年龄倍数求定和，互异整数找最优｜2023云南省考第48题
内容摘要：从原题条件出发，逐项核验选项；配5道完整原创迁移练习及独立解析。
完整题面
48． 一家三口年龄各不相同，今年爸爸与妈妈年龄之和是孩子年龄的 8 倍，而 10 年后，爸爸与妈妈年龄 之和为孩子年龄的 5 倍。今年爸爸、妈妈的年龄在各种可能组合中乘积最大，问今年妈妈的年龄可 能是多少岁： A．39 B．40 C．50 D．51
原卷页图：核对图表与选项
**按原卷采用的整数年龄口径，本题选A：妈妈今年可能为39岁。** 两个时间点的倍数关系确定孩子今年10岁、父母总龄80岁；父母年龄互异，乘积最大时为39岁和41岁。题干没有规定爸爸必须年长，因此妈妈也可能为41岁，选项中符合的是39岁。
原题
一家三口年龄各不相同，今年爸爸与妈妈年龄之和是孩子年龄的8倍，而10年后，爸爸与妈妈年龄之和为孩子年龄的5倍。今年爸爸、妈妈的年龄在各种可能组合中乘积最大，问今年妈妈的年龄可能是多少岁？
A．39 B．40 C．50 D．51
第一步：人数决定总龄增加多少
设孩子今年c岁，爸爸与妈妈今年年龄之和为S岁。
今年：S＝8c。
10年后：S＋20＝5×(c＋10)。
这里的20来自两位家长各增加10岁。父母总龄增加20岁，孩子年龄增加10岁，不能把两处增量写成相同的数。
代入可得：
8c＋20＝5c＋50；
3c＝30；
c＝10，S＝80。
至此，孩子年龄与父母总龄都已确定，问题转化为：两个互不相等的整数之和为80，它们的乘积最大是多少？
第二步：在可行组合中寻找最小年龄差
设父母今年分别为a岁、b岁，则a＋b＝80。利用恒等式：
ab＝[(a＋b)²－(a－b)²]÷4；
ab＝1600－(a－b)²÷4。
总和固定，乘积随年龄差的绝对值增大而减小。因此，要寻找符合题意的最小年龄差。
若取40岁、40岁，乘积为1600，但违反年龄各不相同的条件。又因为a、b都是整数，且和为偶数，两数之差也必须为偶数；排除差为0后，最小的绝对年龄差为2。
因此，最优组合为39岁、41岁，最大乘积为：
39×41＝1599。
两位家长的年龄也都不同于孩子的10岁，满足一家三口年龄两两不同。
交叉核验：用差额变化与调整法再解一次
今年父母总龄是孩子年龄的8倍，因此比孩子年龄的5倍多出3c。
经过10年，父母总龄增加20岁，而孩子年龄的5倍增加50岁，两者的差额减少30岁，恰好降为0。因此：
3c＝50－20＝30。
仍得孩子今年10岁、父母总龄80岁。
再设父母年龄为a＜b。如果年龄差至少为4，把较小年龄增加1、较大年龄减少1，新组合仍为互异整数，乘积变化为：
(a＋1)×(b－1)－ab＝b－a－1＞0。
这说明年龄差至少为4的组合都可以继续改善。总和为80时，互异整数的年龄差只能取正偶数，所以最大乘积必在年龄差为2时取得，即39岁和41岁。
最后代回两个时间点：今年80＝8×10；10年后100＝5×20，均成立。
四个选项分别错在哪里
| 选项 | 妈妈今年年龄 | 爸爸今年年龄 | 年龄乘积 | 判断 |
|---|---|---|---|---|
| A | 39 | 41 | 1599 | 满足条件，达到最大值 |
| B | 40 | 40 | 1600 | 父母同龄，不符合题意 |
| C | 50 | 30 | 1500 | 可以满足倍数关系，但乘积不是最大 |
| D | 51 | 29 | 1479 | 可以满足倍数关系，但乘积不是最大 |
题目要求在全部可能组合中达到最大，不能只在选项之间比较后便省略最优性证明。本题的年龄差分析与调整法，分别给出了全局最优的理由。
原题的整数年龄口径
原题没有明确写出“年龄均为整数”。按这道行测题采用的整数岁数模型，可以得到上述答案。
若严格允许年龄取任意正实数，同时要求父母年龄不同，则可令父母分别为40－t岁、40＋t岁，其中0＜t＜30，保证两位家长都大于孩子的10岁。乘积为1600－t²。对任何这样的t，改取t÷2都能得到更大的乘积，且仍满足所有条件。因此，连续实数模型下只有上确界1600，没有能够取到的最大值。
