用样本频率估计总体数量｜2022云南省考第47题

完整题面

47．一个桶中有红球、 白球共30 只， 这些球除颜色外都相同。 小陈将桶中的球搅拌均匀， 从中随机摸出一 只球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程。小陈共摸了60 次，发现有 20 次是红球，问这个 桶中约有红球多少只： A．8 B．10 C．12 D．20

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原卷页图：核对图表与选项

**结论：选B，桶中红球约有10只。**这里得到的是依据抽样结果作出的数量估计，不能把“抽到红球20次”直接理解成“桶中有20只红球”。

**题干依据：为什么可以用抽样结果估计桶内构成？**

第47题给出了三个关键条件：球除颜色外都相同；搅拌均匀后随机抽取；每次记录颜色后放回。在通常的等可能抽样模型下，每只球被抽中的机会相同，而且放回使桶内球的总数和颜色构成保持不变。因此，每次抽到红球的概率都等于“桶内红球数÷30”。

还须区分三个量：30是总体中的球数，60是抽样次数，20是样本中出现红球的次数。因为同一只球可能被反复抽到，后两个数不能直接充当桶内球的数量。

**首选解法：先求频率，再估计数量。**

样本中红球出现的频率为：

20÷60＝1/3。

用这个样本频率估计单次抽到红球的概率，也就估计了桶内红球所占的比例。因此：

红球数估计值＝30×1/3＝10只。

完整思路是“出现次数÷抽样次数→估计总体比例→乘总体数量”。分母应当使用60次抽样，不能使用30只球。

**独立交叉核验：从候选数量反推抽样表现。**

设桶中有r只红球，则单次抽到红球的概率为r/30，60次抽样中红球出现次数的期望为：

60×r/30＝2r。

将四个候选数量分别代入，可直接比较它们对应的理论平均表现与实际记录：

选项	假设红球数	单次抽到红球的概率	60次中红球出现次数的期望	按频率估计原则判断
A	8只	8/30	16次	对应的平均次数低于20次，不选
B	10只	1/3	20次	与观测次数吻合，选此项
C	12只	2/5	24次	对应的平均次数高于20次，不选
D	20只	2/3	40次	将抽中次数误当成库存数量，不选

这次核验从“假设的库存数量”出发，推回“抽样次数的期望”，与首选解法的推导方向相反，结果一致。

**“约有”体现了估计的边界。**

20/60＝1/3是已经观察到的样本频率；红球数÷30是由桶内真实构成决定的理论概率。有限次随机抽样中，两者可能存在偏差。因此，题目支持“按样本频率估计约有10只红球”，不能据此断言真实数量必定为10只。

同理，上表中16次、20次、24次和40次都是期望，并不规定每次进行60次抽样都必须恰好出现这些次数。其余候选数量也并非绝无可能产生20次红球记录，只是在本题规定的频率估计思路下，应选择B。

放回的作用是保持每次抽取时的总体构成不变，不能据此推导“样本频率一定等于理论概率”。在独立、同分布的抽样模型下，样本量增大通常能提高估计的稳定性，但也不能保证每增加一次抽样，频率就一定更接近真实概率。

**常见错因与迁移方法。**

第一，混淆“只”和“次”。桶里有多少只球描述总体，抽中多少次描述样本记录。遇到有放回抽样，应先把这两类量分开。

第二，分母选错。样本频率使用“目标事件出现次数÷抽样总次数”；总体比例使用“目标对象数量÷总体数量”。先建立两种比例的对应关系，再计算未知量。

第三，把估计写成确定等式。计算时可以用频率代入求估计值，解释时应保留“估计”“约”等表述，避免将随机样本当成完整清点结果。

迁移到其他题型时，先确定记录的事件和需要估计的总体：合并同一总体的多批记录，应把出现次数相加、抽样次数相加；已知某类对象数量，可以用该数量除以其估计占比反推总量；混合不同总体，应先分别估计实际数量，再按总体规模合并；增减对象后，要重新计算总体比例；若记录的是“两次都抽中”等复合事件，则须先写出该事件的概率表达式，再利用样本频率反推单次概率。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】某袋有红、白两色圆片共150枚，除颜色外完全相同。两名记录员先后对同一袋圆片进行抽样，期间袋内构成保持不变。每次均充分混匀、随机抽取一枚，记录后立即放回；各次抽取相互独立。第一人抽取40次，其中16次为红色；第二人抽取160次，其中44次为红色。按两人的全部记录合并计算样本频率，袋中红色圆片约有多少枚？

A．45枚

B．51枚

C．60枚

D．75枚

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答案：A

合并后共抽取40＋160＝200次，出现红色16＋44＝60次，红色频率为60/200＝0.30，因此红色圆片估计有150×0.30＝45枚，选A。交叉核验：45枚占150枚的30%，200次抽样的红色出现次数期望为60次，与合并记录吻合。B、C、D分别对应34%、40%、50%的总体占比，与合并频率不符。两批样本量不同，不能把16/40和44/160直接作简单平均；那样会得到33.75%，进而误估为约51枚。

