沿公共边追踪图案，识别纸盒的朝向差异｜2023云南省考第59题

完整题面

59． 下面四个正方体纸盒的外表面展开图中，与其他三个折叠成的纸盒不相同的是：

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原卷页图：核对图表与选项

结论与题干依据

第59题选B。

题目比较的是印有黑白图案的正方体纸盒。判断“相同”时，允许把整个纸盒旋转，但不能翻转单个面上的图案，也不能把纸盒作镜像反射。因此，六个面的图案种类相同，只是必要条件；图案所在面的相邻关系，以及图案朝向公共边的方式，也必须一致。

附图第10页提供了本题全部四个选项；第11页为相邻题目的上下文页，不增加第59题的折叠条件。

首选解法：固定同一对面，比较公共边两侧

先按图案认面，再判断折叠后的关系。为了便于文字说明，把含有带折角白色多边形的特征面记为a，把同时可辨认出黑色直角梯形与白色矩形区域的特征面记为b。这里的a、b依据面内图案识别，不依据它们在展开图中的位置识别。

比较时分三步。

第一步，在四个选项中分别找到同样的a面和b面。遇到旋转的图案，应连同整个面一起旋转着识别，不能只比较纸面上的上下左右。

第二步，沿折线想象折叠，找到a、b折叠后的公共边。展开图中没有直接接在一起的两条边，折叠后也可能闭合为同一条棱，因此不能只看平面上是否相连。

第三步，固定a面，让其白色多边形的长边朝向一致，再观察公共边靠近b面的哪一部分图案。

选项	公共边在a面一侧的识别依据	公共边在b面一侧的图案关系	判断
A	靠近白色多边形长边	靠近黑色直角梯形上底的一侧	与C、D一致
B	靠近白色多边形长边	靠近白色矩形长边的一侧	与其余三项不同
C	靠近白色多边形长边	靠近黑色直角梯形上底的一侧	与A、D一致
D	靠近白色多边形长边	靠近黑色直角梯形上底的一侧	与A、C一致

这里的“上底”用于辨认梯形内部的对应边，不是指展开图在纸面上的上方。纸面旋转后，图案内部各部分之间的关系仍然保留。

区别落在同一条立体公共边上：A、C、D在b面一侧对应黑色梯形的相应底边区域，B却对应白色矩形的长边区域。把整个纸盒旋转，无法改变一条棱在某个面内部所邻接的图案，因此B不能与其余三项重合。

独立交叉核验：逐面折叠，区分面的位置与面内方向

可以暂时不使用“梯形上底”这个图形名称，改用逐面建立空间方向的方法检查。

先给每个选项的六个方格编号：按展开图从上到下逐行编号，同一行从左到右编号。A、B、D都是最上方1格、中间3格、最下方2格；C是最上方2格、中间3格、最下方1格。

手工沿折线折叠，可得以下相对面关系：

选项	三组相对面
A	1与5、2与4、3与6
B	1与5、2与4、3与6
C	1与4、2与6、3与5
D	1与5、2与4、3与6

编号只用于各选项内部追踪位置。例如，A的1面与C的1面并不因编号相同就被视为同一图案面。

继续核验时，不仅记录每个面朝向哪里，还记录该面原来朝右、朝上的方向。跨过一条折线，相邻面绕这条折线转动90度；两面共有的边及其端点必须保持重合。

这样把a面固定后，就可以把b面看作绕确定公共边立起的一块纸板。A、C、D在这条边附近呈现相同的黑白区域关系；B在对应位置呈现白色矩形区域。这个差异发生在面内方向上，不能通过改变整盒观察角度消除。

