先定总量，再用最小互异和确定上界｜2022云南省考第53题

完整题面

53．某单位有甲、乙、丙三个存放着电脑的库房，已知甲库房比乙库房多 4 台电脑，乙库房比丙库房多 2 台， 丙库房和甲库房共22 台。 现在要将三个库房的所有电脑发放给单位不同部门， 要求每个部门获得 的电脑数量均不相同，那么最多可以发放给几个部门： A．6 B．7 C．8 D．9

原卷页图：核对图表与选项

**结论：选B，最多可以发放给7个部门。** 库存总量为32台；8个部门至少需要36台，无法满足；7个部门则能把32台全部分完，并保持各部门所得数量互不相同。

**题干依据：先把库存条件与分配条件分开。** 库存方面，甲比乙多4台，乙比丙多2台，甲、丙合计22台。分配方面，三个库房的电脑全部发放，各部门所得数量互不相同，目标是让获得电脑的部门尽可能多。电脑按整台分配，计入的部门至少获得1台；题目没有要求同一部门的电脑必须来自同一库房，因此可以先合并计算总量。

**首选解法：求出总量，用最小互异正整数和确定上界。**

设乙库房有x台，则甲有x+4台，丙有x−2台。由甲、丙合计22台可得：

(x+4)+(x−2)=22，即2x+2=22，解得x=10。

因此，甲、乙、丙分别有14、10、8台，总量为14+10+8=32台。也可以直接用甲、丙合计22台，加上乙的10台，得到32台。

假设发给k个部门，把所得数量从小到大排列。最少的部门至少得1台，第二少的至少得2台，依此类推，第k个至少得k台。因此，k个部门至少需要：

1+2+…+k=k×(k+1)÷2。

比较相邻两个候选人数：

- 7个部门的最低需求：1+2+3+4+5+6+7=28台。 - 8个部门的最低需求：1+2+3+4+5+6+7+8=36台。

32小于36，所以最多不超过7个部门。但证明“不超过7个”还没有结束，还要检查7个是否确实可行。

先按1、2、3、4、5、6、7台分配，共用28台。剩下4台全部加给原来得到7台的部门，最终为：

1、2、3、4、5、6、11台。

这7个数均为正整数、两两不同，合计32台。因此，上界能够达到，最多就是7个部门。

**独立交叉解法：换库存未知量，再用配对法排除8个部门。**

设丙有y台，则乙有y+2台，甲有y+6台。甲、丙合计22台，故2y+6=22，得到丙8台、乙10台、甲14台，与前一种计算一致。

再假设可以发给8个部门，按数量递增记为a1至a8。因为它们是互不相同的正整数，所以a1至少为1，a2至少为2，直到a8至少为8。将首尾配对：

a1+a8至少为9；a2+a7至少为9；a3+a6至少为9；a4+a5至少为9。

四对合计至少36台，超过实际32台，矛盾。另一方面，1、2、3、4、5、6、11的方案确实用完32台，因而再次确认答案为7。

**A—D逐项判断。**

选项	判断	依据
A．6	可以实现，但不是最多	例如1、2、3、4、5、17台，合计32台；已有7个部门的可行方案，因此不能选6。
B．7	正确	最低需要28台，剩余4台可以并入最大份额，得到1、2、3、4、5、6、11台。
C．8	不可实现	8个互异正整数之和至少为36，大于32。
D．9	不可实现	9个互异正整数之和至少为45，大于32。

**易错点：余量处理不能代替上界证明。**

第一，甲、丙的22台只是两个库房的合计，不能当作全部库存。必须先求出乙的10台，再得到总量32台。

第二，“互不相同”不等于“连续”。连续的1至k只是计算最低需求的工具，最终方案允许出现数量间隔，例如最后一个部门得到11台。

第三，不能仅凭“剩下4台，与已有的4台重复”就断言不能新增部门。这只说明当前分配下不能把余量直接单列成一份，没有排除重新分配的可能。真正排除8个部门的理由，是任何8个互异正整数的总和都至少为36。

第四，余量可以加进已有份额。把剩余电脑全部加给当前数量最多的部门，会让它继续保持最大，不会与其他部门重复，也满足全部发放的要求。

**迁移方法：总量、下界、构造，三步缺一不可。**

先确定真正用于分配的总量N，再写出k份分配的最低需求，最后构造方案验证候选值。只有“上界不可突破”和“候选值能够实现”同时成立，才能认定最优答案。

若每份至少为m，且仍要求整数、两两不同，则k份的最低需求为m+(m+1)+…+(m+k−1)，即k×(2m+k−1)÷2。若还有奇偶性、每份上限、指定份额或倍数关系，最低需求通常只提供必要条件，还必须另查这些限制；不能一律把余量加给最大份额。

在本题这种只要求正整数、两两不同且没有份额上限的情形中，只要1+2+…+k不超过N，就能将余量全部并入第k份，得到可行方案。这正是本题能够快速求解的关键。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】某培训中心的练习包库存如下表。中心先留下5包作为备用，其余全部发给参加训练的小组。每组至少获得3包，各组获得的包数均为整数且两两不同。最多可以发给多少个小组？

