同到先定总路程，再用勾股找转向点｜2022云南省考第48题

完整题面

48．兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方500 米处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔 跑，且兔子的速度是乌龟的 5 倍。兔子先向正东方跑了一会后发现自己跑错了方向，马上直奔终点， 速度不变，结果兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米： A．600 B．1200 C．2400 D．3000

原卷页图：核对图表与选项

结论：选B，转向前跑了1200米

这道题的关键，是先用“同时出发、同时到达”确定兔子的总路程，再处理路线形成的直角三角形。兔子转向前跑了1200米，转向后跑了1300米，合计2500米。

题干依据：时间关系与空间关系分别提供什么

按比赛通常设定，乌龟沿正确赛道直达终点，行程为500米。两者同时出发、同时到达，所以总用时相同；兔子的速率始终为乌龟的5倍，因此兔子的总路程也是乌龟的5倍。

空间关系可以完全用文字表达：把起点记为O，终点记为F，兔子的转向点记为P。F在O正北方，P在O正东方，所以OF与OP垂直。兔子实际跑过的路线是OP加PF，其中PF是直角三角形的斜边。

这里的“马上直奔终点”表示转向后走P到F的直线，不是先沿原路返回起点；“速度不变”在行程计算中表示速率不变，转向过程不另计耗时。

首选解法：先定总路程，再列勾股方程

第一步，利用同时间的速度比。

兔子总路程＝500×5＝2500米。

第二步，设兔子转向前东行x米。

转向后的直线路程便是2500－x米。直角三角形的两条直角边分别为x米和500米，斜边为2500－x米，因此：

x²＋500²＝(2500－x)²。

展开并消去两边的x²：

250000＝6250000－5000x。

所以5000x＝6000000，解得x＝1200。

第三步，检查几何条件。

转向后的路程为2500－1200＝1300米，而且1200²＋500²＝1300²。长度均为正，斜边也大于两条直角边，满足题意。

独立交叉解法：从选项反推实际路线

不求解上面的一元方程，也可以逐项计算“先向东，再直达终点”的实际总路程，检查它是否等于2500米。

代入B项：东行1200米后，到终点的直线距离为1300米，因为500、1200、1300恰好构成放大100倍的5∶12∶13直角三角形。实际总路程为1200＋1300＝2500米，正好是500米的5倍。

再从时间反算：设乌龟速率为v，兔子用时为1200÷(5v)＋1300÷(5v)＝500÷v，与乌龟用时相同。这同时核对了路线长度、速度比和到达时间。

A—D逐项判断

选项	转向前路程	核验结果
A	600米	转向后距离为√610000米，小于800米，因此总路程小于1400米，达不到必须跑过的2500米。
B	1200米	转向后1300米，总路程2500米，时间条件和几何条件同时成立。
C	2400米	若总路程为2500米，转向后只剩100米，却需要跨越500米的南北距离，不可能。
D	3000米	第一段已经超过兔子全程应跑的2500米，直接排除。

常见错因：把不同的量混在一起

**把500×5当成第一段路程。** 同时间的速度比只能确定兔子的全部路程，不能直接确定它向东跑了多远。

**把第二段写成500－x。** 500米与x米分别位于南北和东西两个方向，不能相减得到转向后的路程。第二段应由勾股关系确定，或先写成总路程减第一段。

**把转向理解成原路返回。** 兔子从转向点直接跑向终点，第二段是一条斜线。若额外安排返回起点，就改变了原题路线。

**把5倍速度当成节省5倍时间。** 本题两者用时相同，变化的是路程。只有在路程相同时，才能直接使用时间与速度成反比。

迁移方法：先审时间，再审路线

遇到类似题，依次检查三个问题：双方实际运动时间是否相同；各自走过哪些线段；哪些线段互相垂直。

若有延迟出发或中途停留，应先从总时间中扣除这些时段，再确定可用于运动的时间。若不同路段速率不同，应分别计算各段时间后相加，不能直接用某一段的速度比推算全程路程比。

对于终点正北距离为d、先东行x、全程长度为L的路线，有：

x＋√(x²＋d²)＝L。

整理可得x＝(L²－d²)÷(2L)。使用时必须先核实L代表两段路程之和，并检查L大于d、各段长度为正。

若题目改成“最迟到达”，就把等式改为路程或时间的不等式。随着东行距离增加，两段路程之和也严格增加，因此可以据此判断最大允许绕行距离。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】两台配送机器人同时从同一出发点启动，目的地在出发点正北方400米处。甲沿直线前往目的地，匀速为每分钟60米。乙必须先到出发点正东方300米处的取件点，再沿直线前往目的地，取件不耗时。两台机器人途中均不停留。若乙全程保持同一速率，要使其不晚于甲到达，乙所需的最低速率是多少？

A．每分钟90米

B．每分钟105米

C．每分钟120米

D．每分钟150米

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答案：C

取件点到目的地的距离为√(300²＋400²)＝500米，乙全程为300＋500＝800米。甲用时400÷60＝20/3分钟，所以乙的速率至少为800÷(20/3)＝120米/分钟，选C。独立回算：乙以120米/分钟行驶，用时300÷120＋500÷120＝20/3分钟，恰与甲相同。逐项检查：A用时80/9分钟，B用时160/21分钟，均超过20/3分钟；C恰好满足；D用时16/3分钟，虽能提前到达，但不是最低所需速率。

