整除约束先筛集合，排列组合再排位置｜2022云南省考第52题
内容摘要：从原题条件出发，逐项核验选项；配5道完整原创迁移练习及独立解析。
完整题面
52．某学习软件要求用户使用字母和数字组合的 8 位密码。赵某使用 D、E、F、W 4 个大写字母（不重复 使用） 和4 个不同非零数字的组合作为自己的密码， 要求数字放在后四位， 且4 个数字的乘积须是 320 的倍数。那么这样的密码有多少种不同的可能： A．不到 1000 种 B．1000～3000 种 C．3000～8000 种 D．超过 8000 种
原卷页图：核对图表与选项
答案为B，共有1152种密码。关键是先确定哪些数字能够入选，再计算这些数字与字母的排列数。
题干依据：先把限制拆开
原题给出的限制包括：密码共8位；D、E、F、W四个字母各使用一次；后四位使用四个互不相同的非零数字；数字乘积是320的倍数。
因此，前四位一定全部是字母，后四位一定全部是数字，不需要再选择字母与数字的位置。数字只能从1至9中选取，而且“乘积是320的倍数”允许乘积等于320、640、960等，并非只允许恰好等于320。
计数可分为三步：筛选数字集合，排列四个数字，排列四个字母。
首选解法：按质因数的数量筛选
分解可得：320 = 2^6 × 5 = 64 × 5。
这意味着四个数字的乘积必须同时提供至少6个因子2，以及至少1个因子5。1至9中只有5能提供因子5，因此数字5必须入选。
剩下三个数字需要共同提供至少6个因子2。各候选数字所含因子2的个数如下：
| 数字 | 所含因子2的个数 |
|---|---|
| 1、3、7、9 | 0 |
| 2、6 | 1 |
| 4 | 2 |
| 8 | 3 |
第一步，证明8必选。如果不选8，最多只能选到4、2、6，它们总共提供2 + 1 + 1 = 4个因子2，达不到6个。因此8必须入选。
第二步，证明4必选。选定8后，还差至少3个因子2。如果不选4，剩余两个不同数字最多只能选2和6，只能提供2个因子2。因此4也必须入选。
第三步，确定最后一个数字。5、8、4已经入选，其中8和4共同提供3 + 2 = 5个因子2。最后一个数字还需提供至少1个因子2，又不能重复使用4或8，所以只能选2或6。
于是恰有两种数字集合：{2，4，5，8}和{4，5，6，8}。它们的乘积分别为320和960，都满足要求。
每种集合中的四个数字互不相同，排入后四位有4 × 3 × 2 × 1 = 24种方法。四个字母排入前四位也有24种方法。两种数字集合不会产生相同密码，因此总数为：
2 × 24 × 24 = 1152种。
独立交叉解法：直接枚举偶数三元组
仍从“5必须入选”出发，剩余三个数字的乘积必须是64的倍数。
这三个数字中不能出现奇数：如果出现奇数，最多只有另外两个数字提供因子2；即使选4和8，也只有2 + 3 = 5个因子2，仍然不足6个。因此，其余三个数字必须全部来自2、4、6、8。
从这四个偶数中选择三个，只有以下四种组合：
| 三个偶数 | 三数乘积 | 是否为64的倍数 |
|---|---|---|
| 2、4、6 | 48 | 否 |
| 2、4、8 | 64 | 是 |
| 2、6、8 | 96 | 否 |
| 4、6、8 | 192 | 是 |
加入数字5后，仍然只得到前述两种数字集合。再分别排列字母与数字，结果仍为1152种。
还可以从密码反向检查计数是否重复：任意一个合格密码，都能唯一拆出一个字母排列、一个数字集合和一个数字排列。因此，这三个计数环节之间不存在重复归属。
A—D逐项判断
| 选项 | 原题范围 | 判断 |
|---|---|---|
| A | 不到1000种 | 错误，1152大于1000。 |
| B | 1000～3000种 | 正确，1152落在该范围内。 |
| C | 3000～8000种 | 错误，1152小于3000。 |
| D | 超过8000种 | 错误，1152未超过8000。 |
常见错因与迁移方法
一是把“320的倍数”误读成“等于320”，漏掉乘积为960的数字集合。筛选时应检查整除关系，而不能只寻找一个目标乘积。
