偶平方数与模20余数：证明调拨量唯一｜2023云南省考第53题

完整题面

53． 10 名志愿者准备将村民们刚采摘的一堆西瓜平均装上甲、乙两辆运输车，西瓜总数正巧满足每个村 民采摘的西瓜 个数都等于该村村民数。志愿者们先每人抱一个西瓜放到甲车上，然后每人抱一个西 瓜放到乙车上，依次轮流进行，直到所剩西瓜少到容易清点时再平分。当最后 1 次把 10 个西瓜放到 甲车后，发现所剩西瓜不足 10 个，于是，不得不从甲车抱出几个与所剩西瓜一起放到乙车上，此时 刚好两车所装西瓜一样多。问最后从甲车拿出几个西瓜： A．1 B．2 C．3 D．4

原卷页图：核对图表与选项

**结论：选B，最后从甲车拿出2个西瓜。**关键是证明：所有符合题意的西瓜总数，在最后一次向甲车装入10个后，都恰好剩下6个。

一、从题干提取三个约束

设该村有n名村民，西瓜总数为N。

每名村民采摘的西瓜数都等于村民数，因此N=n²。最终全部西瓜平均分装到两辆车上，每辆车上的西瓜数都是整数，所以N为偶数，n也必须是偶数。

这里的10名志愿者决定每批装运10个，与村民人数n没有直接关系。

再看装运顺序：甲10个、乙10个，构成一个完整轮次，每轮共装20个。设最后一次向甲车装运前，已经完成q个完整轮次；随后甲车再装10个，剩余r个，且0≤r<10。于是：

N=20q+10+r。

最后这一步把总数的模20余数限制在10至19之间。

二、首选解法：偶平方数的模20余数

因为n为偶数，n除以10的余数只有0、2、4、6、8。逐一平方，可以得到完整的余数表：

n除以10的余数	n²除以20的余数
0	0
2	4
4	16
6	16
8	4

因此，偶平方数除以20的余数只能是0、4或16。

另一方面，装运过程已经给出N=20q+10+r，其中10+r在10至19之间。两个余数集合只有一个共同值16，所以：

10+r=16，r=6。

最后一次向甲车装入10个后，两车原有数量分别为：

甲车：10q+10；乙车：10q。

将剩余6个放到乙车后，甲车比乙车多4个。设从甲车向乙车转移x个，则：

10q+10−x=10q+6+x。

所以2x=4，x=2。

**转移一个西瓜，会使两车的数量差减少2个。因此，多4个只需转移2个。**

三、独立交叉解法：检查平均数的个位

这次从每辆车最终应装多少个入手。

设n=2k，则西瓜总数为4k²，每辆车最终应装2k²个。平方数除以5的余数只有0、1、4，因此2k²除以10的余数只有0、2、8，即每辆车最终数量的个位只能是0、2、8。

最后一次向甲车装运后，甲车上的数量为10q+10，是10的倍数。若随后从甲车拿出x个，则甲车最终数量为10q+10−x。

由两车平衡关系可知：

2x=10−r。

因为0≤r<10，且x为整数，所以1≤x≤5。甲车最终数量的个位相应只能是9、8、7、6、5。与前面得到的0、2、8比较，只有8符合，因此x=2。

这条路径直接检查“平均数的个位”，与前面的总数模20余数法得到同一结论。

四、A—D逐项判断

也可以把每个选项对应的调拨量代回去，检查它是否允许西瓜总数为偶平方数。由2x=10−r，得到r=10−2x。

选项	调拨量x	对应剩余量r	总数N除以20的余数	判断
A	1	8	18	偶平方数不可能余18，排除
B	2	6	16	符合全部约束，正确
C	3	4	14	偶平方数不可能余14，排除
D	4	2	12	偶平方数不可能余12，排除

五、为什么只代入16还不够

总数取16时，甲车先装10个，剩余6个；从甲车转移2个后，两车各有8个。这能证明选项B存在一个成立的例子。

但单独检查16，还没有证明其他可行总数也对应同一调拨量。完整解答需要先确定：所有符合条件的总数都满足N除以20余16。

下表展示几个可行情形，表中的两车数量均指最后一次向甲车装运后、处理剩余西瓜之前的数量：

西瓜总数	已完成的完整轮次q	甲车数量	乙车数量	剩余数量	从甲车调出
16	0	10	0	6	2
36	1	20	10	6	2
196	9	100	90	6	2