迁移维度：固定折线路线反求最低速率；区分满足截止时间与求最低要求。

原创迁移练习2

【教学模拟】以出发点为参照，仓库位于正东方300米、正北方400米的位置。甲、乙两台机器人同时出发，甲沿出发点到仓库的直线以每分钟50米的速率行驶；乙先沿正东方向行驶，到某点后立即沿直线前往仓库，全程速率为每分钟110米。乙第一段东行距离大于300米，两台机器人均无停留且同时到达仓库。乙第一段行驶了多少米？

A．450米

B．550米

C．600米

D．700米

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答案：C

甲的直线路程为√(300²＋400²)＝500米，用时10分钟，所以乙总路程为1100米。设乙东行x米，第二段的东西向距离为x－300米、南北向距离为400米，故(x－300)²＋400²＝(1100－x)²。展开得250000－600x＝1210000－2200x，解得x＝600，选C。独立回算：乙第二段为√(300²＋400²)＝500米，全程600＋500＝1100米，用时10分钟。逐项判断：在x大于300的范围内，x与√((x－300)²＋400²)均随x增加而增加；A、B的全程短于1100米，会提前到达，D的全程长于1100米，会迟到，只有C符合。

迁移维度：终点同时存在东西与南北偏移；识别第二段横向距离应为坐标差。

原创迁移练习3

【教学模拟】测试场的终点位于起点正北方600米处。甲车从起点出发，沿直线以每分钟60米的速率驶向终点。乙车在甲出发2分钟后才从同一起点启动，先向正东行驶一段距离，再立即沿直线驶向终点；乙运动时始终保持每分钟100米的速率，途中没有停留。若两车同时到达，乙向正东行驶了多少米？

A．175米

B．125米

C．225米

D．300米

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答案：A

甲用时600÷60＝10分钟。乙晚出发2分钟，实际运动时间为8分钟，总路程为800米。设乙东行x米，则x²＋600²＝(800－x)²，整理得1600x＝280000，解得x＝175，选A。独立回算：175²＋600²＝625²，乙全程175＋625＝800米，运动8分钟，再加出发前的2分钟，恰为10分钟。逐项判断：路线总长随东行距离严格增加，B的125米小于175米，会提前到达；C的225米和D的300米均大于175米，会迟到。不能因到达时刻相同，就把双方实际运动时间视为相同。

迁移维度：延迟出发造成运动时间不同；先统一时间基准，再确定路程预算。

原创迁移练习4

【教学模拟】一辆参考车从起点沿正北方向直行600米到达终点，速率为每分钟100米。另一辆测试车与参考车同时从起点出发，先沿正东方向以每分钟150米的速率行驶，到转向点后立即沿直线驶向终点，第二段速率为每分钟250米。两车途中均无停留，最后同时到达。测试车第一段行驶了多少米？

A．300米

B．450米

C．600米

D．750米

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答案：B

参考车用时600÷100＝6分钟。设测试车第一段为x米，则x÷150＋√(x²＋600²)÷250＝6。整理得√(x²＋600²)＝1500－5x/3，因此必须有x小于900。平方整理得16x²－45000x＋17010000＝0，两个代数根为450和2362.5；后者使右侧为负，也使第一段用时超过6分钟，必须舍去，故选B。独立回算：第一段450米，用时3分钟；第二段为√(450²＋600²)＝750米，用时3分钟，合计6分钟。逐项检查：总时间随x严格增加，A小于450米，对应用时不足6分钟；C、D大于450米，对应用时超过6分钟。分段速率不同，不能用其中一个速率直接换算全程路程。

迁移维度：分段变速时按时间相加建模；平方求解后利用原式排除增根。

原创迁移练习5

【教学模拟】参考车与巡检车同时从同一起点出发，终点位于起点正北方900米处。参考车沿直线以每分钟90米的速率驶向终点。巡检车须先向正东驶到一个检查点，停留整整1分钟，再沿直线驶向终点；巡检车运动时的速率始终为每分钟150米。若要求巡检车不晚于参考车到达，下列检查点中，距起点最远且仍满足要求的是哪一个？

A．起点正东方300米处

B．起点正东方350米处

C．起点正东方400米处

D．起点正东方375米处

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答案：D

参考车用时900÷90＝10分钟。扣除巡检停留的1分钟，巡检车至多运动9分钟，总路程至多为1350米。设检查点距起点x米，则x＋√(x²＋900²)≤1350。在x≤1350的必要条件下移项平方，得2700x≤1012500，即x≤375。375米处可行，400米处不可行，300米和350米虽可行但更近，故选D。独立回算：x＝375时，第二段为975米，因为375²＋900²＝975²；总时间为(375＋975)÷150＋1＝10分钟。逐项核验：A总时间约9.32分钟，B约9.77分钟，C约10.23分钟，D恰为10分钟，唯一满足“可行且最远”的选项为D。

迁移维度：带固定停留的限时路线选择；将同时到达的等式迁移为最大绕行距离的不等式。