存放点	库存量（包）
东区	14
西区	19
南区	20

A．6个

B．7个

C．8个

D．9个

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答案：B

库存合计14+19+20=53包，留下5包后，实际分配48包。8组至少需要3+4+5+6+7+8+9+10=52包，故最多不超过7组。7组可分为3、4、5、6、7、8、15包，合计48包，满足全部条件。交叉核验：七个最小份额3至9合计42包，将余下6包加入最大份额9，得到15；再加备用5包，恰好还原53包库存。逐项判断：A的6组可以实现，例如3、4、5、6、7、23包，但不是最多；B正确；C至少需52包；D至少需3至11合计63包，均超出48包。

迁移维度：先扣除保留量确定可分配总量，再将每份下限由1推广至3，并验证上界可达。

原创迁移练习2

【教学模拟】实验课有50枚计数片，准备全部发给若干学习小组。每组获得的枚数必须为正奇数，而且任意两组获得的枚数不同。不限制单组获得的最大枚数。最多可以发给多少组？

A．7组

B．8组

C．5组

D．6组

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答案：D

k个互异正奇数的最小和为1+3+…+(2k−1)=k²。8组至少需要64枚，超过50，因此最多先限定为7组。但7个奇数之和为奇数，不可能恰好等于50；可行组数必须为偶数，故最多为6组。构造1、3、5、7、9、25枚，六份合计50枚，且均为互异正奇数。交叉核验：前六个正奇数合计36，余下14为偶数，将其加入11得到25，保持奇数性质且不与其他份额重复。逐项判断：A的7组和C的5组均因奇偶性不符而不可行；B的8组最低需求超量；D的6组可行且最多。

迁移维度：将最小互异和改为最小互异奇数和，并用总和奇偶性检验候选组数。

原创迁移练习3

【教学模拟】实训室有40套工具，要全部分给若干工作台。每个工作台获得的套数为1至9之间的整数，各工作台获得的套数两两不同。最多可以分给多少个工作台？

A．8个

B．7个

C．9个

D．6个

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答案：A

9个工作台若获得互异的1至9之间的整数套工具，就必须分别获得1至9套，合计45套，超过40，故最多不超过8个。8个工作台可分为1、2、3、4、6、7、8、9套，合计40套，均不超过9套。交叉核验：1至9的总和为45，删去5后总和恰好为40，剩下8个互异份额，直接验证构造。逐项判断：A正确；B的7个可按1、4、5、6、7、8、9套实现，但不是最多；C需要45套；D的6个即使取最大的4、5、6、7、8、9套，也只有39套，无法用完40套。本题有单份上限，不能把所有余量直接加给最大份额。

迁移维度：加入单份上限，利用候选数集合及其补集构造方案，同时检验总和的上下界。

原创迁移练习4

【教学模拟】一项课堂活动共有9个小组，现有47份材料。要求每组至少获得2份，9个小组获得的份数均为整数且两两不同。组织者可以补充材料，原有材料和补充材料都必须全部发放。最少需要补充多少份材料？

A．5份

B．6份

C．7份

D．8份

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答案：C

9个小组至少获得2、3、4、5、6、7、8、9、10份，最低总需求为9×(2+10)÷2=54份，因此至少补充54−47=7份。补充7份后，直接按2至10份分配即可，说明下界能够实现。交叉核验：1至9合计45，将九个份额各增加1，合计增加9，得到54，与等差数列计算一致。逐项判断：A补充后只有52份，B补充后只有53份，均不足；C补充后54份，恰好可行；D补充后55份也可按2、3、4、5、6、7、8、9、11份分配，但不是最少补充量。

迁移维度：将求最多接收者改为固定接收者数量、反求最少补充量，检验最小互异和的逆向应用。

原创迁移练习5

【教学模拟】某训练活动有65枚积分牌，要全部发给至少两个小组。每组获得的枚数为正整数，任意两组获得的枚数不同；获得最多的小组，其枚数必须恰好是获得第二多小组的2倍。其他条件不限。最多可以发给多少个小组？

A．8个

B．9个

C．10个

D．11个

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答案：B

设共有k组，第二多的一组获得s枚，则最多的一组获得2s枚，其余k−2组均获得小于s的互异正整数，所以s至少为k−1。最低总需求为1+2+…+(k−2)+(k−1)+2(k−1)，即(k−1)×(k+4)÷2。11组至少需要75枚，且该最低需求随组数增加而增加，因此11组及以上均不可行。10组的最低需求为63枚，但还需检查能否恰好分完65枚：若第二多为9枚，其余8组只能分别获得1至8枚，总量固定为36+9+18=63；若第二多至少为10枚，总量至少为36+10+20=66。因此10组也不可行。9组可按1、2、3、5、7、8、9、10、20枚分配，前七份合计35，后两份合计30，总量65，且20恰好是第二多的10的2倍。交叉核验：直接按第二多的数量分情况，10组只有s=9时总量可能低于66，但此时总量被固定为63，确实跳过65；九组构造则逐项满足全部限制。逐项判断：A的8组可以按1、2、5、7、8、9、11、22枚实现，但不是最多；B正确；C虽然最低需求不超过65，却不存在恰好分完的方案；D最低需要75枚。

迁移维度：加入最大份额与第二大份额的倍数约束，识别最低需求只是必要条件，并通过分类检查排除不可达总量。