限制分组概率：先确定等可能样本，再分类计数｜2022云南省考第51题

完整题面

51．小张、小王、小刘、小李和小陈 5 人随机分配给 A、B、C、D 四个任务组，要求每组至少分配 1 人， 小张不分配在 A 组，小李必须分配在 C 组，且 D 组只分配 1 人。那么小张和小王分配在一组的概率 为： A．不到 5% B．5%～10%之间 C．10%～15%之间 D．超过 15%

原卷页图：核对图表与选项

答案为B。按题目通常采用的等可能分配模型，合法分配共有33种，其中小张和小王同组的分配有2种，所求概率为2/33≈6.06%，落在5%～10%之间。

题干条件怎样约束样本空间

原图第51题的关键条件完整：5个人分到A、B、C、D四个有名称的任务组，每组至少1人；小张不能去A组，小李必须去C组，D组恰好1人。

5个人先保证四组各有1人，只剩1人可以追加，所以人数结构必然是“2、1、1、1”，恰好一个组有2人。D组只能有1人，因此双人组只可能是A、B、C之一。

这里的基本结果是一份具体的“人员—组别”对应关系。按考试常用理解，可以先让每人独立、等概率选择四组，再以全部限制均满足为条件。最初每份具体分配的概率相同，筛选后保留下来的合法分配仍然等可能，因此可以使用“有利分配数÷合法分配数”。

不能直接假设A、B、C成为双人组的概率相等。组别限制不同，各类包含的具体分配数量也不同。

首选解法：按A组人数分类

小张不能进A，小李已经固定在C，所以能进入A组的只有小王、小刘、小陈。A组只有1人或2人，两类互斥且穷尽。

分类	具体计数	合法分配数
A组2人	从小王、小刘、小陈中选2人，有3种；小李占据C组，剩余2人分别进入B、D，有2种	3×2＝6
A组1人	A组人选有3种；除小李外，剩余3人中选1人进入D，有3种；最后2人分到B、C且B非空，有3种	3×3×3＝27
合计	两类相加	33

第二行最后的“3种”值得单独拆开：最后两个人可以都去B，也可以一人去B、一人去C，后者有2种人员对应关系。两人都去C会导致B组空缺，必须剔除。所以是1＋2＝3种。

再数有利分配。小张与小王如果同组，就占据唯一的双人组：

- 不能在A，因为小张不得进入A。 - 不能在C，因为小李固定在C，再加入小张、小王就会形成3人组。 - 不能在D，因为D恰好1人。

因此两人只能共同进入B。小李在C，剩下小刘、小陈分别进入A、D，交换位置得到2种分配。

所求概率＝2/33≈6.06%。

独立交叉解法：先确定D组的唯一成员

换一个分类轴，按D组是谁计数，可以避免沿用首选解法的分类过程。

D组成员	合法分配数	小张、小王同组的分配数
小张	12	0
小王	7	0
小刘	7	1
小陈	7	1
合计	33	2

D不可能是小李，因为小李必须在C。

当D是小张时，小李在C，小王、小刘、小陈可以进入A、B、C，但A、B必须非空。先数全部3×3×3＝27种，减去A空的8种和B空的8种，再加回A、B同时为空的1种，得到27－8－8＋1＝12种。

当D是小王、小刘、小陈中的任意一人时，除固定在C的小李外，还剩小张和另外两人。若A只有1人，其人选有2种，余下两人进入B、C且B非空有3种，共6种；若A有2人，只能由另外两人组成A，小张进入B，共1种。因此每类都是7种。

有利分配中小张、小王都在B，所以D只能是小刘或小陈。D的人选一旦确定，另一人必须进A，分别只有1种。交叉核验再次得到2/33。

还可以反查双人组的数量：A为双人组有6种，B为双人组有9种，C为双人组有18种，合计33种。可见“双人组在哪一组”并非三个等可能事件。

A—D逐项判断

选项	原图给出的范围	判断
A	不到5%	不符。2/33＞1/20＝5%，因为40＞33。
B	5%～10%之间	正确。1/20＜2/33＜1/10。
C	10%～15%之间	不符。2/33＜10%，因为20＜33。
D	超过15%	不符。所求概率连10%都未达到。