所以，39岁与41岁这一最优组合依赖整数年龄口径。解析应明确这一前提，也不能从题干额外推出“爸爸一定比妈妈年长”。
可迁移的方法
先把每组包含的人数数清楚，经过若干年后的总龄增量等于人数乘年数；再利用两个时间点的倍数关系求出年龄或总龄。完成这一步后，才处理乘积最大的问题。
定和乘积最大，需要在可行范围内寻找尽量接近的数。检查条件时应包括整数、互异、奇偶、整除步长和大小限制。找到候选组合后，再代回原条件，并说明为什么其他可行组合不能更优。下列五道原创题的数据均为教学模拟，分别练习人数变化、预算转移、整除与差值限制、连续变量边界，以及三个互异整数的乘积最优。
5道原创迁移练习
以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。
原创迁移练习1
【教学模拟】某家庭有爷爷、爸爸、妈妈和孩子四人，今年四人的年龄均为正整数且两两不同。今年四人的年龄之和是孩子年龄的18倍，8年后四人的年龄之和是届时孩子年龄的11倍。已知爷爷今年70岁，在所有满足条件的年龄组合中，爸爸与妈妈今年年龄乘积的最大值是多少？
A．1089
B．1080
C．1040
D．1088
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答案：D
设孩子今年c岁，四人今年总龄为T岁。由T＝18c、T＋4×8＝11×(c＋8)，得到18c＋32＝11c＋88，故c＝8、T＝144。父母今年总龄为144－70－8＝66岁。两个互异整数的和为66，最小非零年龄差为2，因此父母为32岁、34岁时乘积最大，32×34＝1088，选D。独立核验：设父母为33－k岁、33＋k岁，k为正整数，乘积为1089－k²，在k＝1时最大。四人年龄8、32、34、70两两不同；8年后总龄为16＋40＋42＋78＝176，恰为孩子届时16岁的11倍。A对应33与33，违反互异；B对应30与36，乘积较小；C对应26与40，乘积也较小。四个选项中只有D为最大值。
迁移维度：将父母二人的总龄变化推广到四人总龄变化，再扣除已知成员年龄，完成定和乘积优化。
原创迁移练习2
【教学模拟】甲、乙、丙三个项目的初始预算均为正数。以百元为单位表示时，三个预算数值都是4的整数倍，且甲、乙初始预算不相等。初始时，甲、乙预算之和是丙的5倍；从甲项目调拨12百元给丙项目后，甲、乙预算之和变为丙的3倍。调拨后各项目预算仍为正数。以百元为单位，甲、乙初始预算数值乘积的最大值是多少？
A．3600
B．3584
C．3564
D．3456
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答案：B
设丙初始预算数值为c，甲、乙初始预算数值之和为S。由S＝5c、S－12＝3×(c＋12)，得5c－12＝3c＋36，解得c＝24、S＝120。甲、乙均为4的整数倍且不相等，因此在均分值60两侧最近的可行数是56、64，乘积为3584，选B。独立核验：令甲＝4u、乙＝4v，则u＋v＝30，u、v为互异正整数，乘积最大时为14和16，因此原预算数值乘积为16×14×16＝3584。取甲56、乙64、丙24，调拨后为44、64、36，满足44＋64＝3×36，且均为正数。A要求60与60，违反不相等；C若由总和120的两数取得，只能为54与66，不满足4的整数倍条件；D可由48与72取得，但小于3584。
迁移维度：把自然增长改为一减一增的预算转移，并把整数限制推广为固定整除步长。
原创迁移练习3
【教学模拟】某展馆把150平方米场地全部分给甲、乙、丙三个展区。丙展区面积为甲、乙面积之和的2/3。甲、乙面积均为正整数且都是3的倍数，甲至少比乙多14平方米。甲、乙面积数值乘积的最大值是多少？
A．2025
B．1976
C．1944
D．1881
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答案：C
