基准费用与替换差价：求预算内人数上限｜2024云南省考第55题

完整题面

55．从甲地到乙地的全价机票为 2000 元，购买全价或折扣机票，每张都要支付 120 元税费，从甲地到乙 地的高铁票价为 680 元，企业要安排 20 人当日从甲地前往乙地出差，单程总预算不超过 2 万元，已 知当日高铁票、机票都充足，2 折、3 折和 5 折机票分别还剩余 2 张、3 张和 5 张，其余为全价机票， 问在预算范围内最多能安排多少人乘飞机前往乙地： A．11 B．12 C．13 D．14

第四部分 判断推理 （共 30 题，参考时限 35 分钟）

一、图形推理。请按每道题的答题要求作答。 请开始答题：

原卷页图：核对图表与选项

结论：最多13人乘飞机，选C

最省钱地安排13人乘飞机、7人乘高铁，需要19920元；若增加到14人乘飞机，即使优先使用全部优惠机票，也需要21360元，超过预算。因此，13人既能实现，也是上限。

题干依据：先统一费用口径

依据随附原卷页图，第55题的关键条件是：20人全部需要完成单程出行，总预算不超过20000元；机票标价之外，每张另付120元税费；高铁票每张680元；三档优惠机票分别限量2张、3张、5张，其余机票为全价票。

按题面计算，各档机票的实际支出及其相对高铁的差价如下：

出行方式	单人实际支出	可用数量	将一名高铁乘客改为该方式的费用变化
高铁	680元	充足	0元
2折机票	2000×0.2＋120＝520元	2张	节省160元
3折机票	2000×0.3＋120＝720元	3张	增加40元
5折机票	2000×0.5＋120＝1120元	5张	增加440元
全价机票	2000＋120＝2120元	充足	增加1440元

这里尤其要注意两点：折扣作用于2000元票价，120元税费另外加；未乘飞机的人仍要乘高铁，其费用必须保留。

以上按原题设定和考试时点解释，不据此推断现实票务收费规则。

首选解法：全员高铁作基准，按差价逐步替换

假设20人全部乘高铁，费用为：

20×680＝13600元。

相对这一基准，预算还允许增加：

20000－13600＝6400元。

随后考虑把高铁乘客改为飞机乘客。各档机票带来的新增费用依次为－160元、40元、440元、1440元，所以应按2折、3折、5折、全价的顺序选择。

为什么这样选一定最省钱？固定乘飞机的人数后，如果有人使用较贵机票，却还有较便宜机票未使用，就可以将其替换为便宜机票。乘飞机人数保持不变，总费用下降。反复替换后，得到的就是按含税票价从低到高选择的方案。这一交换论证保证了后面计算的是最低费用。

先使用全部10张优惠机票，相对全员高铁增加：

2×（－160）＋3×40＋5×440＝2000元。

此时10人乘飞机、10人乘高铁，共花：

13600＋2000＝15600元。

仍可增加的支出为：

20000－15600＝4400元。

再将一名高铁乘客改乘全价飞机，每人需要追加：

2120－680＝1440元。

因为1440×3＝4320，1440×4＝5760，所以只能再安排3人乘飞机，最多为10＋3＝13人。

此处应除以1440，而不是2120：全员高铁的基准费用里，已经为这名乘客计入了680元。

独立交叉解法：从全员乘飞机倒推

换一个起点，先让20人全部乘飞机，并优先使用全部优惠机票。

10张优惠机票合计：

2×520＋3×720＋5×1120＝8800元。

另外10人使用全价机票，费用为21200元，故全员乘飞机的最低费用为：

8800＋21200＝30000元。

要压到20000元以内，至少需要节省10000元。将一名全价飞机乘客改为高铁乘客，节省1440元；改动优惠机票乘客的节省更少，其中2折飞机改高铁反而增加费用。因此，应先让持全价机票的人改乘高铁。

改6人，只节省8640元，总费用仍为21360元；改7人，节省10080元，总费用降为19920元。必须至少有7人乘高铁，所以最多13人乘飞机。

两种解法分别从全员高铁、全员飞机出发，得到相同的可行人数和费用边界。

A—D逐项判断

对于选项中的人数，飞机乘客都超过10人，其最低费用方案必然包含全部10张优惠机票。若乘飞机人数为k，最低总费用为：

8800＋2120×（k－10）＋680×（20－k）。

选项	乘飞机人数	最低总费用	判断
A	11人	17040元	可行，但还能增加人数
B	12人	18480元	可行，但还能增加人数
C	13人	19920元	可行，且达到上限
D	14人	21360元	最省钱的安排也超预算

