分母最小公倍数设人数：用余量和比例还原来源｜2023云南省考第49题

完整题面

49． 某地交警大队原有甲、乙两个中队，随着城区的扩张，现在需要改编为 3 个新的交警中队。改编的 方案是将原来甲中队的 1 3队员与乙中队的 1 4队员组成新的一中队，原甲中队的 1 4队员和原乙中队的 1 3队员 组成新的二中队，余下的 30 人组成新的三中队。如果新组建的一中队人数比二中队人数多 10%，那 么新组建的三中队有多少名队员来自原甲中队： A．12 B．15 C．18 D．20

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原卷页图：核对图表与选项

结论与题干依据

第49题选D，新三中队中有20人来自原甲中队。

原图中的关键条件是：新一中队分别接收原甲的1/3、原乙的1/4；新二中队分别接收原甲的1/4、原乙的1/3；剩余30人全部进入新三中队；新一中队人数比新二中队多10%。题目问的是新三中队内来自原甲的人数。

这里有两个需要先看清的关系：

- 两个原中队留下的比例相同，都是1－1/3－1/4＝5/12。 - “一中队比二中队多10%”以二中队人数为基数，因此一中队人数＝二中队人数×1.1。

首选解法：用最小公倍数消去分母

同一个原中队都要分别抽出1/3和1/4，且人数必须为整数，因此原甲、原乙的人数分别是12的倍数。这里要求的是两个中队各自满足整除条件，不能只要求合计人数为12的倍数。

设原甲有12x人，原乙有12y人，分配关系如下：

来源	新一中队	新二中队	新三中队
原甲：12x人	4x	3x	5x
原乙：12y人	3y	4y	5y
合计	4x＋3y	3x＋4y	5x＋5y

由第三队的30人可得：

5x＋5y＝30，即x＋y＝6。

由前两队的人数比例可得：

4x＋3y＝1.1×(3x＋4y)。

两边乘10，整理为：

40x＋30y＝33x＋44y；

7x＝14y，所以x＝2y。

联立x＋y＝6，得到x＝4、y＝2。新三中队中来自原甲的为5x＝20人，选D。

还可以利用比例少算一步：原甲人数是原乙的2倍，而两队留下的比例都是5/12，所以第三队中来自原甲、原乙的人数也是2∶1。将30人按2∶1分配，来自原甲的就是30×2/3＝20人。

独立交叉解法：先求总人数，再用两队人数差还原

这次直接从原始人数出发，不沿用x、y方程。

两个原中队都留下5/12，剩余合计30人，因此原总人数为：

30÷(5/12)＝72人。

新一、新二中队合计有72－30＝42人。由“一中队比二中队多10%”，两队人数之比为11∶10，所以：

新一中队＝42×11/21＝22人；

新二中队＝42×10/21＝20人。

设原甲、原乙人数分别为A、B。新一中队比新二中队多出的人数为：

(A/3＋B/4)－(A/4＋B/3)＝(A－B)/12。

实际相差22－20＝2人，因此A－B＝24。结合A＋B＝72，得到A＝48、B＝24。

原甲进入第三队的人数为48×5/12＝20人，与首选解法一致。

A—D逐项判断

若某选项给出的原甲留存人数为r，则原乙留存人数为30－r。两队的留存率均为5/12，据此可以反推原人数，再检验分配结果。

选项	假设原甲留存人数	反推原甲、原乙人数	检验结果
A	12	28.8人、43.2人	原人数不是整数；新一队20.4人、新二队21.6人，也不满足大小关系
B	15	36人、36人	新一队、新二队均为21人，没有多10%
C	18	43.2人、28.8人	原人数不是整数；新一队21.6人、新二队20.4人，增幅约5.88%
D	20	48人、24人	新一队22人、新二队20人，恰好多10%，且第三队合计30人

