21%先化整数比：四个互斥区域还原培训人数｜2023国考地市级第70题
内容摘要：设只参加防病为100k，则两项都参加为121k，只参加育种为121k−76，至少参加一项为342k−76。由总人数287及非负整数条件得k=1，未参加任何一项为287−266=21，选A。
先给结论
题型：集合容斥·整数比例与人数约束。正确答案：A。核心依据：设只参加防病为100k，则两项都参加为121k，只参加育种为121k−76，至少参加一项为342k−76。由总人数287及非负整数条件得k=1，未参加任何一项为287−266=21，选A。
更新时间：2026年9月18日。适用范围：2023年国家公务员录用考试行测地市级第70题；依题本材料和明确条件作答。
完整题面
70． 农科院在某村 287 名淡水鱼养殖人员中开展防病培训和育种培训。已知参加防病培训的养殖人员
中，参加育种培训的人数比未参加的多 21%；参加育种培训的养殖人员中，参加防病培训的人数比
未参加的多 76 人。问共有多少人未参加任何一项培训：
A．21 B．23 C．25 D．27
命题思路与考点结构
将人员分成四个互斥区域：只防病、只育种、两项都参加、两项都不参加。第一句话的比较发生在防病参加者内部：交集人数比只防病多21%，不是比全部防病人数多21%。第二句话同样在育种参加者内部，比较交集与只育种，差为76人。
由于121与100互质，“交集=只防病×121/100”意味着只防病必须为100的整数倍，交集为121的相同整数倍。设分别为100k、121k，比直接设一个小数方程更适合利用人数非负和总人数上限。
只育种为121k−76，不能是76−121k。至少参加一项是三个互斥区域的和100k+121k+(121k−76)=342k−76，这里交集只加一次。若改用A总人数+B总人数，则需再减去交集，二者口径要一致。
| 信息位置 | 作用或含义 | 辨析边界 |
|---|---|---|
| 只防病 | 100k→100 | 交集比较的21%基准 |
| 两项都参加 | 121k→121 | 两个比较关系的共同量 |
| 只育种 | 121k−76→45 | 人数差方向需正确 |
| 两项都未参加 | 363−342k→21 | 以总人数减并集 |
首选解法与替代解法
首选解法
只育种非负给121k−76≥0，因此整数k≥1。至少参加一项不超过287，给342k−76≤287，即342k≤363，所以k≤1。上下界一起锁定k=1。
四区人数依次为只防病100、只育种45、交集121、都未参加21。回查：121比100多21%；121比45多76；100+45+121+21=287。四个选项中只有A=21符合。
替代解法
也可用选项反推交集。若都未参加n人，则三个区域之和为287−n。设交集x，只防病100x/121，只育种x−76，故342x/121=363−n。选项A使右侧342，于是x121；其余选项使k=(363−n)/342不为整数，不能得到同时符合121:100的整数人数。
用集合公式补查：防病总人数221，育种总人数166，交集121，并集221+166−121=266。再从287中扣去266得21，与互斥区域法一致。
A—D逐项核验与干扰项设置
| 选项 | 核验结果 | 干扰项机制或决定条件 |
|---|---|---|
| A：21 | 符合 | 四区100、45、121、21完整回算成立 |
| B：23 | 排除 | k=340/342不是整数，破坏人数比121:100 |
| C：25 | 排除 | k=338/342不是整数，不能满足精确21% |
| D：27 | 排除 | k=336/342不是整数，同样无法还原合法四区 |
易错点与复盘
“参加防病的人中，参加育种比未参加育种多21%”是在防病人群内分两部分。不能把21%解释为交集占防病总人数的21%，那是另一种题意。
只靠总人数上限得到k≤1还不够，要用只育种非负排除k=0。若解出负人数或非整数，说明该参数不合法；四区回算是最终验算的一部分。
原创迁移训练
完成以下五道训练题，先独立判断，再核对答案。
原创题1
某单位开设A、B两项培训，每人每项最多报名一次，两项培训的报名人次合计130。两项都报名人数为只报名A人数的60%，且比只报名B人数多10人。从至少报名一项的人中等可能、不放回地抽取2名不同职工。恰有1人只报名A、另1人两项都报名的概率是多少？
A. 3/10
B. 1/3
C. 10/33
D. 4/11
原创题2
180名员工参加A、B、C三项课程，参加C的员工都同时参加A和B。按课程分别统计，A有100人、B有90人，三项课程的报名人次总和为230；每人每项最多报名一次。仅参加A和B两项而未参加C的人数，恰为参加C人数的一半。三项课程一项也未参加的人数是多少？
A. 40
B. 50
C. 45
D. 60
原创题3
350名职工参加A、B两项培训，每人每项最多参加一次。两项都参加人数比只参加A人数多三分之一，比只参加B人数多40%；两项都未参加的人数大于0且少于50。问A、B两项培训合计报名人次是多少？
A. 455
B. 465
C. 495
D. 485
原创题4
264名员工参加A、B两项培训。在所有参加A的人中，40%也参加B；在所有参加B的人中，60%也参加A。两项都未参加的人数恰为两项都参加人数的一半。问恰好参加一项的人数是多少？
A. 156
B. 144
C. 150
D. 162
原创题5
240名职工可参加A、B、C三项培训，每人每项最多参加一次。A、B、C参加人数分别为130、120、110；20人一项也未参加，恰好参加两项的有120人。分别统计“同时参加A与B”“同时参加A与C”“同时参加B与C”的人数，这三个数均包含参加全部三项的人，且比例为6:5:4。问只参加A的人数是多少？
A. 20
B. 30
C. 25
D. 40
原创题答案
1. C；2. B；3. D；4. A；5. B。
青云训练闭环
先把文字百分比圈出比较基准，再标四个互斥区域。利用最简整数比缩小参数范围，解后回算百分比、差值和总数。复测中分别练习状态转移、嵌套集合和含三项交集的计数。
可在一人一AI老师与青云题库AI学习系统中保留首次作答、错误理由和复测记录，再由教师结合具体题面复核。按考点保存列式、材料定位与错因。学习效果可视化应展示判断依据是否改进，不把答对一道题等同于稳定掌握；上传学习记录时仅保留必要信息。
常见问题FAQ
21%的基准是哪部分人？
是参加防病但未参加育种的人，即只防病区域。
为什么设100k和121k？
两人数之比为100:121且互质，人数均为整数，所以可用同一个整数倍k表示。
为什么k不能为0？
此时只育种为−76人，不符合非负人数条件。
为什么并集只加一次交集？
四区法里只防病、只育种、交集互不重叠，三者相加已去重。
按培训总人数相加会怎样？
交集被算两次，需减掉一次；本题221+166−121=266。
原题答案与独立推导一致吗？
一致，参考答案为A，四区整数推导与集合公式均得21人。
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引用与权威来源
常见问题
21%的基准是哪部分人？
是参加防病但未参加育种的人，即只防病区域。
为什么设100k和121k？
两人数之比为100:121且互质，人数均为整数，所以可用同一个整数倍k表示。
为什么k不能为0？
此时只育种为−76人，不符合非负人数条件。
为什么并集只加一次交集？
四区法里只防病、只育种、交集互不重叠，三者相加已去重。
按培训总人数相加会怎样？
交集被算两次，需减掉一次；本题221+166−121=266。
原题答案与独立推导一致吗？
一致，参考答案为A，四区整数推导与集合公式均得21人。