抓住不变量，用整除锁定人数｜2024云南省考第51题
内容摘要：从原题条件出发，逐项核验选项；配5道完整原创迁移练习及独立解析。
完整题面
51．运动会招募志愿者，第一次招募了不到 100 人，其中男女比例为 11：7；补招若干女性志愿者后，男 女比例变为 4：3。问最多可能补招了多少名女性志愿者： A．3 B．5 C．6 D．10
原卷页图：核对图表与选项
答案为B，最多补招5名女性志愿者。关键是男性人数前后不变：把两次比例中的男性人数统一，再结合人数为整数、首次招募不到100人两个条件确定规模。
题干依据：哪些量变了，哪些量没变
补招对象全部是女性，因此男性人数保持不变，女性人数和总人数增加。11∶7与4∶3都是男性人数与女性人数之比。
“不到100人”约束的是第一次招募的总人数，必须写成首次总人数<100。题干没有对补招后的总人数另设上限。
首选解法：统一男性人数
最初男女人数比为11∶7，男性人数是11的倍数；补招后比例为4∶3，男性人数又是4的倍数。因为11与4互质，男性人数必须是44的倍数。
设男性人数为44t，其中t为正整数，则：
| 人数项目 | 第一次招募 | 补招后 |
|---|---|---|
| 男性 | 44t | 44t |
| 女性 | 28t | 33t |
| 合计 | 72t | 77t |
补招女性人数为33t−28t=5t。
首次总人数不到100，因此72t<100。正整数t只能取1，于是补招人数为5。
代回检查：首次44男、28女，共72人，44∶28=11∶7；增加5名女性后，44∶33=4∶3，所有条件同时满足。
独立交叉解法：从原比例份数列方程
不先求男性人数的公倍数，直接设首次男性11k人、女性7k人。由于11∶7已经最简，k必须是正整数。
首次总人数为18k，满足18k<100，所以k只能取1、2、3、4、5。
设补招女性x人，由补招后的比例可得：
11k∶(7k+x)=4∶3。
交叉相乘：33k=28k+4x，即5k=4x。
因为x为整数，且5与4互质，k必须是4的倍数。上述范围内只有k=4，因此x=5。
这条解法从初始比例的整数份数出发，得到首次人数18×4=72，与首选解法一致。
A—D逐项判断
由5k=4x可得，首次总人数18k=72x÷5。逐项代入：
| 选项 | 补招人数x | 对应首次总人数 | 判断 |
|---|---|---|---|
| A | 3 | 43.2 | 人数不是整数，不可行 |
| B | 5 | 72 | 可取44男、28女，全部条件成立 |
| C | 6 | 86.4 | 虽然小于100，但人数不是整数，不可行 |
| D | 10 | 144 | 比例可以实现，但首次人数超过上限 |
因此，“人数小于100”只是必要条件之一，还必须通过整数性检验。
容易出错的地方
第一，直接把11∶7改写成4∶3后相减。两组比例中的“1份”代表的人数不同，必须先统一男性人数，才能比较女性人数的变化。
第二，误认为补招女性人数必为3−7。比例数字只是份数，不能直接当作实际人数，也不能跨比例直接相减。
第三，只检查上限，忽略整除。选项C对应的首次总人数虽然低于100，但无法组成整数人数，仍然不成立。
第四，把首次人数上限套到补招后。应当先明确时间节点：本题限制的是首次总人数72t，而不是补招后的77t。本题两者恰好都小于100，不代表可以混用条件。
第五，看到“最多”就默认有多种可行规模。本题正整数t只能取1，所以可行的补招人数实际只有5；它自然也是最大值。
可迁移的方法
遇到比例变化，先写清数量变化过程，再找不变量。只增加一类时，另一类数量不变；只减少一类时，未减少的一类数量不变；两类之间内部转移时，总量不变。
随后把比例化为最简整数比，设正整数倍数，表达变化人数和题目限定的总量。若有整包、整批、两处补充数量相同等要求，还要继续加入倍数或公倍数条件。
最后用人数上限确定整数范围，并构造一组实际数量代回原条件。一个最大值结论应同时说明：更大的值为什么不可能，以及选中的值为什么确实可行。
5道原创迁移练习
以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。
原创迁移练习1
【教学模拟】某仓库原有甲、乙两种零件，甲种占总件数的60%，乙种占40%，以上比例均为精确值。现只补入乙种零件，使乙种占补货后总件数的50%。乙种零件每包8件，只能整包补入。若补货前两种零件合计不足130件，最多可以补入多少件乙种零件？
A．16件
B．26件
C．24件
D．32件
查看答案与解析
答案：C
设原总件数为N，补入x件。甲种始终为0.6N，补货后两种数量相等，所以乙种需从0.4N增加到0.6N，得到x=N÷5。又因整包补入，设x=8t，则N=40t。40t<130，正整数t最大为3，故x最大为24。交叉检查：原有120件，其中甲72件、乙48件；补入24件后各72件，乙种占50%，且24件恰为3包。逐项检查：A对应N=80，可行但不是最大；B的26件不是8的倍数，且对应原总数130，不满足不足130；C全部满足；D对应原总数160，超过上限。
迁移维度：将精确百分比转换为数量关系，并把整包条件与原总量上限共同纳入整数约束。
原创迁移练习2
