先证下界，再构造取等｜2024云南省考第53题
内容摘要：从原题条件出发，逐项核验选项；配5道完整原创迁移练习及独立解析。
完整题面
53．部队射击比赛中，5 名参赛的战士共击中了 88 次目标。已知任意 2 人击中的目标数量均互不相同， 问射击成绩排前两名的战士至少击中了多少次目标： A．39 B．48 C．58 D．82
原卷页图：核对图表与选项
答案为A，前两名合计至少击中39次。关键是同时完成两件事：证明38次及以下不可能，再给出合计39次且满足全部条件的成绩。
题干依据：排序、整数、互异
原题给出5人的总成绩为88次，任意两人的成绩不同。击中次数是非负整数，因此按成绩从高到低记为a、b、c、d、e，有：
a > b > c > d > e ≥ 0，a+b+c+d+e=88。
要求最小化的是a+b。由于成绩互异且都是整数，相邻名次至少相差1次。因此，后三名分别满足c≤b−1、d≤b−2、e≤b−3。
首选解法：假设前两名不超过38次
假设a+b≤38。第一名至少比第二名多1次，所以：
2b+1≤a+b≤38。
b是整数，故b≤18。于是，后三名的成绩至多分别为17、16、15次，五人合计至多：
38+17+16+15=86次。
这与题干的88次矛盾。因此，前两名合计不能低于39次。
接着验证39次能否实现。取从高到低的成绩为：
20、19、18、17、14。
这5个数均为非负整数，彼此不同，总和为88，前两名合计为39。下界可以达到，故最小值就是39。
这里后三名不必连续。它们只需低于第二名、彼此不同，并补足总和。
独立交叉解法：按第二名的成绩分情况
设第二名为b，前两名合计为S。
一方面，第一名至少为b+1，所以S≥2b+1。
另一方面，后三名合计最多为：
(b−1)+(b−2)+(b−3)=3b−6。
总成绩为88，因此S≥88−(3b−6)=94−3b。
现在分成覆盖全部整数情况的两类：
- 若b≤18，则S≥94−3×18=40。 - 若b≥19，则S≥2×19+1=39。
无论第二名取多少，S都不低于39；再用20、19、18、17、14验证可达，结论与首选解法一致。
A—D逐项判断
| 选项 | 判断 | 依据 |
|---|---|---|
| A．39 | 正确 | 已证明更小值不可能，并给出合计39的可行成绩。 |
| B．48 | 不是最小值 | 30、18、17、13、10满足题干，前两名合计48；但已有39的更小可行值。 |
| C．58 | 不是最小值 | 40、18、15、10、5满足题干，前两名合计58；它同样大于最小值39。 |
| D．82 | 不是最小值 | 44、38、3、2、1满足题干，前两名合计82；这是可行值，但不是最小值。 |
后三个选项并非都无法出现。设问要求的是“至少”，应比较所有可行分配中的最小值。
参考估算中的逻辑边界
若把五人成绩暂时写成b+1、b、b−1、b−2、b−3，令总和等于88，会得到b=18.6。这个连续整数模型可以帮助寻找候选值，但不能据此直接断言“第二名至少击中19次”。
反例是22、18、17、16、15：总和也是88，成绩互异，第二名只有18次，前两名合计40次。
可见，第二名可以低于19，只是第一名需要更高，前两名合计反而增加。原题限制的是前两名的最小合计，不能把它替换成第二名单独的最小成绩。
此外，将18.6取整后得到20、19、18、17、16，其总和为90，还需要调整成绩并重新核对总和。候选数字经过取整，不等于已经完成证明。
常见错因与迁移方法
直接计算88÷5，再据此猜前两名，容易漏掉“互异整数”带来的名次间距。把最优方案预设成连续整数，也容易在总和不能恰好匹配时遗漏可行性检查。
处理同类题，可以依次做四步：先排序；把“互不相同”改写成至少相差1；围绕目标合计，为其余部分建立上界；最后构造一组满足总和与所有约束的数据。
若相邻成绩至少差2，上界中的间距就应改为2、4、6；若问前三名，就要同时控制第三名与后三名；若给定前两名合计上限，则可反过来求全体总和的最大值。无论条件如何变化，“不可能更优”的证明和“确实能够达到”的构造都应保留。
5道原创迁移练习
以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。
原创迁移练习1
【教学模拟】某训练平台记录5个小组完成的任务数，均为非负整数。任意两个小组的任务数至少相差2，5组共完成101项任务。按任务数从多到少排名，前两组至少共完成多少项任务？
A．45
B．46
C．47
D．49
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答案：C
设前两组合计为S，第二组为b。由于两组至少相差2，有S≥2b+2；后三组至多分别完成b−2、b−4、b−6项，因此总数至多为S+3b−12。若S≤46，则b≤22，总数至多46+66−12=100，达不到101，故S≥47。取25、22、20、18、16，总和101，任意两数至少相差2，前两组合计47，因此选C。逐项复核：S=45时总数至多45+3×21−12=96，A不成立；S=46时最多100，B不成立；C有可达构造；D大于已实现的47，不是最小值。另一核验是：b≤21时S≥113−3b≥50；b≥22时S≥2b+2≥46，而S=46已经被总量上界排除，因此仍得S≥47。