这也解释了为什么只查相对面不够：相对面表解决的是“哪两个面隔着纸盒”，而本题的区别还涉及“同一面以哪一边朝向邻面”。

A—D逐项判断

A：以a面的白色长边为定位依据，沿公共边检查b面，得到黑色梯形底边一侧的对应关系，保留。

B：找到同样的a、b后，公共边在b面上对应白色矩形长边一侧。即使图案种类相同，这种邻边关系仍与其他三项冲突，选中。

C：展开图外形与A、D不同，但折叠后a、b的公共边及其两侧图案关系一致，保留。

D：按照a面的图案朝向对齐后，b面靠近公共边的区域与A、C一致，保留。

本题为选非题，应选出不能与其他三个纸盒重合的一项，即B。

常见错因与迁移方法

**只看展开图轮廓。** 不同形状的展开图可以折成相同纸盒。轮廓只能帮助追踪折线，不能直接决定答案。

**只数黑白图案是否齐全。** 图案种类一致，仍可能存在相对面、邻接次序或面内朝向的差异。

**把平面相邻直接当成立体关系。** 展开图中已经相接的两面，折叠后仍然相邻；但平面上分开的两面，也可能在闭合时相邻。应同时追踪自由边的闭合。

**对齐一个面后，任意调整另一个面。** 当一个特征面的图案方向与另一个特征面的位置都已固定，整个纸盒的姿态就受到约束。不能为了让局部图案相似，再单独旋转某一面。

**把镜像当成旋转。** 两个面相邻，并不能保证围绕共同顶点的排列顺序一致。必要时同时检查公共边的两个端点，或引入第三个有标记的面，判断顺序是否反转。

可迁移的操作顺序是：识别特征面，核查相对面，固定一条有方向的公共边，追踪两侧图案，最后检查共同顶点。相对面适合快速排除；公共边适合辨别图案朝向；共同顶点适合识别镜像。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】一张正方体纸盒展开图由六个单位正方形组成。坐标表示方格中心，纸面向右为x正方向、向上为y正方向；所有标记均印在折成纸盒后的外表面。

面标记	中心坐标
F	(0,0)
U	(0,1)
D	(0,-1)
L	(-1,0)
R	(1,0)
K	(2,0)

各面按相邻方格的公共边折起，最终闭合成正方体。纸面上的U面上边右端有一个星点。折叠后，这个星点与K面的哪个顶点重合？选项中的上下左右均指K面折叠前在纸面上的方向。

A．K面上边右端

B．K面上边左端

C．K面下边左端

D．K面下边右端

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答案：B

以F为前面折叠，U成为上面，K成为后面。U原来的上边与K原来的上边闭合为同一条棱，但两条边的纸面左右方向相反，因此U上边右端与K上边左端重合。交叉核验：令纸盒右、上、前分别为三个坐标正方向，星点位于右上后顶点；K作为后面，其纸面左方向指向纸盒右方、纸面上方向仍指向上方，所以该点确为K的左上角。A对应左上后顶点，C、D位于下方，均不符合。

迁移维度：追踪平面自由边闭合后的对应端点，防止把公共边的方向读反。

原创迁移练习2

【教学模拟】六个单位正方形构成如下正方体纸盒展开图。坐标表示方格中心，纸面向右为x正方向、向上为y正方向；图案印在纸盒外表面。

面标记	中心坐标	面内箭头
A	(0,0)	无
B	(1,0)	无
C	(2,0)	无
D	(3,0)	无
E	(1,1)	向纸面右方
F	(2,-1)	向纸面左方

沿公共边折成正方体。将E、F两面的箭头视为三维空间中的方向向量，只比较方向，不比较位置。两个方向的夹角是多少？

A．0度

B．180度

C．90度

D．随纸盒的摆放方式改变，无法确定

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答案：C

以B为前面，C折成右面，E折成上面，F折成下面。E的纸面右箭头折叠后指向纸盒右方。F接在C的下边，其纸面左箭头折叠后指向纸盒前方，二者垂直，夹角为90度。交叉核验：取纸盒右、上、前为x、y、z正方向，E箭头为+x；C的纸面右方向折成−z，F与C沿水平折线折叠时保留该方向，故F的纸面左箭头为+z。+x与+z垂直。A、B把纸面上相反的箭头直接带入空间；D忽略了刚体旋转保持夹角。

迁移维度：分别追踪面的位置与面内方向，理解相对面上的箭头也可能相互垂直。

原创迁移练习3

【教学模拟】一个正方体六面各印一个不同字母。在初始摆放中，上面为U、下面为D、前面为F、后面为B、右面为R、左面为L。字母仅用于辨认面，其书写朝向不作为条件。

只允许整体旋转该正方体，不允许镜像反射。下表哪一种“上面、前面、右面”的组合不可能出现？

选项	上面	前面	右面
A	U	F	R
B	F	D	R
C	R	F	D
D	U	R	F

A．表中A组合

B．表中B组合

C．表中C组合

D．表中D组合

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答案：D

A就是初始状态。绕左右方向的轴转动，可使原前面F成为上面、原下面D成为前面，同时保持R为右面，所以B可实现。绕前后方向的轴转动，可使原右面R成为上面、原下面D成为右面，同时保持F为前面，所以C可实现。保持U在上，将R转到前方时，原后面B才会转到右方，因此D中的右面不应为F。交叉核验：给R、U、F的外法向分别记为+x、+y、+z。可实现的组合必须满足“上面法向叉乘前面法向等于右面法向”。A、B、C分别满足y×z=x、z×(−y)=x、x×z=−y；D中y×x=−z，对应B而非F。四组中各面的两两相邻关系都没有冲突，唯一差异是D反转了顶点处的排列顺序。