迁移维度：同一总体的多批抽样记录合并；按抽样次数加权，避免简单平均频率。

原创迁移练习2

【教学模拟】一只盒子只装有红、白两色球，球除颜色外完全相同。清点记录显示红球恰有18只，白球数量未知。现充分混匀，每次随机取出一只球，记录颜色后放回，各次抽取相互独立。共抽取120次，其中36次为红球。以样本频率估计总体比例，盒中白球约有多少只？

A．18只

B．36只

C．42只

D．60只

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答案：C

红球频率为36/120＝0.30。已知红球18只，估计总球数为18÷0.30＝60只，所以白球约有60－18＝42只，选C。独立核验：样本中白球出现84次，红白出现次数之比为36∶84＝3∶7，按同一比例估计，白球数为18×7/3＝42只。若白球分别为A的18只、B的36只、C的42只、D的60只，则红球占比分别为1/2、1/3、3/10、3/13，只有C对应观测频率0.30。D是估计的总球数，不能作为白球数。

迁移维度：已知目标类别数量，用样本频率反推总体规模，再求另一类别数量。

原创迁移练习3

【教学模拟】甲、乙两箱均只装有红、白两色球，所有球除颜色外完全相同。甲箱共80只球，乙箱共120只球。分别对两箱进行充分混匀后的独立随机有放回抽样，记录如下表。先用各箱自己的样本频率估计其红球数量，再将两箱全部球混合均匀。从混合后的球中随机抽取一只，抽到红球的概率估计为多少？

箱子	球的总数	抽样次数	抽到红球的次数
甲	80只	200次	70次
乙	120只	100次	60次

A．约43.3%

B．47.5%

C．60%

D．50%

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答案：D

甲箱红球占比估计为70/200＝35%，红球约80×35%＝28只；乙箱红球占比估计为60/100＝60%，红球约120×60%＝72只。混合后红球约100只，总球数200只，故估计概率为100/200＝50%，选D。独立核验：从混合总体抽取一只球，来自甲箱、乙箱的概率分别为80/200和120/200，加权得到0.4×0.35＋0.6×0.60＝0.50。A来自直接合并抽样记录130/300，这使抽样较多的甲箱权重过大；B来自两箱频率的简单平均，未考虑箱内球数不同；C只使用了乙箱的频率。

迁移维度：不同总体混合时按实际总体规模加权，区分总体权重与抽样数量权重。

原创迁移练习4

【教学模拟】一盒共有90只红、白两色球，除颜色外完全相同。每次充分混匀后随机抽出一只，记录颜色再放回，各次抽取相互独立。抽取150次，记录到60次红球。现按该样本频率估计原盒红球数量，随后向盒中加入30只同样大小的白球，不取走任何球。再次充分混匀，按相同方式进行240次独立随机有放回抽样。依据上述估计，第二轮红球出现次数的期望约为多少次？

A．60次

B．72次

C．96次

D．108次

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答案：B

原红球频率为60/150＝0.40，估计原盒有90×0.40＝36只红球。加入30只白球后，红球数量仍估计为36只，总球数增至120只，新红球概率估计为36/120＝0.30。第二轮红球次数的期望估计为240×0.30＝72次，选B。独立核验：只增加白球使原红球概率乘以90/120，故新概率为0.40×90/120＝0.30。A、B、C、D分别对应第二轮概率0.25、0.30、0.40、0.45，只有B符合更新后的构成；C沿用了加球前的概率。72次是期望估计，实际记录允许出现随机波动。

迁移维度：先估计库存，再更新总体构成，最后计算后续抽样次数的期望。

原创迁移练习5

【教学模拟】一袋装有红、白两色球共75只，除颜色外完全相同。工作人员以“两次抽取”为一组进行试验：每次均充分混匀后随机抽取一只，记录颜色并立即放回，再进行下一次抽取；各次抽取相互独立。共完成225组，其中36组的两次抽取均为红球。以“两次均为红球”的样本频率估计该事件的概率，再反推单次抽到红球的概率，袋中红球约有多少只？

A．12只

B．24只

C．30只

D．45只

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答案：C

设单次抽到红球的概率为p。由于每次放回且相互独立，一组两次均为红球的概率为p×p。该事件的样本频率为36/225＝0.16，故估计p×p＝0.16，取非负值得p＝0.40。红球数量估计为75×0.40＝30只，选C。独立代入核验：A、B、C、D对应的单次红球概率分别为0.16、0.32、0.40、0.60，两次均为红球的概率分别为0.0256、0.1024、0.16、0.36，只有C与观测频率一致。A把复合事件的频率直接当成了单次红球概率。未记录的其他组无需补造颜色信息，因为36/225已经提供了所需事件的完整频率。

迁移维度：辨认复合事件的样本频率，利用独立有放回抽样建立概率关系，再反推总体数量。