本题只需判断范围，交叉相乘就能确定B，不必追求更多小数位。

常见错因及迁移方法

第一，把不满足条件的分配放进分母。例如直接使用4的5次方，会把空组、小张在A、小李不在C等结果一并算入。题目要求的是限制条件下的概率，分母必须只保留合法分配。

第二，把分类名称当成等可能结果。按A组人数分类时，两类分别有6种、27种；按双人组位置分类时，三类分别有6种、9种、18种。分类是整理样本的方法，概率权重仍取决于具体分配数量。

第三，漏掉“最后两人都去B”的情况。C组已有小李，并不要求再安排人；B组尚空，因此末尾两人进入B、C的合法结果共有3种。

第四，给同组人员额外排列。一个任务组内部没有座位或先后次序，小张、小王同在B只有一种组内状态，不能再乘2。小刘、小陈分别去A、D则涉及不同组别，确实有2种对应关系。

迁移时可以依次处理：明确随机机制与基本结果；用人数总量确定可能的人数结构；选择受限制最多的人或组进行分类；逐类检查非空、容量和人员资格；单独计算目标事件；最后换一个分类轴复核。若分配过程本身给不同具体结果赋予不同概率，就应先计算各结果的权重，再求条件概率，不能机械套用种数之比。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】六项不同的评测任务P、Q、R、S、T、U要分给甲、乙、丙三个评测席，每席恰好承担两项。要求P必须分给甲席，Q不能分给丙席。在所有满足要求的具体任务分配中等概率随机抽取一种，P与Q分给同一评测席的概率是多少？

A．1/4

B．1/3

C．2/5

D．1/2

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答案：B

先固定P在甲。暂不限制Q时，甲的另一项任务有5种选择，乙从剩余4项中选2项有6种，共30种。若Q在丙，甲的搭档有4种选择，丙中Q的搭档有3种选择，共12种，故合法分配有18种。P、Q同席时，两者占据甲，剩余4项选2项给乙，有6种，概率6/18＝1/3。独立核验：按Q位置分类，Q在甲有6种；Q在乙时，甲的搭档有4种，乙中Q的搭档有3种，共12种。合法总数6＋12＝18，再次得到1/3。四个选项数值互不相同，仅B符合。

迁移维度：固定容量下的资格限制；用补集计数分母，再按指定任务位置交叉核验。

原创迁移练习2

【教学模拟】四个不同的测试请求W、X、Y、Z要分到甲、乙、丙三个处理通道，每个通道至少接收一个请求，且W与X不能进入同一通道。在所有满足条件的具体分配中等概率随机抽取一种，甲通道恰好接收一个请求的概率是多少？

A．1/2

B．3/5

C．2/3

D．3/4

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答案：C

先把W、X放入两个不同通道，有3×2＝6种。对每种放法，Y、Z的9种去向中，必须至少有一个请求进入尚空的第三通道；两者都不进入第三通道有4种，故合法总数为6×5＝30。数甲只有1个请求的分配：甲若接收W，X进入另外两个通道之一有2种，Y、Z须保证另一个通道非空，有3种，共6种；甲若接收X，同样6种；甲若接收Y，W、X分占其余两通道有2种，Z任选其一有2种，共4种；甲若接收Z，同样4种。因此有利数20，概率20/30＝2/3。独立核验：人数结构必为2、1、1，而W、X分开的限制对三个通道完全对称。每份分配恰有两个单人通道，所以指定甲为单人通道的概率为2/3。仅C符合。

