平方差锁定整数边长，长度比求几何概率｜2024云南省考第52题
内容摘要：从原题条件出发，逐项核验选项；配5道完整原创迁移练习及独立解析。
完整题面
52．一块直角三角形绿地的三边均铺有长度为整数米的水管，其中一条直角边外的水管长7 米。若在水管 上随机任选 1 个点做标记，则该标记点在斜边上的概率在以下哪个范围内：（忽略水管直径） A．小于 0.35 B．在 0.35～0.42 之间 C．在 0.42～0.50 之间 D．大于 0.50
原卷页图：核对图表与选项
结论：选C，概率为25/56
已逐项核对所附第10页原图：题目给出直角三角形、三边水管长度均为整数米，以及一条直角边上的水管长7米。按题目通常采用的几何概型，“随机任选1个点”理解为沿全部水管的长度均匀取点。
因此，解题分为两步：先确定三边长度，再计算“斜边长度÷水管总长度”。不能因为有三条边，就直接认为斜边被选中的概率是1/3。
首选解法：把勾股定理转成整数因数配对
设另一条直角边长为b米，斜边长为c米，其中b、c均为正整数，且c>b。
由勾股定理：
c²－b²＝7²＝49。
分解平方差：
(c＋b)(c－b)＝49。
这里的两个因数都是正整数，而且c＋b>c－b。49的正整数因数配对只有：
| c－b | c＋b | 解出的b | 解出的c | 是否符合题意 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 49 | 24 | 25 | 符合 |
| 7 | 7 | 0 | 7 | 不符合，直角边不能为0 |
所以三边只能是7米、24米、25米。第二组因数必须检查并排除，不能仅凭熟悉7、24、25这一组勾股数就认定唯一。
三边水管总长度为：
7＋24＋25＝56米。
忽略水管直径时，顶点作为有限个点，对按长度计算的概率没有影响。因此：
P＝25÷56≈0.4464。
该数落在0.42～0.50之间，选C。
独立交叉核验：给未知边设上界，再穷尽验算
还可以不用因数配对，直接检查全部可能的整数边长。
因为c>b且二者均为整数，所以c≥b＋1。于是：
b²＋49＝c²≥(b＋1)²，得到b≤24。
如果b为奇数，则b²＋49除以4余2，而整数平方除以4只能余0或1，所以b必须为偶数。
因此，只需要检查2至24之间的偶数：
| b | b²＋49 | b | b²＋49 |
|---|---|---|---|
| 2 | 53 | 14 | 245 |
| 4 | 65 | 16 | 305 |
| 6 | 85 | 18 | 373 |
| 8 | 113 | 20 | 449 |
| 10 | 149 | 22 | 533 |
| 12 | 193 | 24 | 625 |
这些数中只有625是完全平方数，625＝25²。因此再次得到b＝24、c＝25。回代检查：7²＋24²＝49＋576＝625＝25²。
这一路径通过上界、奇偶性和有限枚举，独立确认了整数解的唯一性。
A—D逐项判断
| 选项 | 原图中的范围 | 判断依据 |
|---|---|---|
| A | 小于0.35 | 不成立，25/56≈0.4464，大于0.35 |
| B | 在0.35～0.42之间 | 不成立，25/56大于0.42 |
| C | 在0.42～0.50之间 | 成立，0.42<25/56<0.50 |
| D | 大于0.50 | 不成立，25/56小于0.50 |
不做小数除法也能确定关键边界：0.42＝21/50，而25×50＝1250>21×56＝1176，所以25/56>0.42；又因为25×2＝50<56，所以25/56<0.50。
还可作几何检查：三角形任意两边之和大于第三边，因此斜边长度小于两条直角边长度之和，斜边占周长的比例必然小于1/2。这个结论能直接排除D，但单靠它还不能区分其余选项。
常见错因与迁移方法