“不超过预算”允许恰好用完预算，也允许有少量结余。13人方案剩余80元，不影响其为最优解。

易错点：把总支出、追加支出和人数上限分清

**漏加税费。** 2折机票的实际支出是520元，3折为720元。只有2折机票比高铁便宜，不能把优惠机票一概视为省钱。

**只算机票，不算其余人的高铁票。** 求的是20人的总费用。每增加一名飞机乘客，就对应减少一名高铁乘客。

**把4400元直接除以2120元。** 4400元是相对既定出行方案还能追加的预算，因此要除以飞机替换高铁的差价1440元。

**看见优惠票就直接宣布全部购买。** 本题应先证明低价优先，再核实10张优惠机票全部使用时费用为15600元，确实可行。其他题若有资格限制、套餐捆绑或额外资源约束，不能直接照搬。

**只证明13人可行，没有证明14人不可行。** 最优化问题需要“可达构造＋上界排除”。本题用19920元实现13人，并用14人的最低费用21360元排除更大人数。

**过早使用小数。** 若设全价飞机乘客为N，则1440N≤4400，即N≤55/18。直接比较3份和4份差价即可，不必先近似再判断整数。

迁移方法：把选择问题改写为替换问题

处理类似预算优化题，可以依次完成四步：

1. 选一种覆盖全部对象的基础方案，算出基准总费用。 2. 将每种升级或替换统一为实际支出，并计算相对基础方案的差价。 3. 核实数量、资格和组合限制，再判断能否按差价排序选择。 4. 给出最大值的具体安排，并验证再增加一个单位时的最低费用。

当各项选择相互独立、每次替换带来的目标收益相同时，按差价从小到大选择有交换论证支持。遇到满额返还时，要分区间计算；遇到第二项资源上限时，要同时列约束；遇到不可拆套餐时，要比较完整组合。这些变化决定了基准法之后该如何继续求最优解。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】某档案项目需要处理16批资料，每批必须选择基础处理或增强处理。基础处理每批500元，普通增强处理每批1600元。其中特定的3批保密资料必须采用普通增强处理，且不能使用任何优惠；其余13批可自由选择处理方式，并可使用最多4份每批400元的增强处理优惠和最多3份每批900元的增强处理优惠，每批最多使用一份优惠。各价格均为最终支付价格，无其他费用，两种处理方式的服务能力均充足。总预算不超过14000元，最多能有多少批资料采用增强处理？

A．10批

B．11批

C．12批

D．13批

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答案：B

先落实3批保密资料的强制要求，其余13批全部选基础处理，基准费用为3×1600＋13×500＝11300元。非保密资料使用400元优惠，每批节省100元；使用900元优惠，每批增加400元；普通增强处理每批增加1100元。使用全部7份优惠后，共10批增强处理，费用为11300－4×100＋3×400＝12100元。剩余1900元，只够再升级1批，故最多11批。独立核验：11批方案包括3批保密普通增强、4批400元增强、3批900元增强、1批普通增强及5批基础处理，合计4800＋1600＋2700＋1600＋2500＝13200元。若做到12批，最低费用还须增加1100元，为14300元，超过预算。低价优先的交换论证只适用于13批非保密资料，不能挪用保密资料的优惠资格。

迁移维度：加入强制升级对象与优惠资格限制，先固定必要支出，再对可选对象计算替换差价。

原创迁移练习2

【教学模拟】12名工作人员需完成一次往返出行，每人只能选择往返均乘高铁，或往返均乘飞机，不允许单程混搭。高铁每人每程200元，票源充足。去程机票中，180元票有2张、260元票有3张，其余为500元票；返程机票中，220元票有4张，其余为460元票。以上机票价格均已包含全部税费，普通价机票充足，各档机票无身份限制，去返程优惠票可自由分配给乘飞机的人员。往返总预算不超过7000元，最多能安排多少人往返均乘飞机？

A．6人

B．7人

C．8人

D．9人

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答案：C

全员往返高铁费用为12×400＝4800元。固定乘飞机人数k后，应分别选取去程和返程最便宜的k张机票，两程可以自由配对。当k＝5时，去程最低费用为2×180＋3×260＝1140元，返程最低费用为4×220＋460＝1340元，其余7人高铁2800元，合计5280元。此后每增加一名往返飞机乘客，增加500＋460－400＝560元。预算余量1720元可再增加3人，因此最多8人。独立核验：8人去程费用2640元，返程费用2720元，另4人高铁1600元，总计6960元；9人的最低费用为6960＋560＝7520元，超出预算。两程优惠数量不一致，不能直接把去程优惠张数当作优惠往返套数。

