先补全立体，再统计面数与奇偶｜2023云南省考第58题

完整题面

58． 从所给四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

原卷页图：核对图表与选项

答案为D。题干三个多面体的面数依次为6、8、4，均为偶数；四个选项中，只有D项有偶数个面。

从完整多面体入手

这些立体图中的虚线表示被遮挡的棱。它们帮助我们恢复背面和底面的结构，不能因为没有直接看见某个面，就将其漏掉。统计对象是完整立体的所有外表面，包括可见面和被遮挡面。

识别时还要区分面、棱和投影区域：两条线在纸面上交叉，不一定产生新的空间顶点；虚线穿过某个可见区域，也不意味着这个面被切成了两个面。

首选解法：识别结构，直接数面

位置	完整立体结构	计数方法	面数
题干第一个	立方体	上、下、前、后、左、右各一个面	6
题干第二个	台阶形棱柱，底面为凹六边形	两个底面，加上六条底边分别对应的六个侧面	8
题干第三个	三棱锥	一个三角形底面，加上三个三角形侧面	4

第二个立体最容易数错。它可以看作一个凹六边形沿固定方向延伸形成的棱柱。底面虽然有凹入部分，仍然是一个完整的平面区域，不能拆成几个面；底面边界有六条边，因此有六个侧面，总面数为6+2=8。

得到6、8、4后，观察它们的共同属性：三个数都是偶数。无需强行寻找递增、递减或等差关系，再按同一标准检查选项即可。

A—D逐项判断

选项	结构识别	面数计算	判断
A	四棱锥	一个四边形底面+四个三角形侧面=5	奇数，排除
B	四棱柱与四棱锥共用一个完整底面形成的组合体	棱柱保留四个侧面和一个底面，棱锥保留四个侧面，共9个面	奇数，排除
C	三棱柱	两个三角形底面+三个四边形侧面=5	奇数，排除
D	具有两个四边形底面、四个侧面的六面体	2+4=6	偶数，保留

B项的关键是处理内部贴合面。若分别统计棱柱的6个面和四棱锥的5个面，二者共用的底面被计算了两次，而且贴合后都不属于外表面，所以应为6+5−2=9。

独立交叉核验：从顶点与棱反算面数

对本题这些没有贯穿孔洞的封闭多面体，可以用欧拉关系核对：顶点数−棱数+面数=2，即面数=棱数−顶点数+2。

换一个统计对象，分别沿实线、虚线清点完整立体的顶点和棱，结果如下：

位置	顶点数V	棱数E	按E−V+2计算的面数
题干第一个	8	12	6
题干第二个	12	18	8
题干第三个	4	6	4
A	5	8	5
B	9	16	9
C	6	9	5
D	8	12	6

其中，台阶形棱柱有两组六边形顶点，共12个顶点；两组底边共12条，加上连接对应顶点的6条侧棱，共18条棱。凹入结构不会使这一步失效。

B项也可以单独核验：四棱柱原有8个顶点、12条棱，加上锥顶这1个顶点和通向锥顶的4条棱，得到9个顶点、16条棱，因此面数为16−9+2=9。两种计数方法均支持D。

常见错因与迁移方法

第一，只数看得见的面。透视图通常遮住部分底面、背面，必须借助虚线补全立体。

第二，把凹面拆开计算。一个连通、共面的凹多边形区域仍可构成一个面；轮廓有台阶，不等于这个面被分割。

第三，把棱锥与棱柱混淆。n棱锥有一个底面、n个侧面，共n+1个面；n棱柱有两个底面、n个侧面，共n+2个面。

第四，组合后直接相加。贴合面会进入内部；如果相邻的外表面又共面连通，还要判断是否应合并成一个面。

第五，过早追逐数列变化。得到数量后，先比较奇偶等共同属性，再考虑其他关系。本题利用面数的偶数属性，即可唯一筛出D。

迁移到新题时，可以依次完成：识别完整立体、明确面的统计口径、利用结构公式数面、比较数量属性。遇到凹入或组合结构，再用顶点数与棱数交叉检查。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】模型库中的棱柱、棱锥均为完整、无孔洞的标准多面体，没有额外切割或拼接。下列哪一组中的两个模型，完整外表面数相等？

A．四棱柱与四棱锥

B．五棱柱与六棱锥

C．三棱柱与三棱锥

D．六棱柱与五棱锥

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答案：B

n棱柱的面数为n+2，n棱锥的面数为n+1。A分别为6、5；B分别为7、7；C分别为5、4；D分别为8、6，只有B相等。交叉核验：五棱柱有10个顶点、15条棱，面数为15−10+2=7；六棱锥有7个顶点、12条棱，面数为12−7+2=7。