迁移维度：区分两两相邻与顶点排列顺序，用第三个面排除镜像。

原创迁移练习4

【教学模拟】六个单位正方形按下表组成正方体纸盒展开图。坐标表示方格中心；箭头方向均按折叠前纸面方向描述，全部标记印在纸盒外表面。

面标记	中心坐标	箭头
F	(0,0)	向上
U	(0,1)	向右
D	(0,-1)	无
L	(-1,0)	无
R	(1,0)	向左
B	(2,0)	无

折成正方体后，将其整体旋转，使R面位于上方、U面位于前方、F面位于右方。此时三支箭头分别指向什么位置？“上面的右边”指上面与右面的公共边；“右面的前边”指右面与前面的公共边，其余表述同理。

选项	上面R的箭头	前面U的箭头	右面F的箭头
A	指向上面的右边	指向前面的上边	指向右面的前边
B	指向上面的右边	指向前面的下边	指向右面的前边
C	指向上面的左边	指向前面的上边	指向右面的前边
D	指向上面的右边	指向前面的上边	指向右面的后边

A．表中A组合

B．表中B组合

C．表中C组合

D．表中D组合

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答案：A

先不旋转纸盒，只记箭头指向哪个相邻面：R面的左箭头指向F，U面的右箭头指向R，F面的上箭头指向U。整体旋转后，这三条指向关系保持不变。此时F在右，所以上面R的箭头指向右边；R在上，所以前面U的箭头指向上边；U在前，所以右面F的箭头指向前边，选A。交叉核验：三支箭头分别终止于R—F、U—R、F—U三条公共边，旋转不会改变边的归属。B把U箭头指向了R的相对面，C把R箭头指向了F的相对面，D把F箭头指向了U的相对面，均与原展开图冲突。

迁移维度：先把纸面箭头转写为指向相邻面的关系，再处理纸盒整体旋转。

原创迁移练习5

【教学模拟】比较四张正方体纸盒展开图。它们均使用同一个方格位置模板：中心为(0,0)，上格为(0,1)，下格为(0,-1)，左格为(-1,0)，右格为(1,0)，最右格为(2,0)。相邻方格沿公共边连接。

每张图的六面分别印有F、U、R、B、D、L六个不同字母。字母仅用于辨认面，字形朝向不作为条件。只有F、U面另印箭头，箭头必须随面一起折叠。下表中的上下左右均指折叠前纸面方向；未写箭头的面没有箭头。所有标记均在纸盒外表面。

展开图	中心格	上格	下格	左格	右格	最右格
A	F，箭头向上	U，箭头向右	D	L	R	B
B	F，箭头向左	R	L	U，箭头向下	D	B
C	U，箭头向右	B	F，箭头向上	L	R	D
D	R	U，箭头向下	D	F，箭头向上	B	L

折成纸盒后，只允许整体旋转。哪一张折成的带箭头纸盒与其他三张不同？

A．展开图A

B．展开图B

C．展开图C

D．展开图D

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答案：B

用“箭头指向哪个相邻面”核验。A中F箭头指向U，U箭头指向R。C中F位于下格，其上箭头指向中心U；中心U的右箭头指向R，关系与A相同。D中上格U的下箭头指向中心R；左格F的上箭头折叠后指向U，仍与A相同。B中中心F的左箭头指向U，这一项正确；但左格U的下箭头折叠后指向L，而非R，故B不同。独立交叉核验：以A的右、上、前为+x、+y、+z，将其余方案的字母位置归一。B中心F的纸面上方向为+x，纸面右方向为−y；左格U的纸面上方向也为+x，所以其下箭头为−x，指向L。若将B的U箭头改为向上，才会指向R。C与D归一后，F箭头均为+y、U箭头均为+x。六个不同字母固定了面的位置，不能再通过额外旋转单独纠正B的U箭头。

迁移维度：综合比较不同展开布局，用唯一面标记固定姿态，再核查方向性图案。