加权平均定比例，整数约束锁人数｜2024云南省考第47题
内容摘要：从原题条件出发，逐项核验选项；配5道完整原创迁移练习及独立解析。
完整题面
47．高校管理学院某期培训班有不到 100 名学员参加，期中、期末两次考试平均分分别为 68 分和 75 分， 期中考试不及格学员平均分为53 分，及格学员平均分为74 分；期末考试不及格学员平均分为47 分、 及格学员平均分为 83 分。问这期培训班有多少名学员参加： A．42 B．54 C．63 D．77
原卷页图：核对图表与选项
答案为C，培训班共有63名学员。关键是先分别求出两次考试的及格人数比例，再用同一个总人数满足两组整数条件。
题干依据：两次考试共用同一个总人数
原图中的关键数据如下，均按题目给定的精确值计算：
| 考试 | 全班平均分 | 不及格学员平均分 | 及格学员平均分 |
|---|---|---|---|
| 期中 | 68 | 53 | 74 |
| 期末 | 75 | 47 | 83 |
培训班人数为正整数，且不到100人。两次考试中，及格和不及格人数可以变化，但两类人数之和始终是全班人数。
首选解法：平均分之差决定人数比
对于分成高、低两组的总体，整体平均值处于两组平均值之间。高分组相对整体平均分的超出总量，必须等于低分组相对整体平均分的不足总量：
高分组人数 ×（高分组平均分－整体平均分）＝低分组人数 ×（整体平均分－低分组平均分）。
因此：
高分组人数∶低分组人数＝（整体平均分－低分组平均分）∶（高分组平均分－整体平均分）。
期中考试，及格组每人平均高于全班平均分6分，不及格组每人平均低于全班平均分15分，所以：
及格人数∶不及格人数＝15∶6＝5∶2。
设两类人数分别为5k、2k，则全班人数为7k，必须是7的倍数。
期末考试，同样得到：
及格人数∶不及格人数＝（75－47）∶（83－75）＝28∶8＝7∶2。
设两类人数分别为7m、2m，则全班人数为9m，必须是9的倍数。
这里的人数比已经约成最简整数比，因此k、m都是正整数。全班人数同时是7和9的倍数，也就是63的倍数。不到100人的正整数倍只有63，故选C。
独立交叉解法：总分方程配合选项回代
另设全班有N人，期中不及格人数为x，期末不及格人数为y。分别把所有人先按及格组平均分计入，再扣除不及格组造成的分差：
74N－21x＝68N，得到x＝2N/7。
83N－36y＝75N，得到y＝2N/9。
由于x、y都必须是整数，而2分别与7、9互质，N必须同时被7、9整除。
再把63直接代回原始总分关系，核验两次考试是否都成立：
| 考试 | 及格人数 | 不及格人数 | 按分组计算的总分 | 按全班均分计算的总分 |
|---|---|---|---|---|
| 期中 | 45 | 18 | 45×74＋18×53＝4284 | 63×68＝4284 |
| 期末 | 49 | 14 | 49×83＋14×47＝4725 | 63×75＝4725 |
两次总分均完全一致，两类人数也均为正整数，63满足全部条件。
A—D逐项判断
| 选项 | 人数 | 判断 |
|---|---|---|
| A | 42 | 是7的倍数，但不是9的倍数；期末不及格人数为84/9，不是整数，排除。 |
| B | 54 | 是9的倍数，但不是7的倍数；期中不及格人数为108/7，不是整数，排除。 |
| C | 63 | 同时满足两次考试的人数整数条件，且不到100人，正确。 |
| D | 77 | 是7的倍数，但不是9的倍数；期末不及格人数为154/9，不是整数，排除。 |
容易出错的地方
第一，不能把两组平均分直接作算术平均。只有两组人数相等时，两组平均分的算术平均才等于整体平均分。本题整体均分显然更接近及格组均分，意味着及格人数更多，也可据此检查人数比方向。
第二，分差与人数对应时容易写反。期中及格组每人只多6分，需要较多人数才能抵消不及格组每人少15分的影响，因此及格与不及格人数比应为15∶6，而不是6∶15。
第三，必须先把人数比约成最简整数比。15∶6应先化为5∶2，再判断总人数是7的倍数；不能据未约分的比例误认总人数必须是21的倍数。
第四，两次考试提供的是同一个总人数的两项约束。只使用期中数据，42、63、77都能保留；只使用期末数据，54、63都能保留。交叉使用才能唯一确定答案。
第五，期末及格人数比期中多4人，只能说明及格人数净增加4人。题目没有提供个人成绩对应关系，不能推出恰好只有4人从不及格变为及格。
怎样迁移到新问题