**把“随机选点”当成“随机选边”。** 沿管长均匀取点时，边越长，被选中的概率越大。只有先等概率选一条边，才会出现每条边各占1/3的抽样机制。
**分母漏掉斜边。** 全部水管都属于取点范围，所以分母是7＋24＋25，不能写成7＋24。
**因数配对不完整，或保留退化解。** 遇到(c＋b)(c－b)＝49，要检查所有正因数配对；求出的边长必须为正。若换成其他已知直角边，因数配对还可能产生多个合法三角形，不能默认总是唯一。
**使用勾股数却不核查条件。** 记得7、24、25可以提高速度，但证明仍需说明它符合整数边长条件，且没有其他合法解。
可迁移的做法是：已知直角边a时，写成(c＋b)(c－b)＝a²。令较大因数为u、较小因数为v，则c＝(u＋v)/2、b＝(u－v)/2。因数需要同奇偶，且u>v，才能得到正整数边长。若有多个候选，再用周长、面积、长短关系等条件筛选。
最后单独核对抽样规则：沿长度均匀取点，用目标长度除以总长度；若不同管段的单位长度被抽中机会不同，则应按相应权重计算，不能直接套用普通长度比。
5道原创迁移练习
以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。
原创迁移练习1
【教学模拟】某直角三角形试验区的三边各铺设一根水管，三边长度均为正整数米。其中一条直角边长9米，三根水管总长度小于50米。在全部水管上按长度均匀随机选取一点，该点位于斜边上的概率是多少？
A．5/12
B．1/3
C．41/90
D．1/2
查看答案与解析
答案：A
设另一条直角边为b、斜边为c，则(c＋b)(c－b)＝81。合法非退化因数配对为81与1、27与3，分别得到(9，40，41)和(9，12，15)，周长分别为90米和36米；9与9导致b＝0，排除。由总长度小于50米，只能采用9、12、15，所求概率为15/36＝5/12，选A。独立核验：周长小于50意味着c＋b<41，又有b≥1、c≤40，从而b²＝c²－81≤1519，即b≤38；检查1至38的整数b，只有b＝12使b²＋81为完全平方数，得到c＝15。回代9²＋12²＝15²，且36<50。B混淆了选点与等概率选边；C使用了不满足总长度条件的另一组整数解；D不符合三角形中斜边小于另两边之和的性质。
迁移维度：从多个整数直角三角形中，利用总长度约束筛选，再计算几何概率。
原创迁移练习2
【教学模拟】一套直角三角形管道模型的三边长度均为正整数米，较短的直角边长12米。在三边管道上按长度均匀随机选取一点，该点位于斜边上的概率恰好为5/12。另一条直角边长多少米？
A．9
B．16
C．18
D．20
查看答案与解析
答案：B
设另一条直角边为b、斜边为c。由概率条件，c/(12＋b＋c)＝5/12，整理得7c＝5(12＋b)。结合c²＝144＋b²，可得49(144＋b²)＝25(12＋b)²，化简为b²－25b＋144＝0，即(b－9)(b－16)＝0。因为12米是较短的直角边，必须b>12，所以b＝16，选B。独立交叉核验可逐项回代：b＝9时构成9、12、15且概率符合，但12不是较短直角边；b＝16时构成12、16、20，概率20/48＝5/12且长短关系符合；b＝18、20时，斜边平方分别为468、544，均非完全平方数。故仅B满足全部条件。
迁移维度：由长度概率反推边长，并用直角边的长短关系排除代数多解。
原创迁移练习3
【教学模拟】某直角三角形试验框架的三边长度均为正整数米，面积为30平方米，斜边长13米。随机标记装置在每条直角边上每米的抽中权重均为1，在斜边上每米的抽中权重为2；任一管段被抽中的概率等于该管段的“长度×每米权重”占全部管段总权重的比例。一次标记落在斜边上的概率是多少？
A．13/30
B．13/43
C．2/3
D．26/43
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答案：D