表中的小数人数是排除错误选项的反证，不是可执行的调配方案。

错因辨析

**把新队人数比直接当作原队人数比。** 新一队、新二队分别混合了两个来源，11∶10描述的是混合后的结果。原甲与原乙的比例需要根据分配系数求出，本题为2∶1。

**把“多10%”理解为多10人，或用一中队作百分比基数。** 正确关系是“一队－二队＝二队×10%”。若计算成“差额÷一队”，比例便发生改变。

**将第三队的30人平均分给两个来源。** 两个来源的留存率相等，只能说明留存人数之比与原人数之比相同。只有原人数相等时，留存人数才会相等。

**求出48人就直接选答案。** 48是原甲总人数，所问还需乘5/12。解题时应一直保留“原人数、调出人数、剩余人数”的对象区别。

迁移方法：先整理分配，再决定怎样设数

遇到“两类来源分入多个去向”的题目，可以依次处理：

1. 按来源列出分配比例，先算每类来源的剩余率。 2. 对同一来源出现的分母取最小公倍数，分别设为这个公倍数的整数倍；不同来源可以使用不同的公倍数。 3. 用“剩余总量”建立加法关系，用“多或少百分之几”建立比例关系。 4. 解出参数后，回到题目所问的那一格，不把来源总量当成某个去向的分量。 5. 回代检查总量、比例和整数性，三者都成立才完成核验。

本题能够先求原总人数，是因为两个来源的剩余率恰好相等。若剩余率不同，就应分别写出剩余量再相加。若出现“先留出一部分，再从剩余部分抽取”，应先把分配比例换算到原总量上，明确每个分数的基数。

还可将整除条件用于可行性判断：比例方程有实数解并不保证人数方案可行。原始人数、各次调配人数都必须为整数；在一些迁移题里，这会进一步要求剩余总量只能取某个整数的倍数。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】某教学资料中心将甲、乙两批图书按整册分配。甲批的1/2送往第一阅览室、1/3送往第二阅览室；乙批的1/4送往第一阅览室、1/2送往第二阅览室。两批未分配的图书共30册，全部留在资料中心。已知第一阅览室收到的图书比第二阅览室少10%，则留在资料中心的图书中，来自乙批的有多少册？

A．12册

B．15册

C．18册

D．24册

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答案：C

甲批剩余1/6，乙批剩余1/4，不能按相同留存率处理。设甲批6x册、乙批4y册，第一阅览室收到3x＋y册，第二阅览室收到2x＋2y册，留存x＋y＝30。由3x＋y＝0.9×(2x＋2y)，得3x＝2y；联立得x＝12、y＝18，故选C。独立核验：第二阅览室收到2(x＋y)＝60册，第一阅览室应收到54册；由3x＋y＝54和x＋y＝30也得x＝12、y＝18。原两批各72册，第一室36＋18＝54册，第二室24＋36＝60册，留存12＋18＝30册。逐项检验乙批留存量：A、B、C、D分别使第一室收到66、60、54、42册，而第二室始终为60册，只有C满足少10%。

迁移维度：两来源剩余率不同；分别选择分母公倍数，将“少10%”正确转化为以第二去向为基数的比例。

原创迁移练习2

【教学模拟】甲、乙两个培训班安排学员参加活动。先从甲班留出原人数的1/5、从乙班留出原人数的1/4，共40人参加专项培训；再将甲班剩余学员的1/2、乙班剩余学员的1/3安排到第一执行组，其余全部安排到第二执行组。各次安排人数均为整数。若第一执行组人数比第二执行组少20%，则甲班原有多少人？

A．100人

B．120人

C．140人

D．160人

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答案：B

第二次分配的分数以各班留出人员后的剩余人数为基数。甲班进入第一组、第二组的比例均为原人数的2/5；乙班进入第一组的比例为原人数的1/4，进入第二组的比例为原人数的1/2。设甲班5x人、乙班4y人，则专项培训人数x＋y＝40，第一组2x＋y人，第二组2x＋2y人。由2x＋y＝0.8×(2x＋2y)，得2x＝3y，解得x＝24、y＝16，甲班原有120人，选B。独立核验：第二组人数恒为2(x＋y)＝80人，第一组应有64人；第一组比专项培训多x人，所以x＝64－40＝24。回代原甲120人、原乙64人，专项培训24＋16＝40人，第一组48＋16＝64人，第二组48＋32＝80人。对A、B、C、D分别回推，第一组为60、64、68、72人，第二组均为80人，对应少25%、20%、15%、10%，只有B成立。

