把线条转成连通图：用奇点数判断最少笔画｜2023云南省考第57题

完整题面

57． 把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：

A．①②③，④⑤⑥ B．①②⑤，③④⑥ C．①②⑥，③④⑤ D．①④⑥，②③⑤

原卷页图：核对图表与选项

结论与题干依据

第57题选D：①④⑥为一组，均可一笔画成；②③⑤为另一组，均至少需要两笔。

判断对象是六个方框内部的线条，外侧用于排版的方框不计入图形。原图六个内部图形各自连通，适合使用连通图的最少笔画规则。这里的一笔，是连续走完相应线条，途中不抬笔，也不重复描画任何一段线；允许再次经过同一个交点。

这道题容易被三角形、矩形和斜线的位置吸引。真正需要比较的是：线条在哪里连接，以及每个连接位置伸出几条支路。

首选解法：数奇点，求最少笔画

把端点、交点和接合点看成顶点，把相邻顶点之间的线条看成边。顶点的“度数”就是接在该点上的边数。

常见位置可以这样识别：自由端点的度数为1；普通拐角为2；三条支路相接的位置为3；两条线正常相交形成四条支路的位置为4。度数为奇数的顶点称为奇点。

对一个连通且至少含一条边的图形：

- 奇点为0个，最少1笔，可以回到起点。 - 奇点为2个，最少1笔，起点和终点分别是两个奇点。 - 奇点为4个，最少2笔。 - 一般地，奇点数为o时，最少笔画数为max(1，o÷2)。

原图逐一核验如下：

图形	奇点位置	奇点数	最少笔画数
①	左上自由端点；左侧斜线接入处	2	1
②	中间横线的左右接入处；下方左右两个角点	4	2
③	左上顶点；中间横线的左右端点；内部斜线与右下边界的接入处	4	2
④	内部屋顶状折线与外框底边相接的两处	2	1
⑤	左下自由端点；左侧短横线接入处；内部短竖线的上端接入处；长斜线的上端接入处	4	2
⑥	内部竖线与上边相接处；内部竖线下端与底边、右侧斜边相接处	2	1

其中有三处值得仔细辨认。

第一，②中间三角形的上顶点位于横线上，左右横线和两条斜线共同接入，度数为4，属于偶点。相反，下方两个角点各接入三条边，属于奇点。不能把“角点”一律当成度数为2。

第二，③内部斜线与中间横线的交叉处有四条支路，度数为4；斜线接入右下边界的位置只有三条支路，度数为3。这两个位置不能混算。

第三，⑤既有自由端点，也有三支路接点。只数显眼的端点，会漏掉另外三个奇点。

因此，①④⑥都有2个奇点，②③⑤都有4个奇点，分类为D。

为什么奇点决定笔画数

连续描画经过一个中间顶点时，通常需要一条边进入、另一条边离开，所用边成对出现。奇点总会剩下一条无法在该点配对的边，因此必须成为某一笔的起点或终点。

一笔最多提供两个端头，所以4个奇点至少需要2笔，2个奇点至少需要1笔。对连通图，将奇点配对并临时补边，可以形成一条走遍所有边的闭合路线；再去掉补边，就得到相应数量的描画路线。这说明上述下界能够达到。

这也解释了为什么“看起来封闭”不能直接推出一笔画：②和③都有封闭区域，但仍有4个奇点，需要两笔。

独立交叉核验：实际拆出描画路线

下面不只依据奇点计数，还通过路线覆盖检查每一段线是否能按所判笔数画完。为便于阅读，经过若干普通拐角、途中没有分叉的一整段线，合称一条路径。

①可以从左上自由端点出发，沿左侧经过接入点到下方尖点，再沿长斜边到右上尖点，最后沿内部斜线回到左侧接入点。所有线段恰好经过一次，确实只需一笔。

④从内部屋顶状折线的左侧底端出发，先沿外框长路径绕到右侧底端，再沿内部屋顶状折线回到左侧底端，最后画两底端之间的底边。一笔覆盖全部线条。

⑥把内部竖线的上下端分别记作U、V。U和V之间有三条路径：左侧外边界、内部竖线、右侧外边界。按“U经左侧到V，再沿内部竖线回U，最后经右侧到V”即可一笔完成。

对另外三个图形，可以分别明确拆出两笔：

- ②：把横线左、右接点记作L、R，下方左、右角记作U、V，内部三角形上顶点记作T。第一笔为“L经上方外边界到R→T→L→U→T→V→U”，第二笔为“R→V”。两笔合起来覆盖全部边，互不重复。 - ③：把左上顶点记作P，横线左、右端记作Q、R，内部斜线与右下边界接点记作S，斜线与横线交点记作X。第一笔为“Q经下方外边界到S→X→Q→P经上方外边界到R→X→P”，第二笔为“R→S”。全部线条恰好被覆盖。 - ⑤：把左下自由端点记作E，左侧短横线接点记作L，内部短竖线的上端记作U，长斜线的上端记作V。第一笔从E到L，经左上外边界到U，再沿内部短竖线和短横线回L；第二笔从U沿顶边到V，再沿右侧三角形边界绕回V。

