同量先合并：用不定方程与整数边界锁定销量｜2024云南省考第49题
内容摘要：从原题条件出发，逐项核验选项；配5道完整原创迁移练习及独立解析。
完整题面
49．商店销售甲、乙、丙、丁四种商品，每件分别盈利15 元、9 元、4 元和 1 元。某日销售这四种商品共 40 件，共盈利 201 元。四种商品每种至少销售 1 件，且甲、丁商品销量相同。问当天丙商品的销量 为多少件： A．21 B．27 C．29 D．31
原卷页图：核对图表与选项
答案为D，丙商品销售31件。完整销量为：甲2件、乙5件、丙31件、丁2件。
这道题的突破口是“甲、丁商品销量相同”。将甲、丁各1件看成一对，每对共2件、盈利16元，就能把四种商品的销量压缩成三个未知数。题干还要求每种商品至少销售1件，因此未知数必须是正整数；这一条件既用于排除选项，也用于核验结果。
设甲、丁分别销售x件，乙销售y件，丙销售z件。总件数与总利润分别给出：
2x+y+z=40； 16x+9y+4z=201。
这里总件数中的甲、丁合计为2x，利润中的甲、丁合计为16x，不能漏算其中一种商品。
首选解法是消去相同销量对应的未知数x。甲、丁每对商品平均每件盈利8元，因此将件数方程乘8，再减去利润方程：
8×(2x+y+z)−(16x+9y+4z)=8×40−201，
得到4z−y=119，即y=4z−119。
乙至少销售1件，所以4z−119≥1，推出z≥30。A、B、C给出的丙销量分别为21、27、29，均不满足这一必要条件。
将D项的z=31代入，得到y=5，再由2x=40−31−5=4，得到x=2。四种商品均至少销售1件，甲、丁销量也相同，因而D成立。
逐项判断如下：
| 选项 | 丙销量z | 由y=4z−119得到的乙销量 | 判断 |
|---|---|---|---|
| A | 21 | −35 | 乙销量为负数，不成立 |
| B | 27 | −11 | 乙销量为负数，不成立 |
| C | 29 | −3 | 乙销量为负数，不成立 |
| D | 31 | 5 | 回代得甲、丁各2件，全部条件成立 |
还应核对原始统计，而不只检查消元后的关系：2+5+31+2=40件；15×2+9×5+4×31+1×2=30+45+124+2=201元。
独立交叉解法可以从“统一基准利润”出发。假设40件商品每件都盈利4元，基准利润为160元，实际比基准多41元。每销售一对甲、丁商品，实际盈利16元，比两件商品的基准利润8元多8元；每销售1件乙商品，比基准多5元；丙商品恰好等于基准。因此：
8x+5y=41。
由于y≥1，8x≤36；再结合x≥1，得到x只能取1、2、3、4。等式两边除以5看余数，8x与41的余数相同，即3x除以5余1，所以x除以5余2。在1至4中，只有x=2符合，进而y=5、z=31。这条路径不依赖选项，也证明了符合条件的销量组合唯一。
一个容易忽略的细节是：z≥30只是下界，不能直接宣布z=30。若取z=30，则y=1，剩余9件要平均分给甲、丁，得到x=4.5，不符合整数要求。选择题可以先用下界排除三个选项，再完整验证剩余选项；脱离选项求解时，则还需要整数性与上界共同约束。
常见错因主要有四类：把总件数写成x+y+z，漏算一份相同销量；把甲、丁合计利润写错，忽略丁每件的1元利润；只求出一个范围就把边界当作答案；代入选项后只检查总件数，没有同时检查总利润、正整数条件和同量关系。
迁移时，可以先观察哪些数量相同或成固定比例，把它们合并为一个变量，再选择消元方式。相同销量的两类商品可以按“每对的平均指标”消元，也可以选某一类商品的单件指标作统一基准，计算其余类别带来的差额。若四类单件指标为a、b、c、d，总数量为N、总指标为P，第一类与第四类均为x，第二类为y，则以第三类指标c为基准可得：
(a+d−2c)x+(b−c)y=P−cN。
这个式子适合继续使用正整数下界、余数关系或选项检验。遇到固定启动费，要先扣除固定费用；遇到总指标“不超过”，要保留不等号；遇到前后数量变化，要先统一统计时点。最后都要把候选解代回题干的全部条件。
5道原创迁移练习
以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。
原创迁移练习1
以下数据均为教学模拟。某实验室采购甲、乙、丙、丁四类组件，单价分别为6元、5元、3元、2元，每类至少采购1件。甲、丁必须全部成套采购，每套包含1件甲和2件丁。实验室恰好采购36件组件，共花费126元。问最多能采购多少套这样的甲丁套件？
A．8套
B．10套
C．12套
D．14套
查看答案与解析
答案：B
设套件数为x，乙、丙分别采购y、z件，则甲为x件、丁为2x件。件数方程为3x+y+z=36，费用方程为10x+5y+3z=126。费用方程减去件数方程的3倍，得x+2y=18。代入件数方程得z=5y−18。由z≥1且y为整数，得y≥4，所以x=18−2y≤10。取x=10、y=4、z=2时，甲、乙、丙、丁分别为10、4、2、20件，件数为36，费用为60+20+6+40=126元，故上界可以达到。独立检查还可消去y，得到5x+2z=54；由z≥1直接得x≤10。A项8套可以实现但不是最大值，C、D分别导致丙数量为−3、−8，不可行。
迁移维度：将相同数量推广为固定配比，合并成套变量，并用正整数下界证明最大值及其可达性。
原创迁移练习2
以下数据均为教学模拟。某设备可按甲、乙、丙、丁四种模式执行测试，每次收费分别为14元、9元、5元、3元，另按整项任务收取一次19元启动费。一次任务共执行26次测试，四种模式均至少执行1次，甲、丁执行次数相同，丙的执行次数是4的倍数。任务账单总额为200元。问乙模式执行了多少次？
