圆锥翻转：排水体积守恒与立方估算｜2022云南省考第55题

完整题面

55．一个高为 10 厘米， 底面半径为5 厘米的圆锥体塑料零件置于水中， 底面朝上且与水面平行， 其浮出水 面部分的高为 2 厘米。那么当该零件底面朝下且与水面平行置于水中时，浮出水面部分的高在以下哪 个范围内： （零件始终不接触水底） A．不到 6 厘米 B．6～7 厘米之间 C．7～8 厘米之间 D．超过 8 厘米

=== PDF PAGE 10 === 好风凭借力 送我上青云 10 第四部分 判断推理 （共 30 题，参考时限 35 分钟）

一、图形推理。请按每道题的答题要求作答。 请开始答题：

原卷页图：核对图表与选项

结论与题干依据

第55题选C，翻转后浮出水面部分的高度在7～8厘米之间，约为7.87厘米。

原题给出圆锥高10厘米、底面半径5厘米，第一次底面朝上，露出水面的高度为2厘米；翻转后底面朝下，两次底面均与水面平行，且零件始终不接触水底。

解题需要同时抓住两个关系：同一个零件在同一种水中达到漂浮平衡，重力不变，所以排水体积不变；圆锥被平行于底面的平面截开时，包含顶点的小圆锥与原圆锥相似，体积比等于高度比的三次方。这里采用行测题通常使用的理想漂浮模型，忽略表面张力等影响。

首选解法：先辨认小圆锥，再取体积补集

第一次底面朝上，顶点朝下。水面以上是靠近底面的圆台，水面以下才是包含顶点的小圆锥。

水下小圆锥的高度为10－2＝8厘米，因此：

水下体积占总体积的比例＝(8÷10)³＝0.512。

零件翻转后仍然漂浮，排水体积仍占总体积的0.512，所以水上体积占总体积的比例为：

1－0.512＝0.488。

第二次底面朝下，顶点朝上，水上部分恰好是一个与整体相似的小圆锥。设其高度为x厘米，则：

(x÷10)³＝0.488，得到x³＝488。

比较相邻整数的立方：

7³＝343，8³＝512，且343＜488＜512。

因此7＜x＜8，选C。区间题到这里即可，不需要计算三次方根的小数值。

这条解题路径中，0.512始终代表水下体积比例；翻转后的小圆锥位于水上，所以必须先取补集，才能应用相似关系。

独立交叉核验：用圆台公式检查区间两端

换用绝对体积和圆台公式，可以核对上述结论，而不直接求解x³＝488。

整个圆锥的体积为：

V＝π×5²×10÷3＝250π÷3立方厘米。

第一次水下小圆锥高8厘米，半径为5×8÷10＝4厘米，所以排水体积为：

V排＝π×4²×8÷3＝128π÷3立方厘米。

翻转后，水下部分成为圆台。圆台体积公式为：

V圆台＝π×高×(大半径²＋大半径×小半径＋小半径²)÷3。

若水上高度为7厘米，则水下圆台高3厘米，水面截面半径为3.5厘米。此时：

V排(7)＝π×3×(25＋17.5＋12.25)÷3＝219π÷4立方厘米。

它大于所需的128π÷3立方厘米，说明露出7厘米时浸入过多，实际露出高度应更大。

若水上高度为8厘米，则水下圆台高2厘米，水面截面半径为4厘米。此时：

V排(8)＝π×2×(25＋20＋16)÷3＝122π÷3立方厘米。

它小于所需的128π÷3立方厘米，说明露出8厘米时浸入不足，实际露出高度应更小。

水上高度增加时，排水体积连续、严格减小，因此满足漂浮条件的高度唯一地落在7～8厘米之间，与首选解法一致。

A—D逐项判断

选项	判断	依据
A．不到6厘米	错误	已得x＞7，不可能小于6。
B．6～7厘米之间	错误	x³＝488＞7³＝343，故x＞7。
C．7～8厘米之间	正确	7³＜488＜8³。
D．超过8厘米	错误	x³＝488＜8³＝512，故x＜8。