例子可以帮助检查计算；保证结论适用于所有可行总数的依据，是前面的余数证明。

六、常见错因与迁移方法

**把10名志愿者当成10名村民。**两类人数的作用不同：村民人数决定平方数结构，志愿者人数决定每批装运量。

**看到“平方数”就直接试16。**试数适合发现答案，之后还应说明其他可行总数为什么不会改变结论。

**认为剩余量可以任意取偶数。**最终均分确实要求r为偶数，但平方数约束还会进一步筛选，最终只留下r=6。

**把两车数量差当成转移量。**从甲向乙转移x个，甲减少x个、乙增加x个，数量差共减少2x个。

遇到类似题，可以依次处理四件事：先把总数写成平方数等结构式，再依据均分条件判断整除性；接着把轮流装运写成“完整轮次总量×轮数＋末轮已装数量＋剩余量”；最后比较余数，确定剩余量，再用数量差求调拨量。若出现预装库存或三车分配，应重新列平衡式，不能直接沿用本题的数值结论。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】某实训任务共有n个生产小组，每组制作n+2件教具，n为正整数。全部教具需要平均装入甲、乙两箱。工作人员每批搬运6件，按甲箱、乙箱的顺序交替装入。最后一批向甲箱装入6件后，发现剩余不足6件。将剩余教具全部放入乙箱，再从甲箱转移若干件到乙箱，两箱恰好一样多。最后从甲箱转移了多少件？

A．2件

B．1件

C．3件

D．4件

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答案：A

设总数N=n(n+2)。能够整件均分，说明N为偶数；若n为奇数，n与n+2均为奇数，乘积为奇数，故n必须为偶数。n模6分别为0、2、4时，n(n+2)模12分别为0、8、0，所以N模12只能余0或8。装运记录给出N=12q+6+r，0≤r<6，故模12余数处于6至11之间，只能为8，得到r=2。剩余2件装入乙箱后，甲箱多4件，转移2件即可，选A。独立核验：N=(n+1)²−1，n+1为奇数；奇数平方模12只能余1或9，所以N模12只能余0或8，与前述一致。取n=8，总数80；完成6轮后两箱各36件，甲箱再装6件、乙箱装剩余2件，得到42件与38件，转移2件后各40件。其余选项均不能满足数量平衡。

迁移维度：把总数结构从n²推广为n(n+2)，结合均分条件和模12余数重新推导调拨量。

原创迁移练习2

【教学模拟】仓库共有n²盒物资，n为不小于4的整数，全部物资最终要平均装入甲、乙两车。先从这批物资中预装4盒到甲车，乙车为空；随后对尚未装车的物资，每批搬运10盒，按甲车、乙车的顺序交替装入。最后一次向甲车装入10盒后，剩余不足10盒。将剩余物资全部放入乙车，再从甲车向乙车转移若干盒，使两车数量相等。在所有符合条件的情形中，最后转移盒数的完整可能取值集合是：

A．{2，4}

B．{4，6}

C．{2，6}

D．{4，6，8}

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答案：B

总数能够均分，故n为偶数，n²模20只能余0、4、16。设交替装运完成q个完整轮次后，甲车又装10盒，剩余r盒，0≤r<10，则n²=4+20q+10+r=20q+14+r。14+r在14至23之间，与偶平方数余数条件相容的只有16、20，分别对应r=2、6。剩余物资装乙车后，甲车为10q+14盒，乙车为10q+r盒，转移量x=(14−r)÷2，分别为6盒、4盒，选B。独立核验两种取值均能实现：n=4时总数16，甲车预装4盒后再装10盒，乙车装剩余2盒，转移6盒后各8盒；n=10时总数100，完成4轮后甲车再装10盒、乙车装剩余6盒，两车为54盒与46盒，转移4盒后各50盒。推导已排除其他取值，A、C、D均不是完整可能集合。

