斜路面积先认宽度：用平移与横截面化繁为简｜2023云南省考第51题

完整题面

51． 如下图所示，某地计划修建一个长 50 米，宽 40 米的长方形观光园。现在需要在观光园中修建几条 鹅卵石小道供游客行走，其中一条是长为 50 米，宽为 2 米的水平直线型小路，另外两条修成斜线型， 并且要求这两条斜线型小路任何地方的水平方向宽度都是 1 米，问修完小路后观光园剩下部分的面 积是多少平方米：

A．1862 B．1880 C．1950 D．1960

原卷页图：核对图表与选项

答案为A，观光园剩余面积是1862平方米。关键在于读准“水平方向宽度都是1米”，并从原图确认两段斜路分别占据横路上方和下方的区域。

题干与原图提供了哪些依据

观光园的水平长度为50米，竖直宽度为40米。水平小路贯穿观光园左右两边，竖直宽度为2米，面积为50×2＝100平方米。

原图还明确了两段斜路的位置：上方斜路连接观光园上边界与横路上侧边界，下方斜路连接横路下侧边界与观光园下边界。它们在横路以外没有重叠。

因此，两段斜路各自跨越的竖直高度虽然没有分别给出，但高度之和可以确定：40－2＝38米。图示位置关系是这一步的依据，不能只凭“另外两条斜路”几个字推断。

首选解法：把水平宽度当作底，合并两段高度

设上方、下方斜路的竖直高度分别为h₁、h₂，则h₁＋h₂＝38。

每段斜路都是平行四边形。取其水平边作为底，底长就是题目给出的1米；与这条水平底边对应的高，是该段斜路的竖直高度。因此：

上方斜路面积＝1×h₁；

下方斜路面积＝1×h₂；

两段斜路面积之和＝1×（h₁＋h₂）＝38平方米。

也可以用平移理解：把两段等底的平行四边形移到便于比较的位置，合并计算它们的高度。这里利用的是等底面积相加，不要求两段斜路在原图中处于同一条直线上。

观光园总面积＝50×40＝2000平方米。

小路总面积＝100＋38＝138平方米。

剩余面积＝2000－138＝1862平方米。

独立交叉解法：直接计算每一层剩下多少

沿水平方向观察观光园。

处于横路内的各层全部铺路，没有剩余面积；这些层合计高2米。

处于横路之外的任意一层，都只经过对应的一段斜路。该层总长50米，斜路占去1米，剩余水平长度始终为49米。斜路左右两侧的剩余部分怎样分配，不影响总长度。

把这些细层累加，剩余面积＝49×（40－2）＝49×38＝1862平方米，与面积相减法一致。

这一解法也说明：在本题约束下，斜路向左或向右移动、倾斜程度发生变化，只要始终处于园内、水平截宽仍为1米、跨越的竖直范围不变，面积就不变。

A—D逐项判断

选项	数值	判断依据
A	1862	正确。总面积2000，横路100，两段斜路合计38。
B	1880	错误。该结果对应总铺路面积120；扣除横路100后，只给两段斜路留下20平方米，与38平方米不符。
C	1950	错误。该结果只扣除了50平方米，已经小于横路本身的100平方米。
D	1960	错误。该结果只扣除了40平方米，同样小于横路本身的面积。

容易出错的地方

第一，把水平宽度误当成垂直于斜路边界的宽度。两者方向不同，通常并不相等。本题已经给出水平截宽，直接与竖直高度相乘即可，无须求倾角或斜边长度。

第二，把两段斜路分别都按高40米计算。原图中的每段斜路只跨越各自所在的上方或下方区域，两段高度合计才是38米。

第三，先把斜路按贯穿全园的高40米计算，再加上横路面积，却没有扣除交叠。原图实际提供的是横路外的两段斜路，直接按38米计算，能避免重复扣除。

第四，用图片上的像素估计上下区域的高度。示意图用于确认连接关系；面积计算应使用题目给出的尺寸。这里不需要知道h₁、h₂各是多少。

怎样迁移到新题

先确定宽度的测量方向，再选相配的高度：水平截宽对应竖直高度，竖直截宽对应水平长度。

随后按道路结构分层。每层若只有一条恒定水平截宽的斜路，就用“截宽×层高”；若有多条互不重叠的路，就先把截宽相加；若道路交叉，就计算占用区间的并集，或者用容斥扣除重复部分。

如果截宽随位置均匀变化，可以按梯形面积取两端宽度的平均值；如果给出的是垂直于路边界的宽度，则须先根据方向关系换算，不能直接套用本题的1×38。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】一块东西长72米、南北宽45米的长方形展园，修建两条贯穿东西边界、互不重叠的水平道路，南北宽度分别为3米和2米。这两条道路将园内其余部分分成南、中、北三个区域。每个区域内各修一段斜路，连接该区域的南北边界；每段斜路完全位于对应区域内，在任意高度的水平截宽均为1.5米。除上述道路外没有其他铺装。展园剩余未铺装面积是多少平方米？

A．2790

B．2820

C．2880

D．2940

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答案：B

两条水平道路合计占用南北高度3＋2＝5米，面积为72×5＝360平方米。其余三个区域的高度合计45－5＝40米，三段斜路面积合计1.5×40＝60平方米。未铺装面积为72×45－360－60＝2820平方米，选B。独立核验：水平道路以外，每一层的未铺装长度都是72－1.5＝70.5米，故未铺装面积为70.5×40＝2820平方米。A、C、D均与这两个计算结果不符。