二是只看见数字中有2、4、5、8等因子，却没有累计因子2的数量。例如2、5、6、8的乘积为480，其中只有5个因子2，不能被320整除。判断乘积整除，必须检查每种质因数的指数是否达到要求。
三是混淆“选择集合”和“安排顺序”。两种数字集合只说明有哪些数字，后四位仍有各自的24种排列；字母顺序也有24种。反过来，如果已经逐一统计了有顺序的数字串，就不能再乘一次24。
四是额外选择四个数字的位置。原题已经限定数字放在后四位，因此位置分区已经确定；只有题目允许字母与数字混排时，才需要增加位置选择。
迁移时可以依次处理：先分解目标整数，找出必选元素；再按质因数指数筛出全部集合；随后判断各位置是否有顺序区别；最后处理首位、末位、相邻或指定角色等附加限制。若允许数字0，还应先单独讨论乘积为0的情况；若要求“能被某数整除但不能被另一数整除”，则要进一步控制质因数指数的上限。
5道原创迁移练习
以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。
原创迁移练习1
【教学模拟】某课堂实验有9张编号分别为1至9的卡片，每个编号仅一张。现选出3张，要求三个编号的乘积是120的倍数。只记录选中了哪些卡片，不区分选取先后或摆放顺序。符合要求的选法有多少种？
A．4种
B．6种
C．12种
D．24种
查看答案与解析
答案：A
120 = 2^3 × 3 × 5，故编号5必选，另外两个编号的乘积须为24的倍数。若包含8，另一个编号必须提供因子3，只能为3、6、9，得到{3，5，8}、{5，6，8}、{5，8，9}。若不包含8，要用两个不同编号提供至少3个因子2，只可能考虑{2，4}或{4，6}，其中只有{4，6}还能提供因子3，得到{4，5，6}。共4种，选A。交叉核验：四组乘积分别为120、240、360、120，全部合格；按是否包含8划分，三组与一组互不重叠且覆盖全部情况。题目只记录集合，无须乘排列数。
迁移维度：将有序密码转为无序选择；同时检查因子2、3、5的供给，避免多乘排列数。
原创迁移练习2
【教学模拟】某课堂编码实验生成6位字符编码，每个编码恰好使用大写字母A、B各一次，以及4个互不相同的非零数字。要求四个数字的乘积是320的倍数，两个字母不相邻，且编码最后一位是偶数数字。字母与数字可以混排。不同编码共有多少种？
A．144种
B．288种
C．432种
D．576种
查看答案与解析
答案：C
由320 = 2^6 × 5可知，四个数字只能组成{2，4，5，8}或{4，5，6，8}，共两种集合。末位必须为数字，所以字母位置从前五位选择。两个不相邻的位置共有6组：(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)、(3，5)。A、B填入所选位置有2种顺序。每种数字集合均含3个偶数，先选末位有3种，再排列其余三个数字有6种。因此共有6 × 2 × 2 × 3 × 6 = 432种，选C。交叉核验：暂时只要求末位为数字，可得6 × 2 × 2 × 24 = 576种；每种数字集合四个数字中恰有三个偶数，末位为偶数的比例为3/4，故576 × 3/4 = 432。
迁移维度：增加混排、字母不相邻和末位奇偶限制，区分位置选择、字符排序与末位选择。
原创迁移练习3
【教学模拟】某数字实验从0至9中选取4个互不相同的数字，组成一个四位整数，首位不能为0。要求四个数字的乘积是320的倍数。本实验明确将0视为320的倍数，即含有数字0时乘积条件成立。符合要求的四位整数共有多少个？
A．1512个
B．1560个
C．2016个
D．2064个
查看答案与解析
答案：B
按是否含0分类。含0时，另外三个数字从1至9中选取，有9 × 8 × 7 ÷ 6 = 84种集合。每个集合包含0及三个非零数字，全部排列有24种，减去首位为0的6种，留下18种，因此有84 × 18 = 1512个。不含0时，数字集合只能为{2，4，5，8}、{4，5，6，8}，各有24种排列，共48个。合计1512 + 48 = 1560个，选B。交叉核验含0分支：先选首位，有9种；0可放在其余三个位置之一，有3种；剩余两个位置依次填入不同的非零数字，有8 × 7种，共9 × 3 × 8 × 7 = 1512个。两分支互斥，且覆盖全部四位整数。