实际路线证明①④⑥各有一笔方案，②③⑤各有两笔方案；奇点所给出的下界又排除了更少笔画，二者相互印证。

A—D逐项判断

选项	判断	依据
A	错误	将一笔图①与两笔图②③放在同一类；另一类也混入不同笔画数。
B	错误	①与②⑤的最少笔画数不同，③与④⑥的最少笔画数也不同。
C	错误	②被放入①⑥所在的一笔组；④被放入③⑤所在的两笔组。
D	正确	两类分别对应2个奇点和4个奇点，最少笔画数分别为1和2。

常见错因与迁移方法

**只数自由端点。** 三支路接点也是奇点。⑤最能检验这一点：它只有一个自由端点，却一共有四个奇点。

**把交叉点都当成奇点。** 应沿该点向外数支路。四条支路对应度数4，不会增加奇点数；三条支路对应度数3，才应计入。

**把封闭区域数当成笔画数。** 图形围成多少块区域，不能直接决定最少笔画数。先检查连通性，再数奇点，才有稳定的判定依据。

**忘记连通条件。** 原题六图均各自连通，可以直接使用公式。若迁移题含多个互不相连的部分，应对每个含边的连通部分分别计算，再把所需笔数相加。两个互不相连的闭合环虽然总奇点数为0，也需要两笔。

**把一笔理解成不能再经过交点。** 禁止的是重复描画同一条边；再次经过一个交点完全可以。④和⑥的一笔路线都需要利用这一点。

可迁移的操作顺序是：先确定连接关系和连通部分，再标出所有奇点，计算最少笔数，最后用实际描画路线复核。线条的长短、方向和弯折方式可以变化，只要连接关系不变，最少笔画数就不变。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】一个线条网络有A、B、C、D、E、F六个顶点，全部边如下表。每一行表示一条无向边；不同边只在字母相同的端点处连接，没有其他交点。要求画完全部边，每条边恰好经过一次，允许重复经过顶点，允许抬笔但不能添加连线。最少需要几笔？

边序号	两端顶点
1	A—B
2	B—C
3	C—D
4	D—A
5	A—C
6	C—E
7	E—F
8	F—D

A．1笔

B．2笔

C．3笔

D．4笔

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答案：A

网络连通。A、B、C、D、E、F的度数依次为3、2、4、3、2、2，仅A、D两个奇点，故最少1笔。独立路线核验：A→B→C→A→D→C→E→F→D，恰好覆盖表中8条边且没有重复。B、C、D三个选项都高估了最少笔数。C虽然连接四条边，却是偶点，不能计入奇点。

迁移维度：从完整边表恢复连接关系，区分四度交点与三度奇点，并用实际路线验证。

原创迁移练习2

【教学模拟】下面给出六个独立线条网络的全部边。每一行使用自己独立的一套顶点，同一字母在不同行之间没有关系。每条边均为无向边，不同边只在字母相同的端点连接，没有其他交点。以“画完所有边且每条边恰好经过一次所需的最少笔数”为分类标准，哪种分组使每组内三个网络的最少笔数相同？

网络	全部边
甲	A—B、B—C、C—A、A—D
乙	A—B、A—C、A—D、B—C、B—D、C—D
丙	A—B、B—C、C—D、D—A
丁	A—B、A—C、A—D、A—E
戊	A—B、B—C、C—A、A—D、D—E、E—A
己	A—B、B—C、C—D、B—E

A．甲乙丙一组，丁戊己一组

B．甲丙戊一组，乙丁己一组

C．甲丁戊一组，乙丙己一组

D．甲丙己一组，乙丁戊一组

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答案：B

六个网络均连通。甲只有A、D两个奇点，需1笔；乙的四个顶点度数均为3，需2笔；丙所有顶点度数均为2，需1笔；丁有四个度数为1的叶端，需2笔；戊的A度数为4，其余顶点度数为2，需1笔；己的A、B、D、E为奇点，需2笔。因此甲丙戊与乙丁己分别成组。独立构造核验：甲可走D→A→B→C→A；丙可走A→B→C→D→A；戊可走A→B→C→A→D→E→A。乙可拆为A→B→C→A→D→B和C→D；丁可拆为B→A→C和D→A→E；己可拆为A→B→C→D和B→E。以上路线均无重复、无遗漏。A、C、D均把一笔网络和两笔网络混在同组。