看到“整体平均值＋两组平均值”，先检查是否能把总体完整分成两类，再用平均值之差求人数比。看到同一总体经历多次统计，则分别写出人数的整数条件，取这些条件的交集。
若最简人数比为a∶b，总人数必须是a＋b的倍数；多次统计对应同一个总人数时，应取这些倍数要求的最小公倍数。只有相关数互质时，最小公倍数才等于它们的乘积。
还要留意额外条件的作用：人数发生增减，应分别约束变化前后的总数；部分对象必须整组登记，会增加整除条件；询问两次都达标的人数，则还要在求出各次达标人数后，分析两组对象的重合范围。
5道原创迁移练习
以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。
原创迁移练习1
【教学模拟】某仓库有一批包裹，数量大于80件且小于100件，所有包裹的平均重量为6千克。每件包裹均使用甲、乙两种包装中的一种，寄送目的地均为市内、市外中的一种。同一批包裹按两种口径分类后，各类平均重量如下，所有平均值均为精确值。问使用乙包装的包裹有多少件？
| 划分口径 | 类别 | 平均重量（千克） |
|---|---|---|
| 包装类型 | 甲包装 | 4 |
| 包装类型 | 乙包装 | 9 |
| 寄送目的地 | 市内 | 5 |
| 寄送目的地 | 市外 | 8 |
A．30件
B．36件
C．54件
D．60件
查看答案与解析
答案：B
按包装分类，乙包装与甲包装件数比为（6－4）∶（9－6）＝2∶3，总件数N为5的倍数。按目的地分类，市外与市内件数比为（6－5）∶（8－6）＝1∶2，N为3的倍数。因此N为15的倍数，在80与100之间只有90，乙包装为90×2/5＝36件，选B。独立核验：甲、乙包装分别54、36件，总重量54×4＋36×9＝540千克；市内、市外分别60、30件，总重量60×5＋30×8＝540千克。两种分类还可同时实现：令每件甲包装重4千克、乙包装重9千克，市内安排48件甲包装和12件乙包装，市外安排6件甲包装和24件乙包装，四项分组均分全部成立。反查选项，乙包装30、36、54、60件分别要求总数75、90、135、150件，仅36件符合总数范围。
迁移维度：将两次考试迁移为同一总体的两种并行分类，先锁定总数，再计算指定子类数量，并检查两种分类能够同时实现。
原创迁移练习2
【教学模拟】同一批少于150台的设备参加两轮检测，均无缺测。每轮得分达到80分即为达标，低于80分为未达标。两轮检测数据如下，所有平均值均为精确值。已知第二轮达标设备比第一轮少3台，问这批设备共有多少台？
| 检测轮次 | 全部设备平均分 | 达标设备平均分 | 未达标设备平均分 |
|---|---|---|---|
| 第一轮 | 80 | 90 | 65 |
| 第二轮 | 84 | 96 | 68 |
A．70台
B．84台
C．105台
D．140台
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答案：C
第一轮达标比例为（80－65）/（90－65）＝3/5，第二轮达标比例为（84－68）/（96－68）＝4/7。设总数N，由达标数量减少3台，得3N/5－4N/7＝3，即N/35＝3，所以N＝105，选C。这里数量变化条件确定了公倍数的具体倍数。独立核验：第一轮达标63台、未达标42台，总分63×90＋42×65＝8400＝105×80；第二轮达标60台、未达标45台，总分60×96＋45×68＝8820＝105×84。达标数量恰好减少3台，总数也小于150。反查其余选项，70、84、140台对应的达标数量差依次为2、12/5、4台，均不满足题意，其中84台还无法得到整数的分组人数。
迁移维度：在两组加权平均之外加入达标数量的净变化，用比例之差确定总数，区分净变化与个人状态转变。
原创迁移练习3
【教学模拟】某测试中心上午启用的设备数量大于20台且小于35台。下午比上午多启用4台，上午启用的设备下午全部继续工作。每个时段，每台设备均处于高功耗、低功耗两种模式之一，设备可在两个时段切换模式。两个时段均持续1小时，耗电数据如下，所有平均值均为精确值。问上午启用了多少台设备？
| 时段 | 全部启用设备平均耗电量（千瓦时/台） | 高功耗模式设备平均耗电量（千瓦时/台） | 低功耗模式设备平均耗电量（千瓦时/台） |
|---|---|---|---|
| 上午 | 10 | 14 | 8 |
| 下午 | 9 | 12 | 7 |
A．21台
B．24台
C．30台
D．33台
查看答案与解析
答案：A