设两条直角边为a、b。面积为30，得ab＝60；斜边为13，得a²＋b²＝169。因此(a＋b)²＝169＋120＝289，故a＋b＝17。两条直角边总权重为17，斜边总权重为13×2＝26，概率为26/(17＋26)＝26/43，选D。独立交叉核验：a、b是方程t²－17t＋60＝0的两根，得到5和12；5×12÷2＝30，5²＋12²＝13²。逐边计算权重5、12、26，总权重43，再次得到26/43。A按均匀长度取点计算，忽略了权重；B未给斜边的分子加权；C把不同边误当成等长。
迁移维度：利用面积与勾股定理恢复边长信息，并从普通长度比迁移到加权几何概率。
原创迁移练习4
【教学模拟】一块长方形试验板的较短边长8米，较长边及对角线的长度均为正整数米。沿长方形四条边和其中一条对角线铺设细管，每条线段只铺一次，除端点外没有重合管段，忽略管径。在全部细管上按长度均匀随机选取一点，该点位于对角线管段上的概率是多少？
A．17/40
B．17/46
C．17/63
D．17/80
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答案：C
设较长边为b、对角线为d，则b>8且(d＋b)(d－b)＝64。两个因数必须同奇偶。64与1奇偶不同；32与2得到b＝15、d＝17；16与4得到b＝6，不符合b>8；8与8得到b＝0。故长方形边长为8、15，对角线为17。全部管道长度为2×(8＋15)＋17＝63米，概率为17/63，选C。独立交叉核验：d≥b＋1给出64≥2b＋1，所以9≤b≤31；若b为奇数，则d²＝b²＋64除以8余1，可以成立；若b为偶数则仍需实际检查。在9至31的整数范围逐一检查b²＋64，只有b＝15时得到289＝17²。另按一个三角形的三边40米，再加长方形剩余两边23米，总长也是63米。A只统计了一个三角形；B遗漏了对角线在总长度中的份额；D在分母重复统计了对角线。
迁移维度：把整数直角三角形嵌入长方形管网，准确识别随机取点的全部长度。
原创迁移练习5
【教学模拟】某设计课允许学生制作不同的直角三角形细管框架，要求三边长度均为正整数厘米，且其中一条直角边长15厘米。在每个框架的三边上按长度均匀随机选取一点。所有符合要求的框架中，该点位于斜边上的概率最小值是多少？
A．17/40
B．5/12
C．13/30
D．113/240
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答案：B
设另一条直角边为b、斜边为c，则(c＋b)(c－b)＝225。非退化正因数配对依次为225与1、75与3、45与5、25与9，对应(b，c)分别为(112，113)、(36，39)、(20，25)、(8，17)；15与15导致b＝0，排除。四组概率分别为113/240、39/90＝13/30、25/60＝5/12、17/40。统一分母为240，分别为113/240、104/240、100/240、102/240，因此最小值为5/12，选B。独立交叉核验：令两直角边之和为s，则概率等于1/(1＋s/c)，而(s/c)²＝1＋30b/(225＋b²)。比较b＝112、36、20、8时，b/(225＋b²)依次为112/12769、36/1521、20/625、8/289，其中20/625最大，故对应概率最小。再回代15²＋20²＝25²，25/(15＋20＋25)＝5/12，确认可达。
迁移维度：完整枚举整数边长解，将几何概率转化为离散优化，并验证最优值能够取得。
引用与权威来源
常见问题
第52题的参考作答和依据是什么？
参考作答C。设另一条直角边为b、斜边为c，则(c＋b)(c－b)＝49。正因数配对为49与1、7与7；后一组导致b＝0，须排除。前一组得到b＝24、c＝25。沿水管长度均匀取点，斜边上的概率为25/(7＋24＋25)＝25/56≈0.4464，属于0.42～0.50，故选C。
本篇提供多少道原创迁移练习？
本篇含5道完整原创迁移练习，提供选项、参考答案与解析。原创情境和数据均为教学模拟。