迁移维度：跨立体类别比较面数，区分棱柱的n+2与棱锥的n+1。

原创迁移练习2

【教学模拟】四个封闭凸多面体的顶点和棱已全部清点，包括被遮挡的部分，数据如下。根据欧拉关系V−E+F=2，哪一个模型的面数为偶数？

模型	顶点数V	棱数E
甲	5	8
乙	6	9
丙	8	12
丁	7	12

A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

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答案：C

由F=E−V+2，甲为8−5+2=5，乙为9−6+2=5，丙为12−8+2=6，丁为12−7+2=7。只有丙为偶数，选C。交叉核验：F与E−V的奇偶性相同；四个模型的E−V依次为3、3、4、5，同样只有丙为偶数。

迁移维度：利用完整顶点、棱的数据恢复面数，并直接检验奇偶性。

原创迁移练习3

【教学模拟】约定“面”指最终实体表面上最大的连通平面区域：贴合后进入内部的面不计；相邻且共面的外表面合并计为一个面。四种制作方法如下，其中哪一种所得实体的面数为奇数？各模型均无孔洞。 A方法：将两个全等正方体沿完整正方形面贴合，边、角完全对齐，得到一个长方体。 B方法：将一个正四棱锥的底面与一个正方体的上表面完全贴合，锥顶位于正方体外部。 C方法：将两个全等正四面体沿完整三角形面贴合，两个未参与贴合的顶点位于该面的两侧。 D方法：在一个正方体的上、下表面分别贴合一个正四棱锥的底面，两个锥顶均位于正方体外部。B、D方法中，棱锥侧面与正方体侧面均不共面。

A．A方法

B．B方法

C．C方法

D．D方法

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答案：B

A最终为长方体，有6个面；不能只算6+6−2=10，因为外部共面的区域还需合并。B中正方体保留5个面，棱锥提供4个侧面，共9个面，为奇数。C形成三角双锥，两侧各保留3个三角形面，共6个面。D中正方体保留4个侧面，两个棱锥各提供4个侧面，共12个面。只有B为奇数。交叉核验：A、B、C、D的(V,E)分别为(8,12)、(9,16)、(5,9)、(10,20)，按E−V+2分别得到6、9、6、12。

迁移维度：处理组合体中的内部贴合面与外部共面合并，避免机械相加。

原创迁移练习4

【教学模拟】对一个实心正方体的8个顶点分别进行一次平面切角。每个切割平面只与该顶点相连的三条棱相交，交点均在棱的内部；8个切除区域互不接触；原正方体的6个面切割后都保留有面积的连通区域。每次切割均新增一个三角形面。完成全部切割后，剩余实体共有多少个面？

A．14个

B．12个

C．18个

D．24个

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答案：A

原来的6个面都保留，每切去一个顶点新增1个三角形面，且新增面不会彼此合并，因此总面数为6+8=14，选A。交叉核验：每个原顶点被三个新顶点替代，得到V=8×3=24；原来的12条棱各保留中间一段，8个新增三角形另提供24条棱，因此E=12+24=36。由F=36−24+2=14，与直接计数一致。24是顶点数，不是面数。

迁移维度：在切割变换中追踪保留面与新增面，并用欧拉关系核对。

原创迁移练习5

【教学模拟】在平面直角坐标系中，依次连接下表各点，并将最后一点与第一点连接，得到一个无自交的凹多边形。将该多边形及其内部沿垂直于所在平面的方向平移2个单位，原区域、平移后的区域及对应边形成的侧面围成一个实心直棱柱。“面”按最大的连通平面区域计数，不额外划分。该棱柱有多少个面？

连接次序	点	坐标
1	P	(0,0)
2	Q	(4,0)
3	R	(4,1)
4	S	(1,1)
5	T	(1,3)
6	U	(0,3)

A．6个

B．7个

C．10个

D．8个

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答案：D

底面边界依次为PQ、QR、RS、ST、TU、UP，共6条边，每条边生成一个侧面。六个侧面分别位于不同的平面，不能合并；两个凹六边形底面各计一个面，因此共有6+2=8个面，选D。凹入不会自动把一个底面拆成多个面。交叉核验：两组底面共12个顶点，底边共12条，另有6条连接对应顶点的侧棱，故V=12、E=18，F=18−12+2=8。

迁移维度：依据完整文字与坐标恢复凹棱柱，区分凹多边形面与多个面。