设上午启用N台。上午高、低功耗设备数量比为（10－8）∶（14－10）＝1∶2，因此N为3的倍数。下午相应数量比为（9－7）∶（12－9）＝2∶3，因此N＋4为5的倍数。大于20且小于35的3的倍数为21、24、27、30、33；分别加4后，只有25是5的倍数，所以N＝21，选A。独立核验：上午高功耗7台、低功耗14台，总耗电量7×14＋14×8＝210千瓦时，平均10千瓦时；下午共25台，其中高功耗10台、低功耗15台，总耗电量10×12＋15×7＝225千瓦时，平均9千瓦时。新增设备可分为3台高功耗和1台低功耗，原有设备无需切换也能实现这组数量。其余三个选项加4后分别为28、34、37，均不能满足下午的整数分组条件。
迁移维度：总体数量发生变化时，将整除约束分别写在N与N＋4上，避免直接对同一个总数取最小公倍数。
原创迁移练习4
【教学模拟】同一批设备参加两轮评分检测，所有设备每轮均参加，每轮均以60分为达标线。设备总数大于100台且小于200台，两轮数据如下，所有平均值均为精确值。工作人员把第一轮达标设备按每4台一组登记，恰好分完，没有剩余。问第一轮达标设备共登记了多少组？
| 检测轮次 | 全部设备平均分 | 达标设备平均分 | 未达标设备平均分 |
|---|---|---|---|
| 第一轮 | 68 | 80 | 50 |
| 第二轮 | 72 | 87 | 52 |
A．15组
B．18组
C．20组
D．21组
查看答案与解析
答案：D
第一轮达标比例为（68－50）/（80－50）＝3/5，第二轮达标比例为（72－52）/（87－52）＝4/7，因此总数N为35的倍数。写成N＝35k，第一轮达标数量为21k。由于这部分设备能按每4台完整分组，21k必须被4整除；21与4互质，所以k为4的倍数，N为140的倍数。在100与200之间只能取140，第一轮达标84台，共84/4＝21组，选D。独立核验：不先合并分组条件，直接列出范围内35的倍数105、140、175，其第一轮达标数量分别为63、84、105，只有84可被4整除。取N＝140，第一轮总分84×80＋56×50＝9520＝140×68；第二轮总分80×87＋60×52＝10080＝140×72，全部成立。分组数唯一为21，其他选项均不成立。
迁移维度：把某个子类必须整组登记的条件转化为额外整除约束，防止仅凭总体公倍数过早确定答案。
原创迁移练习5
【教学模拟】同一批设备参加两轮检测，每轮均无缺测，设备总数大于40台且小于100台。每轮得分达到60分为通过，低于60分为未通过。数据如下，所有平均值均为精确值。问两轮检测都通过的设备至少有多少台？
| 检测轮次 | 全部设备平均分 | 通过设备平均分 | 未通过设备平均分 |
|---|---|---|---|
| 第一轮 | 70 | 85 | 50 |
| 第二轮 | 77 | 92 | 52 |
A．3台
B．11台
C．21台
D．32台
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答案：B
第一轮通过比例为（70－50）/（85－50）＝4/7，第二轮通过比例为（77－52）/（92－52）＝5/8。总数N同时是7、8的倍数，在40与100之间只能为56。因此第一轮通过32台，第二轮通过35台。两组通过设备合计计数67次，但最多涉及56台不同设备，所以两轮都通过的数量至少为32＋35－56＝11台，选B。必须进一步证明下界可达：安排两轮都通过11台、仅第一轮通过21台、仅第二轮通过24台、两轮都未通过0台，总数为56，第一轮通过32台，第二轮通过35台，恰好达到11台。独立核验均分：第一轮32×85＋24×50＝3920＝56×70；第二轮35×92＋21×52＝4312＝56×77。若交集只有3台，两组并集将达到64台，超过总数，无法成立；21台和32台均不是最小值，已被交集11台的可达构造排除。
迁移维度：先由加权平均和整数约束求出两次通过数量，再用容斥给出交集下界，并用完整分类构造证明下界可达。
引用与权威来源
常见问题
第47题的参考作答和依据是什么？
参考作答C。依据所附原卷页图，期中及格与不及格人数比为（68－53）∶（74－68）＝5∶2，总人数为7的倍数；期末相应人数比为（75－47）∶（83－75）＝7∶2，总人数为9的倍数。总人数为正整数且不到100，只能取最小公倍数63，选C。
本篇提供多少道原创迁移练习？
本篇含5道完整原创迁移练习，提供选项、参考答案与解析。原创情境和数据均为教学模拟。