迁移维度：加入不对称预装库存，训练重新建立总数式与平衡式，并区分唯一数值和完整可能集合。

原创迁移练习3

【教学模拟】一份搬运记录写道：共有n个小组，每组提供n件物资；全部物资最终能够整件平均分装到甲、乙两箱。两箱起初均为空，每批装8件，依次装入甲箱、乙箱，循环进行。最后一次向甲箱装入8件后，尚未装箱的物资不足8件。上述数量与过程均记录准确。审核人员应作出哪项判断？

A．这些记录不可能同时成立

B．物资总数一定为64件

C．最后从甲箱转移4件即可完成均分

D．尚未装箱的物资一定为4件

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答案：A

物资总数N=n²，能够整件均分，故n为偶数。偶数平方模16只能余0或4。若记录中的装运过程成立，设完成q轮后甲箱再装8件，剩余r件，0≤r<8，则N=16q+8+r，模16余数应处于8至15之间，与0、4没有交集。因此这些记录不可能同时成立，选A。独立核验：若N模16余0，按每批8件交替装运，恰好在装完乙箱后用尽；若余4，则完成若干整轮后只剩4件，无法再向甲箱装入完整一批8件。两种情况都不符合记录。64件会在装完乙箱后用尽，B不成立；C、D也无法修复总数结构与装运过程之间的矛盾。

迁移维度：利用余数集合无交集识别条件冲突，判断装运记录是否存在可行情形。

原创迁移练习4

【教学模拟】某训练中心共有n个站点，每个站点提供n箱器材，n为大于20的整数。全部器材最终要平均装入甲、乙两车。对同一批器材分别模拟以下两套方案，每套方案都从两辆空车开始：方案一每批装10箱，按甲、乙顺序交替装运，最后一次向甲车装10箱后，剩余不足10箱；方案二每批装7箱，同样按甲、乙顺序交替装运，最后一次向甲车装7箱后，剩余不足7箱。两套方案均可在处理余量并适当调拨后完成均分。满足条件的n最小为多少？

A．24

B．26

C．36

D．34

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答案：D

总数N=n²能够均分，故n为偶数。方案一要求N模20余数在10至19之间；偶平方数模20只能余0、4、16，所以必须余16，得到n除以10余4或6。n>20时，按从小到大排列的候选人数首先为24、26、34、36。方案二要求N模14余数在7至13之间。逐项检查：24²=576，除以14余2，不符合；26²=676，除以14余4，不符合；34²=1156，除以14余8，符合，因此最小为34，选D。独立核验：1156=20×57+10+6，也等于14×82+7+1。方案一最后甲车装10箱后剩6箱，调拨2箱可均分；方案二最后甲车装7箱后剩1箱，调拨3箱可均分，每车均为578箱。36也满足两套方案，但大于34，故C不符合最小值要求。

迁移维度：把同一平方总数放入两种轮次结构，联合余数条件筛选最小可行参数。

原创迁移练习5

【教学模拟】某仓库有n排货架，每排恰有n箱物资，全部物资最终能够整箱平均装入甲、乙、丙三车。三车起初均为空，每批搬运10箱，按甲车、乙车、丙车的顺序循环装运。最后一次向甲车装入10箱后，发现剩余不足10箱。随后把剩余物资全部装入乙、丙两车，并从甲车调出若干箱补入乙、丙两车，使三车数量相同，乙、丙之间不再互相调拨。最后从甲车一共调出多少箱？

A．3箱

B．4箱

C．5箱

D．6箱

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答案：C

设总数N=n²。完成q个三车各装10箱的完整轮次后，甲车又装10箱，剩余r箱，0≤r<10，因此N=30q+10+r。三车能够整箱均分，所以N是3的倍数，10+r在10至19之间只能取12、15、18，对应r为2、5、8。平方数的个位只能为0、1、4、5、6、9，排除个位为2和8的情形，因此10+r=15，r=5。总数为30q+15，每车最终应装10q+5箱；此时甲车已有10q+10箱，必须调出5箱，选C。独立核验：n=15时总数225箱，完成7轮后三车各70箱，甲车再装10箱后为80箱，剩余5箱。把剩余5箱装入乙车，再从甲车调5箱到丙车，三车各75箱，过程可实现。无论剩余5箱如何在乙、丙之间分配，甲车相对目标数量始终多5箱，A、B、D均不能使甲车达到目标。

迁移维度：由两车推广到三车，联合平方数个位与整除条件确定余量，再用目标均值求调出总量。