迁移维度：把往返绑定选择拆成两个独立票价序列，再合并计算每增加一名完整往返乘客的差价。

原创迁移练习3

【教学模拟】某项目需寄送18件包裹，每件可选普通配送或加急配送。普通配送每件40元；加急配送可使用最多5份每件30元的优惠和最多3份每件60元的优惠，其余加急配送每件100元，每件只能使用一份优惠。只要有包裹选择加急配送，就须另外支付一次性启动费180元；若加急件数达到10件，则自动返还240元，返还仅享受一次。最终支出为各件配送费之和，加上适用的启动费，再减去适用的返还金额。服务能力充足，无其他费用。最终支出预算不超过950元，最多可选择多少件加急配送？

A．9件

B．10件

C．11件

D．12件

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答案：D

全选普通配送的费用为18×40＝720元。使用5份30元优惠和3份60元优惠，配送费相对基准变化为5×（－10）＋3×20＝10元。8件加急时，加上启动费后为720＋10＋180＝910元；9件加急需970元，暂时超预算。但10件达到返还门槛，费用降为720＋10＋2×60＋180－240＝790元，重新可行。达到10件后，返还金额固定，每增加一件加急增加60元，故11件850元、12件910元、13件970元，最多12件。独立核验12件方案：5×30＋3×60＋4×100＋6×40＋180－240＝910元；13件最低支出为970元，之后继续递增。因此不能在发现9件不可行时就停止搜索。

迁移维度：加入一次性启动费和数量返还门槛，识别总费用的跳变，分区间寻找最大可行值。

原创迁移练习4

【教学模拟】某实验室要完成12批样品处理，每批必须选择下表中的一种方式。费用预算不超过2200元，能耗总量不超过26单位。除表中数量限制外，各方式均可正常使用，无其他费用或能耗。最多能有多少批采用高级处理方式？

处理方式	每批费用	每批能耗	数量限制	是否计为高级处理
基础处理	100元	1单位	充足	否
优惠高级处理	80元	4单位	最多4批	是
节能高级处理	200元	2单位	充足	是

A．9批

B．10批

C．11批

D．12批

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答案：C

设高级处理共k批，其中优惠高级处理p批，则节能高级处理为k－p批，基础处理为12－k批。总费用为80p＋200（k－p）＋100（12－k）＝1200＋100k－120p；总能耗为4p＋2（k－p）＋12－k＝12＋k＋2p。若12批全为高级处理，费用限制要求2400－120p≤2200，即p至少2；能耗限制要求24＋2p≤26，即p至多1，二者矛盾，因此12批不可能。取k＝11、p＝1，则10批为节能高级处理、1批为基础处理，费用为80＋2000＋100＝2180元，能耗为4＋20＋1＝25单位，均满足限制，故最多11批。独立核验还表明，优惠高级处理虽便宜，却更耗能；单按金额差价优先用完4份优惠，不能保证高级处理总批数最多。

迁移维度：同时引入费用和能耗约束，检验按金额排序的适用边界，用变量表达两项资源的替换变化。

原创迁移练习5

【教学模拟】某机构需为10个工作组购买服务，每组必须选择基础服务或高级服务。基础服务每组200元，高级服务单买每组500元。另有两种高级服务套餐：P套餐每份600元，供2个不同工作组使用，最多购买2份；Q套餐每份1050元，供3个不同工作组使用，最多购买2份。每份套餐必须完整用于对应数量的工作组，不得拆分、闲置或与其他服务重复覆盖同一组。除套餐限量外，服务供应充足，以上均为最终价格。若要求至少9个工作组使用高级服务，最低总支出是多少？

A．3300元

B．3400元

C．3500元

D．3600元

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答案：A

全员基础服务的基准费用为2000元。每购买一份P套餐，替换2份基础服务，追加600－2×200＝200元；每购买一份Q套餐，替换3份基础服务，追加1050－3×200＝450元；单独升级一组追加300元。设P、Q套餐分别购买p、q份，p、q均可取0、1、2。固定套餐数量后，只需以最少的单买高级服务补足至少9组，计算结果如下。

Q套餐份数	P为0份时的最低总费用	P为1份时的最低总费用	P为2份时的最低总费用
0	4700元	4300元	3900元
1	4250元	3850元	3450元
2	3800元	3400元	3300元

最低值为3300元，对应购买2份P套餐和2份Q套餐，完整覆盖2×2＋2×3＝10组。独立核验：直接支付2×600＋2×1050＝3300元，全部10组均使用高级服务，满足至少9组的要求。若误将要求理解为恰好9组，最低会算成3400元，即1份P、2份Q、1份单买高级服务和1份基础服务。本题的套餐结构使覆盖10组反而比恰好覆盖9组更便宜。

迁移维度：将单件替换推广为不可拆分套餐，枚举完整组合，并区分至少达到目标与恰好达到目标。