【教学模拟】某培训活动原有甲、乙两组学员，人数比为5∶4。之后只撤出甲组学员，每批恰好撤出6人，撤出若干整批后，甲、乙两组人数比变为3∶4。原来两组合计不超过200人，撤出后两组合计不少于140人。问共撤出了多少人？
A．40人
B．42人
C．44人
D．48人
查看答案与解析
答案：B
乙组人数不变，设原来甲5k人、乙4k人，则撤出后甲3k人，共撤出2k人。原总数9k≤200，剩余总数7k≥140，故整数k只能取20、21、22。撤出人数2k必须是6的倍数，因此k必须是3的倍数，只有k=21，撤出42人。交叉检查：原来甲105人、乙84人，合计189人；甲撤出7批共42人后剩63人，两组合计147人，63∶84=3∶4。逐项检查：A对应k=20，虽满足总量范围，但40不是6的倍数；B满足全部条件；C对应k=22，但44不是6的倍数；D对应k=24，原总数216超过200。
迁移维度：把单类增加改为单类减少，结合总量上下限和整批条件，从有限整数范围中筛出唯一解。
原创迁移练习3
【教学模拟】两个任务池最初共有不足180件待处理任务，甲池与乙池的任务件数比为7∶3。现仅将部分任务从甲池移入乙池，每批恰好移动4件，移动若干整批后，两池任务件数比变为3∶2。整个过程中没有新增、完成或删除任务。最多可以移动多少件任务？
A．12件
B．17件
C．20件
D．16件
查看答案与解析
答案：D
内部转移保持总量不变。设原来甲7k件、乙3k件，总数10k。最终甲池占总数的3÷5，因此有6k件，说明移动了k件。因10k<180，整数k≤17；又因每批4件，k必须是4的倍数，所以最大为16。交叉检查：原来甲112件、乙48件，共160件；移走16件后，甲96件、乙64件，比例为3∶2，且移动了4个整批。逐项检查：A可实现，但小于16；B满足总量上限，却不是4的倍数；C对应总量200，违反不足180；D满足全部条件并达到最大。
迁移维度：识别内部转移时真正不变的是总量，用前后份额之差求转移量，再叠加批量整除条件。
原创迁移练习4
【教学模拟】一个实验盒最初装有红、蓝两色计数片，数量比为3∶2，总数不足100片。第一次只补入蓝片，使红、蓝数量相等；第二次只补入红片，使红、蓝数量比变为4∶3。若第二次补充完成后总数不超过120片，且各阶段均不取出计数片，两次合计最多补入多少片？
A．34片
B．28片
C．32片
D．38片
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答案：A
设初始红3k片、蓝2k片。第一次补入k片蓝片后，两色各3k片；第二次蓝片保持3k片，要使红∶蓝=4∶3，红片应为4k片，所以再补入k片红片。两次合计补入2k片。初始5k<100，给出k≤19；最终7k≤120，给出k≤17，因此最多补入34片。交叉检查：取k=17，初始红51片、蓝34片，共85片；第一次补17片蓝片，第二次补17片红片，最终红68片、蓝51片，共119片，比例4∶3。逐项检查：A对应k=17，达到上限；B对应k=14，最终98片，可行但非最大；C对应k=16，最终112片，也非最大；D对应k=19，虽然初始95片合规，但最终133片超过120。
迁移维度：分阶段选择不变量，串联两次比例变化，并区分初始上限和最终上限的约束对象。
原创迁移练习5
【教学模拟】甲、乙两个实验盒中各有红、蓝两色计数片。甲盒最初红∶蓝=7∶4，乙盒最初红∶蓝=5∶3。现分别向两盒补入数量相同的蓝片，不补红片，也不取出任何计数片。补充后，甲盒红∶蓝=3∶2，乙盒红∶蓝=4∶3。若补充前两盒计数片合计不足500片，两盒合计最多补入多少片蓝片？
A．24片
B．30片
C．36片
D．48片
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答案：C
甲盒红片不变，须同时是7和3的倍数，设为21a片，则初始蓝12a片、最终蓝14a片，补入2a片，初始共33a片。乙盒红片须同时是5和4的倍数，设为20b片，则初始蓝12b片、最终蓝15b片，补入3b片，初始共32b片。两盒补入量相同，故2a=3b。因a、b为正整数，可设a=3t、b=2t。初始合计为33×3t+32×2t=163t，满足163t<500，因此t最大为3；两盒共补入12t片，最大为36片。交叉检查：取t=3，甲盒初始红189片、蓝108片，乙盒初始红120片、蓝72片，初始合计489片；每盒增加18片蓝片后，189∶126=3∶2，120∶90=4∶3。逐项检查：A对应t=2，可行但非最大；B不是12的倍数，无法同时满足两盒条件；C满足全部条件；D对应t=4，初始合计652片，超过上限。
迁移维度：把两个比例变化分别参数化，再用两处补充量相同连接整数参数，通过共同倍数和合计上限求最大值。
引用与权威来源
常见问题
第51题的参考作答和依据是什么？
参考作答B。男性人数保持不变，必须同时是11和4的倍数，设为44t。首次女性28t，补招后女性33t，补招5t；首次总人数72t<100，且t为正整数，只能取1，因此最多补招5人。
本篇提供多少道原创迁移练习？
本篇含5道完整原创迁移练习，提供选项、参考答案与解析。原创情境和数据均为教学模拟。