概率为2/3，甲必须两条均成功，概率为4/9，这一类也贡献8/27。合计16/27，选C。独立复核：甲成功1条且乙失败的概率为[2×(2/3)×(1/3)]×(1/3)=4/27；甲两条均成功时，无论乙结果如何都严格更多，概率为4/9=12/27。两类相加仍为16/27。A误用公平对称，B将单条送达概率误当作比较概率，D不符合分类计算。

迁移维度：识别公平性条件失效，改用条件分类计算，并避免把单次概率当作总次数比较概率。

原创迁移练习5

【教学模拟】甲有两盏指示灯，乙有一盏指示灯。每轮系统等概率抽取下表四种模式之一，亮记1、灭记0。三盏灯的状态由抽中的同一个模式共同决定，不作额外独立抽样。甲的亮灯数严格多于乙的概率是多少？

模式	抽中概率	甲灯1	甲灯2	乙灯
Ⅰ	1/4	1	1	0
Ⅱ	1/4	1	0	1
Ⅲ	1/4	0	1	1
Ⅳ	1/4	0	0	0

A．0

B．1/4

C．1/2

D．3/4

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答案：B

四种模式下，甲、乙亮灯数依次为(2,0)、(1,1)、(1,1)、(0,0)。仅模式Ⅰ满足甲严格更多，因此概率为1/4，选B。独立复核：其余三个模式均为平局，平局概率为3/4，乙严格更多的概率为0，所以甲严格更多的概率为1−3/4−0=1/4。每盏灯都恰好在两个模式中亮起，单灯亮起概率确实均为1/2，但三盏灯并不相互独立。例如三灯全亮的概率为0，而相互独立时应为1/8。A漏掉模式Ⅰ，C误把边缘概率相同当成相互独立，D是平局概率。

迁移维度：利用完整联合分布直接计算，区分每项概率为1/2与全部事件相互独立。