488不等于343或512，所以答案不涉及区间端点的解释问题。

常见错因：把位置、体积和高度混在一起

第一，把第一次露出的2厘米直接当成小圆锥高度。第一次顶点在水下，露出的部分是圆台，不能写成水上体积比例＝(2÷10)³。应先用10－2得到水下小圆锥的高度。

第二，把排水体积不变理解成水下高度不变。翻转前的水下部分是小圆锥，翻转后是圆台。两者体积相同，高度可以相差很大。本题翻转后的水下高度约为2.13厘米。

第三，翻转后仍令水上小圆锥占总体积的0.512。这个比例属于水下部分；水上部分对应1－0.512＝0.488。漏掉补集，会把水上高度误算为8厘米。

第四，把高度比例直接用于体积。相似立体的长度按一次方变化，面积按平方变化，体积按立方变化，不能用8÷10代替(8÷10)³。

第五，看到圆锥就反复计算半径。首选解法中，比较的都是同一圆锥内部的体积比例，π、半径平方及三分之一会约去。原题半径5厘米可供绝对体积核验，但不影响比例法得到的高度。

迁移方法：先检查排水体积是否真的不变

处理同类题，可以依次完成四步：确认漂浮平衡条件；找出包含顶点的小圆锥；用体积补集连接圆台与圆锥；用整数立方夹住答案。

设圆锥总高为H，底面朝上时露出高度为a，翻转后底面朝下时露出高度为b。同物、同液体、质量不变时，有：

水下体积比例＝((H－a)÷H)³。

水上体积比例＝(b÷H)³。

两者相加等于1，因此：

b³＋(H－a)³＝H³。

若题目改成更换液体或增加配重，应先重新建立漂浮关系。换液体时，质量不变但液体密度改变，排水体积通常改变；加配重时，总重力改变，排水体积也随之改变。能够沿用的是浮力等于总重力，以及小圆锥的立方比例关系。

另一个有用结论是：同一圆锥在同一种液体中翻转，底面朝下时露出的高度一定更大。因为对相同高度而言，靠近宽底面的圆台体积大于靠近顶点的小圆锥体积；为了露出相同体积，顶点朝上的小圆锥必须更高。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

以下数据为教学模拟。一个不吸水、外形为完整圆锥的密封浮体，高12厘米，外部总体积为640立方厘米。它在密度为1克/立方厘米的水中自由漂浮，底面朝上且与水面平行，露出水面的高度为3厘米。忽略表面张力，浮体不接触容器。该浮体的总质量是多少？

A．160克

B．270克

C．370克

D．480克

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答案：B

水下部分是高12－3＝9厘米的小圆锥，排水体积为640×(9/12)³＝640×27/64＝270立方厘米。漂浮时浮体质量等于排开水的质量，因此质量为1×270＝270克，选B。独立核验：水上圆台的体积为640×[1－(9/12)³]＝370立方厘米，总体积减去水上体积得640－370＝270立方厘米。A把某个长度比例误用于体积；C对应水上体积的数值；D相当于直接用9/12乘总体积。四项中只有B满足浮力平衡。

迁移维度：从体积比例转向质量计算，辨认底面朝上时水下的小圆锥，并区分水上体积与排水体积。

原创迁移练习2

以下数据为教学模拟。同一个不吸水的密封圆锥浮体，高12厘米。它先在密度为1克/立方厘米的水中自由漂浮，底面朝下且与水面平行，水上部分高6厘米；随后将其取出并倒置，放入密度为1.75克/立方厘米的另一种液体中，自由漂浮至平衡，底面朝上且与液面平行。两种液体均足够深，浮体质量不变，忽略表面张力和附着液体。第二次露出液面的高度在以下哪个范围内？

A．不到1厘米

B．1～2厘米之间

C．2～3厘米之间

D．超过3厘米

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答案：C

设浮体总体积为V立方厘米。第一次水上小圆锥占总体积的(6/12)³＝1/8，因此浮体质量为7V/8克。第二种液体密度为1.75＝7/4克/立方厘米，所需排水体积为(7V/8)÷(7/4)＝V/2。第二次水下部分是顶点朝下的小圆锥，设其高为y厘米，则(y/12)³＝1/2，得到y³＝864。因为9³＝729＜864＜1000＝10³，所以9＜y＜10，露出高度12－y在2～3厘米之间，选C。独立核验：若露出2厘米，水下体积比例为(10/12)³＝125/216，大于1/2；若露出3厘米，水下体积比例为(9/12)³＝27/64，小于1/2。平衡高度唯一落在两者之间，A、B、D均不符合。此处液体密度改变，不能直接沿用第一次的排水体积。