迁移维度：由一条横路推广到多条横路；合并多个区域的高度，识别道路位置变化不影响面积。

原创迁移练习2

【教学模拟】一块东西长64米、南北宽36米的长方形庭院，修建一条贯穿东西边界、南北宽4米的水平主路。主路以北的区域高10米，以南的区域高22米。北侧区域内有两段互不重叠的斜路，各自连接该区域的南北边界，水平截宽均恒为w米；南侧区域内有一段连接该区域南北边界的斜路，水平截宽恒为2w米。所有斜路均完全位于对应区域内。铺路后未铺装面积为1920平方米，w等于多少米？

A．1

B．1.5

C．2

D．2.5

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答案：C

庭院总面积为64×36＝2304平方米，水平主路面积为64×4＝256平方米，斜路总面积为2304－256－1920＝128平方米。北侧两段斜路合计面积2w×10＝20w，南侧斜路面积2w×22＝44w，故64w＝128，w＝2，选C。独立核验：北侧每层两路合计截宽为2w，南侧每层截宽也为2w，所以未铺装面积为（64－2w）×32。令其等于1920，得64－2w＝60，仍得w＝2。四个选项对应的未铺装面积依次为1984、1952、1920、1888平方米，只有C满足条件。

迁移维度：由面积反求截宽；综合道路条数与宽度倍数，而非只统计斜路数量。

原创迁移练习3

【教学模拟】一块东西长60米、南北宽40米的长方形活动场，以南边界为高度0米、北边界为高度40米。一条水平道路贯穿东西边界，占据高度16米至20米的区域。高度0米至16米的区域内有一条道路，其水平截宽从南边界的1米均匀增加到高度16米处的3米。高度20米至40米的区域内有两条互不重叠的道路，均连接该区域南北边界，水平截宽分别恒为1米和2米。所有道路都完全位于活动场内，除此之外没有其他铺装。未铺装面积是多少平方米？

A．2052

B．2084

C．2128

D．2068

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答案：D

水平道路面积为60×4＝240平方米。南侧道路的水平截宽均匀变化，平均截宽为（1＋3）÷2＝2米，面积为2×16＝32平方米。北侧两路合计面积为（1＋2）×20＝60平方米。未铺装面积为60×40－240－32－60＝2068平方米，选D。独立核验：南侧未铺装截长从59米均匀减至57米，面积为（59＋57）÷2×16＝928平方米；北侧未铺装截长恒为57米，面积为57×20＝1140平方米，合计2068平方米。A把南侧道路全按宽3米计算，B全按宽1米计算，C漏扣北侧两路，均不成立。

迁移维度：从恒定截宽推广到线性变化截宽；结合梯形平均宽度与分层面积。

原创迁移练习4

【教学模拟】一块长方形广场东西长60米、南北宽20米。用x表示距西边界的水平距离，用y表示距南边界的竖直距离，单位均为米。广场内铺设三条道路：水平道路覆盖9≤y≤11的全部区域；斜路甲在每个高度y占据10＋y≤x≤12＋y的水平区间；斜路乙在每个高度y占据40－y≤x≤42－y的水平区间。两条斜路均贯穿0≤y≤20的高度范围，道路交叠处只计一次铺装。未铺装面积是多少平方米？

A．1010

B．1008

C．1012

D．1018

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答案：A

广场面积为60×20＝1200平方米，水平道路面积为60×2＝120平方米，两条斜路面积各为2×20＝40平方米。每条斜路与水平道路的交叠面积均为2×2＝4平方米。两条斜路从y＝14开始交叠，到y＝16结束；交叠截宽从0均匀增至y＝15时的2米，再均匀减至0，交叠面积为1×2÷2＋1×2÷2＝2平方米。该交叠区与水平道路不相交，因此不存在三路公共区域。道路并集面积为120＋40＋40－4－4－2＝190平方米，未铺装面积为1010平方米，选A。独立核验：水平道路之外的总高度为18米，两斜路面积之和为4×18＝72平方米，扣除它们彼此重叠的2平方米，得到额外铺装70平方米；剩余面积为60×18－70＝1010平方米。B漏加了两斜路重复扣除的2平方米；C、D也不等于道路并集计算结果。

迁移维度：从分离斜路推广到交叉斜路；通过水平区间求交叠面积并使用容斥。

原创迁移练习5

【教学模拟】一块东西长80米、南北宽30米的长方形园地，修建一条贯穿东西边界的水平道路，占据距南边界14米至16米的区域。另修一条贯穿南北边界的直线斜路，两侧边界平行，垂直于斜路边界测得的宽度为3米。斜路中心线经过南边界上距西边界20米的点，沿中心线每向北前进4米，就向东前进3米。斜路在园内所有高度处均不接触东西边界，超出园界的部分不计。两条道路交叠处只计一次铺装。园地剩余未铺装面积是多少平方米？

A．2128

B．2156

C．2168

D．2135

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答案：D

斜路方向对应水平3、竖直4、斜边5的直角三角形。设斜路水平截宽为b，则该水平线段在垂直于斜路方向上的投影长为4b÷5。由4b÷5＝3，得b＝15÷4＝3.75米。横路面积为80×2＝160平方米，横路以外的斜路面积为3.75×（30－2）＝105平方米，故未铺装面积为80×30－160－105＝2135平方米，选D。独立核验：完整斜路面积为3.75×30＝112.5平方米，与横路的交叠面积为3.75×2＝7.5平方米，道路并集为160＋112.5－7.5＝265平方米，剩余2400－265＝2135平方米。B把垂直于斜路边界的3米直接当作水平截宽；A、C也不满足换算后的面积关系。

迁移维度：区分水平截宽与垂直于斜路边界的宽度；利用方向比例换算后处理交叠。