A．4次
B．7次
C．8次
D．11次
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答案：A
先扣除启动费，按次收费合计为200−19=181元。设甲、丁各执行x次，乙执行y次，丙执行z次，则2x+y+z=26、17x+9y+5z=181。后式减去前式的5倍，得7x+4y=51。由y≥1得1≤x≤6；比较除以4的余数，得x除以4余1，因此x只能为1或5。x=1时，y=11、z=13，丙次数不是4的倍数；x=5时，y=4、z=12，全部条件满足。独立核算为5+4+12+5=26次，费用为70+36+60+15+19=200元。逐项代入7x+4y=51，B、C分别得到x=23/7、19/7，均不是整数；D虽满足总次数与总费用，却违反丙次数的整除条件。
迁移维度：从总额中分离固定费用，并用余数和分组条件筛选多个整数候选解。
原创迁移练习3
以下数据均为教学模拟。某实验平台使用甲、乙、丙、丁四种运行模式，每次分别消耗11、7、4、1个能量单位。一天共运行24次，各模式至少运行1次，甲、丁运行次数相同。乙模式必须按每组4次安排，因此乙的总运行次数是4的倍数。当天总能耗可能为下列哪一项？
A．121个能量单位
B．122个能量单位
C．124个能量单位
D．126个能量单位
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答案：C
设甲、丁各运行x次，乙运行4k次，丙运行z次，其中x、k、z均为正整数。总次数为2x+4k+z=24，总能耗E=12x+28k+4z。利用总次数消去z，得E=96+4x+12k=4×(24+x+3k)，因此总能耗必为4的倍数。四个选项中只有124符合，A、B、D均被整除条件排除。必要条件还需验证可达：取x=4、k=1、z=12，即甲、乙、丙、丁分别运行4、4、12、4次。总次数为24，总能耗为44+28+48+4=124，条件全部满足。独立看分组结构，甲丁每对消耗12、乙每组消耗28、丙每次消耗4，三者均为4的倍数，也能直接确认总能耗的整除性质。本题只要求可能的总能耗，不要求各模式次数唯一。
迁移维度：反向判断总指标的可行性，结合配对、分组建立整除条件，并用具体构造验证候选值。
原创迁移练习4
以下数据均为教学模拟。某设备安排甲、乙、丙、丁四种测试模式，每次分别消耗12、8、5、2个能量单位。一天总共执行30次测试，每种模式至少执行2次，甲、丁执行次数相同，总能耗不超过174个能量单位。问乙模式最多执行多少次？
A．2次
B．3次
C．4次
D．5次
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答案：D
设甲、丁各执行x次，乙执行y次，丙执行z次，其中x、y、z均为至少2的整数。由2x+y+z=30，总能耗为14x+8y+5z=150+4x+3y。预算要求4x+3y≤24。由于x≥2，得到3y≤16，故y≤5。取x=2、y=5、z=21，四种模式次数为2、5、21、2，总能耗为24+40+105+4=173，不超过174，所以最大值5可以实现。独立排除更大值：若乙至少执行6次，即使甲、丁都只执行2次，能耗也至少为150+4×2+3×6=176，已经超限。A、B、C中的次数均可安排，但均不是最大值。若误把“不超过174”写成“恰好174”，可能只找到乙执行4次的方案，从而错过能耗173的最优方案。
迁移维度：将精确总量模型迁移到预算不等式，结合最低配置求整数上界，并允许最优方案存在剩余额度。
原创迁移练习5
以下数据均为教学模拟。一批器件分为甲、乙、丙、丁四类，检查前甲、丁的数量相同。检查时仅从甲类中剔除了2件不合格品，其余器件全部合格。剔除后，每类合格器件均至少有1件，合格器件共30件。按每件甲、乙、丙、丁合格器件分别计10分、7分、3分、2分计算，合格器件总分为102分。问检查前甲类器件有多少件？
A．3件
B．4件
C．5件
D．6件
查看答案与解析
答案：A
设检查前甲、丁各有x件，乙、丙分别有y、z件。剔除后甲为x−2件，因此x≥3，且y、z≥1。合格件数给出2x+y+z=32；合格总分给出10(x−2)+7y+3z+2x=102，整理为12x+7y+3z=122。后式减去件数方程的3倍，得6x+4y=26，即3x+2y=13。由y≥1得x≤3，再结合x≥3，得x=3，继而y=2、z=24。核验剔除后甲、乙、丙、丁分别为1、2、24、3件，共30件，总分为10+14+72+6=102。独立按剔除后的甲数量a建模，则丁为a+2，得到2a+y+z=28和12a+7y+3z=98，消元得3a+2y=7。正整数条件迫使a=1、y=2，所以检查前甲为1+2=3件。B、C、D均超过可行上界。
迁移维度：统一变化前后的统计时点，将原有同量关系转化为变化后的固定差额关系，避免把剔除后的甲、丁仍设为相同数量。
引用与权威来源
常见问题
第49题的参考作答和依据是什么？
参考作答D。设甲、丁销量均为x，乙为y，丙为z，且均为正整数。由总件数和利润得2x+y+z=40、16x+9y+4z=201。前式乘8减后式，得到4z−y=119。由y≥1得z≥30，排除A、B、C。代入D的z=31，得到y=5、x=2。核验销量2+5+31+2=40，利润30+45+124+2=201，全部条件成立。
本篇提供多少道原创迁移练习？
本篇含5道完整原创迁移练习，提供选项、参考答案与解析。原创情境和数据均为教学模拟。