迁移维度：把零奇点与两奇点统一归入一笔类，跨外形比较拓扑性质。

原创迁移练习3

【教学模拟】一份线路底稿由下表三个互不连接的部分组成。表内已列出全部顶点和全部边，不存在其他交点。画线时可以抬笔，但不能在空白处补线，也不能重复描画任何边。画完整份底稿最少需要几笔？

部分	全部顶点	全部边
第一部分	A、B、C	A—B、B—C、C—A
第二部分	D、E、F、G	D—E、D—F、D—G
第三部分	H、I、J	H—I、I—J

A．2笔

B．3笔

C．4笔

D．5笔

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答案：C

应分别计算三个连通部分。第一部分没有奇点，是闭合三角环，需1笔；第二部分的D度数为3，E、F、G度数均为1，共4个奇点，需2笔；第三部分只有H、J两个奇点，需1笔。合计1＋2＋1＝4笔。独立路线核验：A→B→C→A；E→D→F；D→G；H→I→J，共四笔覆盖全部边。若仅把全图6个奇点除以2，会误得3笔，因为这种算法漏掉了第一部分必须单独描画的闭合环。A、B低于必要笔数，D高于已有构造。

迁移维度：识别公式的连通前提，对互不连接的部分分别计算并求和。

原创迁移练习4

【教学模拟】两个闭合线路环在版面上的两个位置相交，现有两种连接设计。下表给出各设计的完整连接关系；同一设计中只有字母完全相同的端点才连接。方案二中的X1与X2、Y1与Y2分别处于相同版面位置，但采用跨线结构，彼此不连接，不能在两个环之间转移。除表中端点外没有其他连接。要求每条边恰好描画一次，两方案最少笔数依次是多少？

方案	全部边
方案一：两处相交位置均连接	X—A、A—Y、Y—B、B—X、X—C、C—Y、Y—D、D—X
方案二：两处均跨线不连接	X1—A、A—Y1、Y1—B、B—X1、X2—C、C—Y2、Y2—D、D—X2

A．1笔、1笔

B．2笔、1笔

C．2笔、2笔

D．1笔、2笔

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答案：D

方案一连通，X、Y度数均为4，A、B、C、D度数均为2，没有奇点，需1笔。方案二是两个互不连接的闭合环，每个环需1笔，合计2笔。独立构造核验：方案一可走X→A→Y→B→X→C→Y→D→X；方案二分别走X1→A→Y1→B→X1和X2→C→Y2→D→X2。A误把跨线当连接；B把两种设计的结果颠倒；C高估了方案一所需笔数。两方案都没有奇点，但连通部分数不同，因而最少笔数不同。

迁移维度：区分视觉相交与实际连接，理解偶点交汇改变连通性时对笔画数的影响。

原创迁移练习5

【教学模拟】一个线路网络的全部原有边为O—A、O—B、O—C、O—D、O—E、O—F，七个字母表示七个不同顶点。现须从下列方案中选择一个，新增两条无向边。新增边只连接所列的两个端点，不经过其他顶点，也不产生其他连接。改造后，要求全部原有边和新增边均恰好描画一次。哪个方案能使改造后的网络一笔画完？

A．新增A—B、B—C

B．新增A—C、C—D

C．新增A—B、D—E

D．新增A—F、B—F

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答案：C

原网络连通，O度数为6，六个外围顶点度数均为1，共6个奇点。每新增一条边，其两个端点的度数各增加1，奇偶性分别翻转。A新增两边后，A、C变成偶点，B因增加2度仍是奇点，另有D、E、F三个奇点，共4个，需2笔。B同理仅A、D变偶，余下B、C、E、F四个奇点，需2笔。C使A、B、D、E四个顶点各增1度，仅C、F保持奇点，需1笔。D使A、B变偶，F增加2度仍为奇点，另有C、D、E，共4个奇点，需2笔。独立路线核验，C方案可走C→O→A→B→O→D→E→O→F，恰好覆盖6条原有边与2条新增边，故C唯一正确。

迁移维度：用新增边引起的奇偶翻转分析线路改造，避免把共享端点的两次变化误计为两次消除奇点。