先辨切法，再算黑白面积｜2024云南省考第54题

完整题面

54．一个白色圆柱体零件的底面半径是高的 1.5 倍，现将其表面涂上黑漆之后，沿下图所示虚线方向切割 为 4 个完全相同的部分。问单个部分的黑色面积是白色面积的多少倍：（π≈3.14）

A．不到 1.1 倍 B．1.1～1.2 倍之间 C．1.2～1.3 倍之间 D．1.3 倍以上

原卷页图：核对图表与选项

结论与原图依据

第54题选B。单个部分的黑色面积与白色面积之比约为1.170，落在1.1～1.2之间。

原图给出了两次切割的方向：顶面上的虚线是一条直径，对应经过圆柱轴线、垂直于底面的切割平面；侧面上的弧形虚线对应平行于底面的切割平面。结合“4个完全相同的部分”，后一平面位于高度的一半处。

因此，每块都是高度为原来一半的半圆柱。它有一个保留黑漆的半圆形底面、一块保留黑漆的曲面，以及两个新增的白色面：一个半圆形截面和一个矩形截面。不能把它理解为沿两条相互垂直的底面直径切成四个扇形柱体。

首选解法：比例赋值，逐面计算

面积之比不随整体缩放改变。底面半径是高的1.5倍，可以设原圆柱高h＝2、半径r＝3。

先算保留的黑色面积。原圆柱外表面积为：

2πr²＋2πrh＝18π＋12π＝30π。

这两次对称切割使每块分得相同的原表面，所以单块黑色面积为：

S黑＝30π÷4＝7.5π。

再算新增的白色面积。

新增白色面	尺寸依据	面积
半圆形截面	半径为3	π×3²÷2＝4.5π
矩形截面	宽为直径6，高为原高的一半1	6×1＝6

所以：

S白＝4.5π＋6。

所求倍数为：

S黑÷S白＝7.5π÷（4.5π＋6）。

取π≈3.14，得到23.55÷20.13≈1.170，选B。

独立交叉解法：从全部切面核验

不先拆单块，而是统计四块合起来的黑白面积。

原有外表面全部保留下来，四块黑色面积之和仍为30π。

水平切割形成的截面是一个完整圆，面积为9π。切口两侧各出现一个白面，因此贡献18π。

经过轴线的竖直切割形成的截面是一个宽6、高2的矩形，面积为12。切口两侧各出现一个白面，因此贡献24。

两次切割的交线没有面积，不需要额外增减。四块白色面积之和为18π＋24。

四块形状和涂色情况相同，所以单块的黑白面积比等于合计面积比：

30π÷（18π＋24）＝7.5π÷（4.5π＋6）。

这与逐面计算的结果一致，也核实了新增白面的数量。

A—D逐项判断

选项	范围	判断依据
A	不到1.1倍	20.13×1.1＝22.143，小于黑色面积23.55，排除
B	1.1～1.2倍之间	22.143＜23.55＜24.156，符合
C	1.2～1.3倍之间	20.13×1.2＝24.156，已经大于23.55，排除
D	1.3倍以上	20.13×1.3＝26.169，大于23.55，排除

区间题不必把商算到很多位。用白色面积分别乘区间端点，即可完成判断。

常见错因

第一，把“分成四块”直接理解为两个竖直平面切割。块数相同，切割方向却可能不同，新增截面的形状和面积也会不同。应先根据原图确定平面方向，再写公式。

第二，把矩形截面的高仍取为原高。单块已经经过水平二等分，其矩形白面的高是h÷2，因此面积为2r×（h÷2）＝rh。

第三，把单块白色半圆算成整圆，或者遗漏矩形白面。可以先列出单块全部四个面，再分别标明“原表面”与“新截面”。

第四，在单块计算中把白面再次乘2。一次切割确实产生两侧白面，但分属切口两边的不同块体。统计单块时只数该块实际具有的面；统计全部块体时，才对完整切割截面乘2。

第五，认为所有切割问题都能把原表面积除以块数。本题的切法具有对称性，每块分得的原表面相同；若切割位置不等分，或涂漆范围不对称，就必须逐面计算。

可迁移的方法

处理涂漆后切割的问题，可以依次完成四步：确定切割平面；列出单块各个面；按原有涂漆面与白色面分类；计算面积比并用整体统计复核。

对本题这种“全表面涂漆、沿轴线剖开、再沿高度中点横切”的圆柱，保留一般尺寸可得：

S黑＝πr²÷2＋πrh÷2；

S白＝πr²÷2＋rh；

S黑÷S白＝π（r＋h）÷（πr＋2h）。

令t＝r÷h，还可以写成：

面积比＝π（t＋1）÷（πt＋2）＝1＋（π－2）÷（πt＋2）。

这说明面积比只取决于半径与高度的比例。按本题取值π≈3.14，面积比始终大于1；半径与高度之比越大，面积比越接近1。该公式的适用前提是切法和涂漆范围均与上述条件一致。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】一个实心长方体长12厘米、宽8厘米、高6厘米，六个外表面全部涂黑，内部为白色。用两个平面切割：第一个平面垂直于长的方向，将长二等分；第二个平面垂直于宽的方向，将宽二等分。两平面均贯穿整个长方体，得到4块完全相同的零件。忽略切割损耗，单块零件的黑色面积是白色面积的多少倍？

A．3/2倍

B．9/5倍

C．2倍

D．12/5倍

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答案：B

单块尺寸为6×4×6厘米。它保留的黑面包括上下两个6×4的矩形、一个6×6的外侧面和一个4×6的外侧面，合计48＋36＋24＝108平方厘米。新增白面是一个6×6的矩形和一个4×6的矩形，合计60平方厘米，故比值为108÷60＝9/5。交叉核验：原表面积为2×（12×8＋12×6＋8×6）＝432，每块黑面为432÷4＝108；两次完整切割新增白面共2×8×6＋2×12×6＝240，每块为60。A、C、D均不等于108/60，只有B符合。