迁移维度：处理允许0后的特殊整除分支，并将首位限制与数字互异条件同时纳入计数。
原创迁移练习4
【教学模拟】某实验课提供下表中的6台不同设备，每台至多选用一次。
| 设备 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | 戊 | 己 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 参数值 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
现选出3台设备，要求三个参数值的乘积是48的倍数，并在选中的设备中指定1台参数值为偶数的设备作为主机。其余两台设备不区分角色，也不区分摆放顺序。若所选设备集合不同或指定主机不同，均视为不同方案。共有多少种方案？
A．7种
B．14种
C．16种
D．17种
查看答案与解析
答案：D
48 = 2^4 × 3。先筛三台设备的集合，以参数值表示。包含3时，另两数必须共同提供至少4个因子2，得到{2，3，8}、{3，4，8}、{3，6，8}。不包含3时，为提供因子3必须包含6；其余两数还须提供至少3个因子2，得到{2，4，6}、{2，6，8}、{4，6，8}、{5，6，8}。共7个合格集合。其中前三组及{5，6，8}各有2台偶数参数设备，另外三组各有3台，故方案数为4 × 2 + 3 × 3 = 17，选D。交叉核验：按主机参数2、4、6、8分类，可搭配的合格设备集合分别为3、3、5、6个，合计仍为17。不能将7个集合统一乘以同一个主机选择数。
迁移维度：使用完整模拟数据表，将整除筛选与指定角色结合；各集合可指定的角色数量不同，需要分别加总。
原创迁移练习5
【教学模拟】某课堂程序生成四位整数，四个数字均从1至9中选取且互不相同。生成结果必须大于5000，并且四个数字的乘积能被160整除、不能被320整除。符合条件的四位整数共有多少个？
A．78个
B．84个
C．96个
D．120个
查看答案与解析
答案：A
160 = 2^5 × 5，320 = 2^6 × 5。数字5必须入选，且四数乘积中因子2的个数必须恰好为5。除5外的三数若不含8，最多由2、4、6提供4个因子2，故8必选。选定5、8后，其余两数须恰好提供2个因子2：可以选2和6；也可以选4与一个来自1、3、7、9的奇数。因此共有五种集合：{2，5，6，8}、{1，4，5，8}、{3，4，5，8}、{4，5，7，8}、{4，5，8，9}。要使整数大于5000，千位须至少为5；上述五组可作千位的数字个数依次为3、2、2、3、3，每次确定千位后，其余三位有6种排列。因此总数为(3 + 2 + 2 + 3 + 3) × 6 = 78个，选A。交叉核验：五组乘积依次为480、160、480、1120、1440，除以160分别为3、1、3、7、9，均为奇数。五组全部排列有120个，其中千位小于5的排列有(1 + 2 + 2 + 1 + 1) × 6 = 42个，故合格数为120 - 42 = 78。
迁移维度：把双重整除条件转成质因数指数恰好取值，再结合整数大小限制进行分类排列与补集核验。
引用与权威来源
常见问题
第52题的参考作答和依据是什么？
参考作答B。320 = 2^6 × 5。非零数字只能从1至9中选取，因此5必选。其余三个数字必须提供至少6个因子2：不选8时最多提供4个，故8必选；选8后若不选4，其余两数最多提供2个，仍不足，故4必选。最后一数只能为2或6，得到{2，4，5，8}、{4，5，6，8}两种集合。每种数字集合有24种排列，四个字母也有24种排列，共2 × 24 × 24 = 1152种，选B。
本篇提供多少道原创迁移练习？
本篇含5道完整原创迁移练习，提供选项、参考答案与解析。原创情境和数据均为教学模拟。