设甲、乙面积之和为S，则S＋(2/3)×S＝150，得到S＝90，丙面积为60。甲、乙都是3的倍数，且和为90，因此两者面积差必须是6的倍数。面积差至少为14，最小可行差为18，故甲为54平方米、乙为36平方米，最大乘积为54×36＝1944，选C。独立核验：设甲＝45＋3k、乙＝45－3k，其中k为整数；由甲比乙至少多14得6k≥14，因此k≥3。乘积为2025－9k²，在k＝3时最大，为1944。候选面积54、36、60合计150，且60＝(2/3)×(54＋36)，各项条件成立。A对应45与45，不满足最小差值；B对应52与38，不满足3的倍数条件；D对应57与33，符合条件但乘积较小。
迁移维度：结合总量比例、最小差值和整除条件，寻找真正可行的最小差。
原创迁移练习4
【教学模拟】用长度为24厘米的细线围成一个长方形，忽略细线粗细。要求相邻两边长度为不相等的正实数，不要求取整数。关于该长方形面积，以下说法正确的是：
A．存在最大面积，最大值为36平方厘米
B．存在最大面积，最大值为35平方厘米
C．面积没有上界
D．面积没有可取的最大值，但可以任意接近36平方厘米
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答案：D
周长为24厘米，所以相邻两边之和为12厘米。把较短边和较长边分别写为6－t、6＋t，其中0＜t＜6，则面积为36－t²，始终小于36，但可以随着t趋近于0而任意接近36，选D。独立核验：对任何可行的t，改取t÷2，两边仍为不相等的正实数，面积增加3t²÷4，因此任何可行面积都还能增大，不存在最大值。A取到36需要两边同为6，违反不相等；B中的35可由5与7取得，但5.5与6.5的面积为35.75，已经更大；C错误，因为所有面积都小于36，存在上界。
迁移维度：检验整数模型的适用边界，区分连续变量中的可取最大值与上确界。
原创迁移练习5
【教学模拟】某课堂活动将45枚完全相同的积分章全部分给三个小组。每组至少分到1枚，三个小组得到的枚数两两不同。三个小组所得枚数乘积的最大值是多少？
A．3360
B．3375
C．3328
D．3276
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答案：A
把三组枚数从小到大记为正整数a＜b＜c，且a＋b＋c＝45。若a≥15，则三数之和至少为15＋16＋17＝48，不可能，因此a≤14。当a＝14时，b＋c＝31，且15≤b＜c，只能取b＝15、c＝16，乘积为14×15×16＝3360。下面排除a≤13的全部情况。为求上界，暂时放宽互异和大小顺序限制。如果a＜13，每次从另外两数中较大的数m移1给a；此时a≤12，另外两数之和至少33，所以m≥17。两者乘积增加m－a－1＞0，第三数为正，因此三数乘积增加。重复至a＝13，另外两数之和为32，乘积至多为16×16，故原乘积至多为13×16×16＝3328，小于3360。由此证明全局最大值为3360，选A。独立核验最优候选：14＋15＋16＝45，三数两两不同；14×15×16＝(15－1)×15×(15＋1)＝15×224＝3360。B为15×15×15，违反互异；C对应13×16×16，也违反互异；D对应13×14×18，满足条件但乘积较小。结合上述分类上界，只有A是所求最大值。
迁移维度：把两数定和乘积最大推广到三个互异正整数，通过分类和放宽约束所得的上界证明全局最优。
引用与权威来源
常见问题
第48题的参考作答和依据是什么？
参考作答A。按整数年龄口径，设孩子今年c岁，父母今年总龄为S岁。由S＝8c、S＋20＝5×(c＋10)，解得c＝10、S＝80。父母年龄为互异整数，和为偶数80，最小非零年龄差为2，故最优组合为39岁和41岁，乘积1599。题干未规定父母谁年长，妈妈可以为39岁或41岁，选项中只有A符合。原题没有明写整数条件；若允许连续实数年龄，互异条件下乘积只有上确界1600，没有可取的最大值。
本篇提供多少道原创迁移练习？
本篇含5道完整原创迁移练习，提供选项、参考答案与解析。原创情境和数据均为教学模拟。