迁移维度：两阶段分配；先统一分数的基数，再按各来源的有效分配比例设数。

原创迁移练习3

【教学模拟】某实训项目将甲、乙两班学员按下表分入三个小组，各格分数均以该班原人数为基数，各次分配人数均为整数。

来源	第一组	第二组	第三组
甲班	1/2	1/4	1/4
乙班	1/3	1/2	1/6

第三组共有24人。随后仅从第一组调3人到第二组，调动后第一组与第二组人数相等，第三组人数不变。第三组中来自甲班的有多少人？

A．15人

B．18人

C．21人

D．24人

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答案：A

设甲班4x人、乙班6y人，原第一组2x＋2y人，第二组x＋3y人，第三组x＋y＝24人。第一组调3人到第二组后相等，说明原第一组比第二组多6人，因此x－y＝6。联立得x＝15、y＝9，第三组来自甲班15人，选A。独立核验：原甲60人、原乙54人，三组人数分别为30＋18＝48、15＋27＝42、15＋9＝24；调动后前两组均45人。也可直接用x＋y＝24得到原第一组恒为48人，调后45人；第二组调后为75－2x人，令其等于45，得到x＝15。逐项代入A、B、C、D，调后第二组分别为45、39、33、27人，只有A与调后第一组45人相等；D还会使乙班原人数为0，不满足有乙班学员参与分配的设定。

迁移维度：将双向人数变化转化为初始差额：从一组向另一组调3人，会使两组人数差缩小6人。

原创迁移练习4

【教学模拟】甲、乙、丙三个仓库把各自的一批教学器材按整箱分入第一配送区、第二配送区和备用区。分配比例如下，各分数均以对应仓库的原有箱数为基数，所有分配结果均为整数。

来源	第一配送区	第二配送区	备用区
甲仓库	1/3	1/4	5/12
乙仓库	1/4	1/3	5/12
丙仓库	1/2	1/4	1/4

已知丙仓库原有箱数是乙仓库的2倍，备用区共72箱，第一配送区箱数比第二配送区多40%。备用区中来自甲仓库的有多少箱？

A．40箱

B．48箱

C．60箱

D．50箱

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答案：D

设甲、乙、丙原有箱数分别为12x、12y、4z。由丙为乙的2倍，得z＝6y。第一配送区为4x＋3y＋2z＝4x＋15y，第二配送区为3x＋4y＋z＝3x＋10y。第一比第二多40%，所以5(4x＋15y)＝7(3x＋10y)，整理得x＝5y。备用区为5x＋5y＋z＝36y＝72，故y＝2、x＝10、z＝12。备用区来自甲仓库的为5x＝50箱，选D。独立核验：将乙、丙合看作一个来源，因丙原箱数为乙的2倍，它们合计的第一、第二配送区及备用区箱数之比为15∶10∶11；甲对应比例为4∶3∶5。设这两部分分别为a、b份，由第一与第二之比7∶5得a＝5b，再用备用区5a＋11b＝72，得b＝2、a＝10，甲的备用量为50箱。回代原箱数为120、24、48；第一配送区40＋6＋24＝70箱，第二配送区30＋8＋12＝50箱，备用区50＋10＋12＝72箱。方程唯一确定甲备用量50箱，A的40箱、B的48箱、C的60箱均不满足全部条件。

迁移维度：扩展到三个来源；用来源总量的倍数关系消去一个未知量，再结合余量和新去向比例求解。

原创迁移练习5

【教学模拟】某实验室将甲、乙两批不可拆分的元件分给两个实验组，其余放入备用区。甲批的1/2分给第一组、1/3分给第二组；乙批的1/3分给第一组、1/2分给第二组。两批原数量均为正整数，各次分配数量也均为整数。若第一组收到的元件比第二组多20%，则备用区元件总数可能是以下哪一项？

A．30件

B．33件

C．36件

D．40件

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答案：B

两批原数量都必须为6的倍数。设甲批6x件、乙批6y件，x、y为正整数，则第一组3x＋2y件，第二组2x＋3y件，备用区x＋y件。由3x＋2y＝1.2×(2x＋3y)，得3x＝8y。因3与8互质，必有x＝8k、y＝3k，其中k为正整数，故备用区总数为11k件。四项中只有33是11的倍数，选B；30、36、40除以11的余数分别为8、3、7，均不可能。独立核验可行性：取k＝3，原甲144件、原乙54件；第一组72＋18＝90件，第二组48＋27＝75件，备用区24＋9＝33件。90比75恰好多20%，且所有数量均为正整数。因此B不仅符合必要的整除条件，也存在完整可行方案。

迁移维度：从求具体人数转向判断整数可行性；结合比例方程与互质关系，确定剩余总量必须满足的倍数条件。