迁移维度：同时改变朝向与液体密度，先用质量守恒修正排水体积，再使用圆锥相似和立方区间估算。

原创迁移练习3

以下数据为教学模拟。一个外形为完整圆锥的密封浮体，高12厘米，外部总体积为2160立方厘米。浮体在密度为1克/立方厘米的水中自由漂浮，底面朝下且与水面平行，最初露出水面的高度为8厘米。向其内部始终位于水面以上的密封配重仓加入配重后，浮体保持原朝向达到新的漂浮平衡，露出水面的高度变为6厘米。配重不接触水，浮体外形、总体积不变，忽略表面张力，浮体不接触容器。加入配重的质量为多少？

A．180克

B．270克

C．370克

D．640克

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答案：C

两次水上部分都是小圆锥。初始水上体积为2160×(8/12)³＝640立方厘米，最终水上体积为2160×(6/12)³＝270立方厘米。水上体积减少370立方厘米，意味着排水体积增加370立方厘米，增加的浮力支持370克配重，选C。独立核验：初始浮体质量为2160－640＝1520克；加入配重后的总质量为2160－270＝1890克；差值为1890－1520＝370克。B是最终水上体积的数值，D是初始水上体积的数值，均不是增量；A也不满足新增排水量与新增质量的对应关系。

迁移维度：利用水上体积减少量计算新增排水量，把一次漂浮比较迁移到加配重后的增量计算。

原创迁移练习4

以下数据为教学模拟。甲、乙两个不吸水的均质实心圆锥由同一种材料制成，材料密度小于水的密度。甲高9厘米、底面半径3厘米；乙高15厘米、底面半径8厘米。甲在水中漂浮平衡时底面朝上且与水面平行，露出水面的高度为3厘米。乙在同种水中漂浮平衡时底面朝下且与水面平行。忽略表面张力，两者均不接触容器。乙露出水面的高度在哪个范围内？

A．10～11厘米之间

B．11～12厘米之间

C．12～13厘米之间

D．13～14厘米之间

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答案：D

甲的水下部分是高6厘米的小圆锥，因此甲的排水体积比例为(6/9)³＝8/27。均质实心物体漂浮时，排水体积比例等于材料密度与液体密度之比；甲、乙材料相同、液体相同，所以乙的排水体积比例也为8/27。乙的水上小圆锥占总体积的19/27，设其高为x厘米，则(x/15)³＝19/27，得到x³＝15³×19/27＝2375。13³＝2197＜2375＜2744＝14³，故13＜x＜14，选D。独立核验：将乙的总体积比例分母统一为3375，所需水下比例为1000/3375；露出13厘米时水下比例为1178/3375，偏大；露出14厘米时为631/3375，偏小，故平衡高度在13～14厘米之间。A、B、C均低于实际高度。两个圆锥的半径不同，不妨碍使用相同的排水体积比例，但它们的排水体积本身并不相等。

迁移维度：从同一个零件迁移到同材质、不同尺寸的两个圆锥，区分排水体积相同与排水体积比例相同。

原创迁移练习5

以下设定与尺寸为教学模拟。一个高10厘米、不吸水的密封圆锥浮体，平均密度严格大于0且严格小于水的密度。它先后以底面朝上、底面朝下两种朝向在同一种水中达到自由漂浮平衡，底面均与水面平行，两次质量和外形不变。记底面朝上时露出水面的高度为a，底面朝下时露出水面的高度为b。忽略表面张力，浮体不接触容器。下列关系中，哪一个必然成立？

A．b＞a

B．b＝a

C．b＜a

D．b与a的大小关系随浮体平均密度不同而改变

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答案：A

同物、同液体且质量不变，两次排水体积相同。底面朝上时，水下小圆锥高10－a；底面朝下时，水上小圆锥高b。因此b³＋(10－a)³＝1000。整理可得b³－a³＝1000－(10－a)³－a³＝30a(10－a)。平均密度严格处于0与水密度之间，保证0＜a＜10，故右侧严格大于0，从而b＞a，选A。独立核验：在同一个圆锥中，若露出高度同为t，靠近宽底面的水上圆台体积比例为1－(1－t/10)³，靠近顶点的水上小圆锥体积比例为(t/10)³。两者之差为3×(t/10)×(1－t/10)，在0＜t＜10时严格为正。为了露出相同体积，顶点朝上的小圆锥必须具有更大的高度。因此B、C均不成立，且这一严格大小关系与具体密度取值无关，D也错误。

迁移维度：把数值求解迁移为一般关系证明，通过体积补集和正值表达式判断两种朝向的露出高度。