迁移维度：将圆柱迁移到长方体，训练识别切割方向、区分两种矩形截面，并用全部新增面积复核单块结果。

原创迁移练习2

【教学模拟】一个白色实心圆柱的底面半径为3厘米、高为6厘米，只将曲面侧面涂黑，两个圆形底面保持白色。先沿经过轴线的平面将其剖成两个相同部分，再沿平行于底面、距两底面均为3厘米的平面切割，得到4块完全相同的零件。忽略切割损耗，单块零件的黑色面积与全部白色面积之比是多少？

A．π/（π＋2）

B．π/（π＋1）

C．2π/（π＋2）

D．π/2

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答案：A

每块高3厘米，黑色曲面面积为半周长乘高，即3π×3＝9π。白面包括原有底面的半圆、新增水平截面的半圆，以及新增竖直矩形，面积依次为4.5π、4.5π、6×3＝18，合计9π＋18。比值为9π÷（9π＋18）＝π/（π＋2），选A。交叉核验：四块黑面合计为原侧面积36π；白面合计为原两底面18π、水平切口两侧18π、轴向切口两侧72，总计36π＋72。两者之比同样为π/（π＋2）。由于π为正数，B的分母更小、C是正确值的两倍、D也大于正确值，均排除。关键是白色面积还包含原本未涂漆的底面。

迁移维度：改变涂漆范围，训练区分原有白面与新增白面，避免把白色面积一律等同于切口面积。

原创迁移练习3

【教学模拟】一个白色实心正方体棱长为6厘米，六个外表面全部涂黑。沿两个相对面的中心连线钻出一个半径为1厘米的圆柱形通孔，孔轴垂直于这两个面。钻孔过程中不补漆，忽略其他损耗。将通孔内壁计入剩余零件的表面，取π≈3.14，则剩余零件的黑色面积是白色面积的多少倍？

A．大于5.0倍且小于5.2倍

B．大于5.2倍且小于5.4倍

C．大于5.4倍且小于5.6倍

D．大于5.6倍且小于5.8倍

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答案：C

原黑色面积为6×6²＝216平方厘米。钻孔移除了两个半径为1厘米的黑色圆面，剩余黑面为216－2π＝209.72平方厘米。新增白面只有通孔内壁，其面积为2π×1×6＝12π＝37.68平方厘米，孔口不能再算作实体表面。比值为209.72÷37.68≈5.566，选C。交叉核验：剩余零件总表面积为216－2π＋12π＝216＋10π，减去黑面216－2π，仍得白面12π；且37.68×5.4＝203.472＜209.72＜211.008＝37.68×5.6。只有C包含该比值。

迁移维度：从平面切割迁移到钻孔，训练扣除被移走的涂漆面、识别新增曲面，并排除孔口这一非实体表面。

原创迁移练习4

【教学模拟】一个白色实心圆柱底面半径为2厘米、高为6厘米，全部外表面涂黑。先沿经过轴线的平面剖开，再沿平行于底面、距下底面2厘米的平面切割，共得到4块零件。取其中高度为4厘米的一块，忽略切割损耗，该块保留的黑色面积占切割前圆柱黑色总面积的几分之几？

A．1/4

B．5/16

C．1/3

D．3/8

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答案：B

所选块保留一个原顶面的半圆，面积为π×2²÷2＝2π；还保留高度为4厘米的半圆柱曲面，面积为π×2×4＝8π。黑面合计10π。原圆柱黑色总面积为2π×2²＋2π×2×6＝32π，因此所占比例为10π÷32π＝5/16，选B。交叉核验：两个高4厘米的块各有黑面10π；两个高2厘米的块各有黑面2π＋π×2×2＝6π，合计20π＋12π＝32π，黑面总量守恒。A误将四块视为表面等分，C等于所选块的体积占比，D也不等于10/32。本题四块并非全部相同，不能直接将原表面积除以4。

迁移维度：撤去等高切割条件，训练逐面追踪保留黑面，区分块数比例、体积比例与涂漆面积比例。

原创迁移练习5

【教学模拟】一组白色实心圆柱的全部外表面均涂黑。每个圆柱都先沿经过轴线的平面剖开，再沿高度中点处、平行于底面的平面切割，得到4块完全相同的零件。设每个圆柱的底面半径为r、高为h，单块黑色面积与白色面积之比为Q。取π≈3.14。当r/h从1逐渐增加到3时，关于Q的变化，下列说法正确的是：

A．Q逐渐增大，并且始终大于1

B．Q逐渐减小，并且最终小于1

C．Q保持不变，因为每个圆柱都被分成4块

D．Q逐渐减小，并且始终大于1

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答案：D

单块黑面为πr²/2＋πrh/2，白面为πr²/2＋rh。令t＝r/h，则Q＝π（t＋1）/（πt＋2）＝1＋（π－2）/（πt＋2）。π－2为正数，t增大时分母增大，因此Q逐渐减小且始终大于1，选D。独立交叉核验：任取t₂＞t₁，Q（t₁）－Q（t₂）＝π（π－2）（t₂－t₁）/［（πt₁＋2）（πt₂＋2）］＞0，严格确认减小；同时单块黑面减白面＝rh（π/2－1）＞0，独立确认Q始终大于1。端点数值为Q（1）＝6.28/5.14≈1.222，Q（3）＝12.56/11.42≈1.100。A的变化方向错误，B的大小判断错误，C把固定分块数误当作固定面积比。

迁移维度：由具体赋值迁移到参数分析，通过比值变形和面积差判断变化趋势，区分整体缩放与形状比例改变。