矩形路线与错时出发：先对齐时间，再比较路程｜2022云南省考第54题

完整题面

54．ABCD 四个学校分布在矩形的四个顶点上，小李早上骑自行车从 A 校出发去 D 校学习，半个小时后 到达 D 校，学习 3 个小时后立即由 D 校去 C 校，小李离开 A 校 4 个小时后妈妈驾车沿 A→B→C 的 路线去 C 校接小李，已知小李骑车速度为 15 千米/小时，妈妈驾车速度为 50 千米/小时，最终二人同 时到达 C 校。若妈妈 11 点出发，那么到达 C 校的时间在以下哪个范围内： A．11:25 之前 B．11:25～11:30 之间 C．11:30～11:35 之间 D．11:35 之后

原卷页图：核对图表与选项

答案选B。妈妈从11:00出发，行驶3/7小时，即25又5/7分钟，约在11:25:43到达C校，落在11:25～11:30之间。

**题干依据与时间轴**

矩形的对边相等，因此AD＝BC、AB＝DC。小李骑车速度为15千米/小时，从A到D用了半小时，所以AD＝BC＝15×0.5＝7.5千米。另一组边长尚未确定，可以设AB＝DC＝x千米。

学习时间必须单独列出：小李到D用了0.5小时，在D学习3小时，所以他离开D时，距离最初离开A已经过去3.5小时。妈妈在小李离开A后4小时出发，因此妈妈出发时，小李已经沿DC骑行0.5小时，又前进了7.5千米。

结合妈妈11:00出发，可以还原时间轴：

事件	时刻	判断依据
小李从A出发	07:00	比妈妈早4小时出发
小李到达D	07:30	首段骑行半小时
小李离开D	10:30	在D学习3小时
妈妈从A出发	11:00	题干给定
两人到达C	待求	两人同时到达

这里最容易混淆的是两个时间差：小李从A出发比妈妈早4小时；小李从D再次出发只比妈妈早半小时。

**首选解法：把比较起点统一到妈妈出发时**

设妈妈出发后再经过t小时，两人同时到达C。

此时，小李已经走过DC中的7.5千米，剩余路程为x－7.5；妈妈需要沿A→B→C行驶，路程为x＋7.5。因此：

小李：x－7.5＝15t。

妈妈：x＋7.5＝50t。

第二式减第一式，未知边长x消去：

15＝35t，得到t＝3/7小时。

也可以这样理解：妈妈出发时，她到终点的待行驶路程，比小李的剩余路程多15千米。这15千米由两部分组成：妈妈还要走BC的7.5千米，小李已经沿DC骑过7.5千米。两人到达同一终点的时刻相同，因此待走路程之差按每小时50－15＝35千米的速度缩小。

这里比较的是“各自到终点还要走多少路”，不要求两人处在同一条直路上。

**独立交叉解法：利用两条完整路线等长**

小李的骑行路线是A→D→C，妈妈的驾车路线是A→B→C。矩形对边相等，所以两人的完整运动路程相同，记为L千米。

小李比妈妈早出发4小时，又用了3小时学习。由于两人同时到达，他的实际骑行时间比妈妈的驾车时间恰好多1小时。因此：

L÷15－L÷50＝4－3＝1。

合并可得7L÷150＝1，所以L＝150/7千米。

妈妈用时为L÷50＝3/7小时，与首选解法一致。

进一步反查：AD＝7.5千米，DC＝150/7－7.5＝195/14千米。小李从10:30开始走DC，用时为13/14小时，即55又5/7分钟；妈妈从11:00开始行驶，用时为25又5/7分钟。两人都在11:25又5/7分钟到达。

**A—D逐项判断**

3/7小时换算成分钟，需要乘60，得到180/7分钟，约为25.714分钟。

选项	时间范围	判断
A	11:25之前	不符合，实际超过11:25约43秒
B	11:25～11:30之间	符合，约为11:25:43
C	11:30～11:35之间	不符合，实际尚未到11:30
D	11:35之后	不符合，实际早于11:35

若只需判断范围，可以直接比较：25分钟＝5/12小时，而5/12＜3/7＜1/2，说明所用时间严格介于25分钟和30分钟之间，不必先换算到秒。

**常见错因与迁移方法**

一是把4小时全部当成小李的骑行时间，遗漏3小时学习。处理含学习、休息、装卸等情节的行程题，应先区分经过时间与实际运动时间。

二是把妈妈出发时的待走路程之差写成7.5千米。除了妈妈尚需行驶的BC，小李沿DC已经前进的7.5千米也要计入，两者合计15千米。

三是用两点间直线距离代替指定路线。妈妈沿A→B→C行驶，路程应为AB＋BC；题目没有允许沿对角线AC行驶。

四是将约25.7分钟读成25分7秒。小数部分0.7分钟需要再乘60才能换成秒；本题精确到达时刻约为11:25:42.86。

迁移时可按四步处理：先写各段路线，再列停留与出发时差；随后把时间起点统一，或检查两条完整路线是否等长；最后把求得的时长加到出发时刻。遇到跨日情形，要继续核对日期；遇到途中停车，要把停车时间计入经过时间。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】A、B、C、D依次位于矩形道路的四个顶点，所有行程均沿指定的矩形边进行。小林以18千米/小时的速度从A骑车，12分钟后到达D，在D学习48分钟后立即沿D→C继续骑行。小林离开A后72分钟，接送车从A出发，沿A→B→C行驶，行驶速度恒为36千米/小时，并在B停车6分钟，其余时间不停留。接送车与小林同时到达C。若接送车09:48出发，两人何时到达C？