迁移维度：把互异整数的最小间距从1推广到2，重新建立剩余名次的容量上界。
原创迁移练习2
【教学模拟】一次设备测试中，6台设备完成的有效任务数均为非负整数，且两两不同，合计完成99项。按完成数从多到少排名，前三台至少共完成多少项任务？
A．51
B．53
C．54
D．57
查看答案与解析
答案：C
按降序记为a、b、c、d、e、f，前三台合计为P。互异整数保证a−d≥3、b−e≥3、c−f≥3，三式相加得到前三台合计比后三台至少多9，即P−(99−P)≥9，解得P≥54。取19、18、17、16、15、14，总和99，前三台合计54，故选C。独立复核：若P≤53，则P≥3c+3推出c≤16，后三台合计至多15+14+13=42，全体至多95，无法达到99。逐项检查，A、B都低于已证明的下界54；C可达；D大于54，不是最小值。
迁移维度：把前两名推广为前三名，利用跨名次配对的差值证明整体下界。
原创迁移练习3
【教学模拟】5支队伍的积分均为正整数且两两不同，总积分为90分。按积分从高到低排名，第一名的积分恰好是第二名的2倍。前两名合计至少有多少分？
A．45
B．46
C．48
D．51
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答案：C
设第二名为b，则第一名为2b，前两名合计为3b。后三名至多为b−1、b−2、b−3，因此总积分至多2b+b+(b−1)+(b−2)+(b−3)=6b−6。由90≤6b−6得b≥16，故前两名合计至少48。取32、16、15、14、13，总和90，积分均为正整数且互异，第一名是第二名的2倍，前两名合计48，故选C。逐项复核：A对应b=15，此时全体至多84分；B不是3的倍数，不可能成为前两名合计；C可达；D高于最小值。另从构造反算，后三名合计42，恰为15+14+13，全部条件同时成立。
迁移维度：加入名次间的倍数约束，以同一参数同时控制目标值和全体最大总量。
原创迁移练习4
【教学模拟】某实验记录5台机器成功执行指令的次数，均为非负整数，且两两不同。按成功次数从多到少排名，前两台合计不超过41次。5台机器合计最多成功执行多少次指令？
A．92
B．94
C．95
D．97
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答案：C
设前两台合计为S，第二台为b。由S≤41且S≥2b+1，得到b≤20。后三台至多为b−1、b−2、b−3，所以全体合计至多S+3b−6≤41+60−6=95。取21、20、19、18、17，前两台合计41，全体合计95，所有次数互异，因此最大值为95，选C。逐项复核：A、B均小于可达到的95，不能作为最大值；C达到上界；D超过上界，不可能。独立反查：如果全体至少96次，后三台至多19+18+17=54次，则前两台至少42次，与不超过41次矛盾。
迁移维度：反向使用同一排序约束，由前两名合计上限求全体总量的最大值。
原创迁移练习5
【教学模拟】5名学员在一次训练中获得的积分均为非负整数，且两两不同，总积分为100分。按积分从高到低排名，第四名与第五名合计21分。第一名与第二名合计至少多少分？
A．52
B．53
C．54
D．55
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答案：C
末两名合计21分，因此前三名合计为79分。设第三名为c，前两名合计为S，则S+c=79。由于积分互异，前两名至少为c+2、c+1，故S≥2c+3。代入得到79−c≥2c+3，即3c≤76，整数c至多25，所以S=79−c≥54。取28、26、25、11、10，总和100，末两名合计21，所有积分互异，前两名合计54，故选C。逐项复核：A若为52，则第三名须为27，而前两名至少合计29+28=57，矛盾；B若为53，则第三名须为26，而前两名至少合计28+27=55，矛盾；C可达；D大于已实现的54，不是最小值。独立核验也可直接假设S≤53，则第三名至少26，前两名至少55，立即矛盾。
迁移维度：利用末两名合计这一局部信息先压缩总量，再在前三名内部建立整数排序下界。
引用与权威来源
常见问题
第53题的参考作答和依据是什么？
参考作答A。据附图核对，题干为5人成绩合计88次、任意两人成绩互异，选项依次为39、48、58、82。按成绩降序排列，设前两名合计S、第二名为b。若S≤38，则2b+1≤38，故b≤18，后三名至多为17、16、15，总成绩至多86，与88矛盾。因此S≥39。成绩20、19、18、17、14总和88、互异且前两名合计39，所以下界可达，选A。
本篇提供多少道原创迁移练习？
本篇含5道完整原创迁移练习，提供选项、参考答案与解析。原创情境和数据均为教学模拟。