迁移维度：人员之间的互斥条件；用具体计数与保持限制条件的组别对称性相互核验。

原创迁移练习3

【教学模拟】四项不同的虚拟任务P、Q、R、S分给甲、乙、丙三个任务组，分配采用以下随机程序：先决定哪个组接收两项任务，选中甲的概率为1/2，选中乙、丙的概率各为1/4；再在该人数结构下的所有具体分配中等概率抽取一种，另两个组各接收一项。现已知最终P在甲、Q在乙，求R与S在同一组的条件概率。

A．1/7

B．1/5

C．1/4

D．1/3

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答案：A

每个确定的双人组位置下，都有“从4项选2项，再给两个单人组分配”的6×2＝12种具体分配。满足P在甲、Q在乙的分配中，双人组为甲有2种，为乙有2种，为丙有1种。这三类的概率质量分别是(1/2)×2/12＝4/48、(1/4)×2/12＝2/48、(1/4)×1/12＝1/48。已知事件的概率为7/48。R、S同组只可能共同进入丙，对应概率为1/48，故条件概率为1/7。独立核验：满足已知信息的五份具体分配中，两份属于甲双人组，每份权重1/24；另外三份每份权重1/48。按共同单位1/48计权，总权重为2＋2＋1＋1＋1＝7，有利结果权重为1。仅A符合，直接以1/5作答会忽略随机程序造成的权重差异。

迁移维度：随机机制改变后的加权条件概率；区分等可能具体分配与不同权重的具体分配。

原创迁移练习4

【教学模拟】六份不同的电子文档构成三对配套文档，分别为P1与P2、Q1与Q2、R1与R2。现将六份文档分入甲、乙、丙三个有名称的存储盒，每盒恰好两份。在所有满足容量要求的具体分配中等概率抽取一种，至少有一对配套文档被放入同一盒的概率是多少？

A．2/5

B．7/15

C．1/2

D．3/5

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答案：B

总分配数为“6份选2份给甲，再从4份选2份给乙”，即15×6＝90。令三个事件分别为P对、Q对、R对同盒。指定一对同盒时，其所在盒有3种选择，其余4份分给另两盒有6种，共18种。指定任意两对都同盒时，第三对也必然同盒，三对与三个盒对应有6种。利用容斥，有利数为3×18－3×6＋6＝42，概率42/90＝7/15。独立核验：先不标盒名，六份文档两两配成三组共有15种配对，每种配对都有6种标盒方式，因此配对结果等可能。三对都保持完整有1种；恰好一对完整时，选完整的一对有3种，剩余四份采用交叉配对有2种，共6种。有利配对7种，概率7/15。仅B符合。

迁移维度：多目标事件的并集；容斥计数与去除组名后的配对计数交叉核验。

原创迁移练习5

【教学模拟】六名不同的学员甲、乙、丙、丁、戊、己要分成三个非空讨论小组。小组没有名称，同一组内也不区分顺序；只改变三个小组的排列顺序，视为同一种分组。现从所有不同的三组划分中等概率抽取一种，甲、乙在同一小组的概率是多少？

A．1/5

B．1/4

C．5/18

D．1/3

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答案：C

先临时给三个组标号。六人进入三个有名称且非空的组，共有3的6次方－3×2的6次方＋3＝540种；每个无名称划分恰好对应6种标号方式，所以总划分数为90。甲、乙同组时，将两人合并成一个整体，与另外四人组成五个不同对象；五个对象分成三个无名称非空组的数量为(3的5次方－3×2的5次方＋3)/6＝25。因此概率25/90＝5/18。独立核验：按组规模分类，4、1、1型有15种，其中甲乙同组6种；3、2、1型有60种，其中甲乙在三人组有4×3＝12种、在双人组有4种，共16种；2、2、2型有15种，其中甲乙同组3种。总数15＋60＋15＝90，有利数6＋16＋3＝25。仅C符合。

迁移维度：无名称分组的样本定义；合并指定同组对象，并用人数结构分类复核。