A．10:12

B．10:18

C．10:24

D．10:30

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答案：C

AD＝BC＝18×12/60＝3.6千米。小林在离开A后60分钟离开D，因此车出发时，他已沿DC骑行12分钟，前进3.6千米。设AB＝DC＝x千米，车出发至共同到达经过t小时。小林满足x－3.6＝18t；接送车满足(x＋3.6)÷36＋6/60＝t。代入x＝18t＋3.6，得0.5t＋0.3＝t，所以t＝0.6小时＝36分钟，到达时刻为10:24，只有C符合。独立反查：x＝14.4千米。接送车09:48出发，行驶24分钟到B，停车6分钟，再行驶6分钟到C，恰为10:24；小林09:36离开D，骑行14.4÷18＝0.8小时，也在10:24到达。

迁移维度：将途中停车计入经过时间，同时区分首段骑行、学习和第二段骑行。

原创迁移练习2

【教学模拟】A、B、C、D依次位于一条周长为60千米的矩形道路的四个顶点。小陈07:20从A出发，以12千米/小时的恒定速度沿A→D→C骑行，只在D停留学习，其他途中不停留。接送车09:55从A出发，以45千米/小时的恒定速度沿A→B→C行驶，途中不停留。两人同时到达C。小陈在D学习了多少分钟？

A．45分钟

B．30分钟

C．40分钟

D．55分钟

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答案：A

矩形两条相邻边的长度之和等于半周长，所以两人的运动路程均为60÷2＝30千米。车用时30÷45小时＝40分钟，09:55出发，于10:35到达。小陈从07:20至10:35共经过195分钟，实际骑行用时30÷12×60＝150分钟，学习时间为195－150＝45分钟，选A。独立交叉核验：小陈比车早出发155分钟；在相同路程上，小陈实际运动比车多150－40＝110分钟，剩余155－110＝45分钟正是学习时间。其余三项均无法使两人同时到达。

迁移维度：用矩形半周长压缩路线信息，由共同到达时刻反求停留时长。

原创迁移练习3

【教学模拟】A、B、C、D依次位于矩形道路的四个顶点。小许于当日23:10从A出发，以12千米/小时的恒定速度沿A→D→C骑行。接驳车于当日23:50从A出发，以36千米/小时的恒定速度沿A→B→C行驶。双方途中均不停留，并且同时到达C。共同到达时刻是哪一个？

A．当日23:55

B．次日00:00

C．次日00:05

D．次日00:10

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答案：D

两条路线均为矩形半周长，设共同路程为L千米。小许早出发40分钟且同时到达，所以L÷12－L÷36＝40/60。整理得L÷18＝2/3，L＝12千米。接驳车用时12÷36小时＝20分钟，23:50再过20分钟为次日00:10，选D。独立交叉核验：相同路程下，两者用时之比为36:12＝3:1，时间差40分钟对应2份，车用时1份即20分钟；小许骑行60分钟，从23:10到次日00:10，与车一致。A、B、C分别对应车行驶5、10、15分钟，均不足所需的20分钟。

迁移维度：识别不同路线等长，利用时间差与速度比求时长，并完成跨日时刻换算。

原创迁移练习4

【教学模拟】A、B、C、D依次位于矩形道路的四个顶点。在同一接送任务的两次独立方案推演中，小周均于08:30从A出发，沿A→D→C匀速骑行，骑行速度在两方案中相同，途中不停留。接驳车均于09:00从A出发。方案甲：车沿A→B→C以30千米/小时匀速行驶，比小周早10分钟到达C；方案乙：车沿A→D→C以20千米/小时匀速行驶，比小周晚10分钟到达C。车在两方案中均不停留。小周到达C的时刻是？

A．09:45

B．09:50

C．09:55

D．10:00

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答案：B

车的两条路线均为矩形半周长，设长度为L千米。两方案中小周的到达时刻相同，乙车比甲车晚到10＋10＝20分钟。因此L÷20－L÷30＝20/60，得到L÷60＝1/3，即L＝20千米。甲车用时20÷30小时＝40分钟，于09:40到达；小周晚10分钟到达，即09:50，选B。独立交叉核验：乙车用时20÷20＝1小时，于10:00到达，小周比它早10分钟，仍为09:50；小周从08:30至09:50骑行80分钟，所对应速度为15千米/小时，符合两方案速度相同的条件。其余选项均不能同时满足早10分钟、晚10分钟这两个条件。

迁移维度：利用矩形等长路线连接两个方案，将提前与延后的时间合并，消去共同到达时刻。

原创迁移练习5

【教学模拟】A、B、C、D依次位于矩形道路的四个顶点，各边均可双向通行。小吴08:30从A出发，以12千米/小时的恒定速度沿A→D→C→B骑行。他15分钟后到达D，在D停留15分钟，然后立即继续前进，其余途中不停留。接送车于09:30从A出发，直接沿矩形边AB驶向B，速度恒为36千米/小时，途中不停留。双方同时到达B。到达时刻是？

A．09:37:30

B．09:40:00

C．09:42:30

D．09:45:00

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答案：A

AD＝BC＝12×15/60＝3千米。设AB＝DC＝x千米，则小吴全程为x＋6千米，车全程为x千米。车出发时，小吴已经经过1小时，其中停留15分钟，实际骑行45分钟，走了9千米，因此还剩x－3千米。设车出发后t小时到达，便有x－3＝12t、x＝36t，相减得24t＝3，所以t＝1/8小时＝7分30秒，到达时刻为09:37:30，选A。独立交叉核验：x＝4.5千米，小吴全程10.5千米，骑行用时52分30秒，加上停留15分钟，共67分30秒，从08:30计时同样得到09:37:30；车走4.5千米需7分30秒。B、C、D均比共同到达时刻晚。

迁移维度：将三边绕行与单边直达相比较，扣除停留时间，并将半分钟换算成30秒。