半圆定方向，公共边验折叠｜2025云南省考第67题

完整题面

67．左下图为两个正方体组合而成的长方体，这两个正方体的外表面展开图分别可能是：

A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③ 二、定义判断。每道题先给出一个定义，然后列出四种情况，要求你严格依据定义，从中选出一个 最符合或最不符合定义的答案。注意：假设这个定义是正确的，不容置疑的。 请开始答题：

原卷页图：核对图表与选项

**第67题选A：①可以对应右侧正方体，②可以对应左侧正方体。**

这道题的关键，是同时检查图案面的位置、公共边和图案方向。①与③折叠后，有关图案面可以处于相同位置，但对角线经过公共边的端点不同，必须继续核对。

**原题与图形的完整文字记录**

题目：左下图为两个正方体组合而成的长方体，这两个正方体的外表面展开图分别可能是：

选项	组合
A	①和②
B	③和④
C	①和④
D	②和③

下面按随附原卷图记录图形。把半圆图案面记为S，把由对角线分成黑白两部分的面记为D，把另一种黑色三角图案面记为T。纸格中的上下左右，均指原卷展开图的阅读方向。

图案标记	含义
S下	黑色半圆的直径在纸格下边，弧线向格内凸起
S上	黑色半圆的直径在纸格上边，弧线向格内凸起
T右	黑色三角形的顶点为纸格上边、下边、右边的中点
T上	黑色三角形的顶点为纸格左边、右边、上边的中点
T下	黑色三角形的顶点为纸格左边、右边、下边的中点
D①	分界线连接左上角与右下角，右上角所在三角区域为黑色
D②	分界线连接左下角与右上角，左上角所在三角区域为黑色
D③、D④	分界线连接左下角与右上角，右下角所在三角区域为黑色
空白	有正方形纸格，没有图案
—	没有纸格

四张展开图的纸格位置如下。同一张展开图内，共用整条边的纸格沿该边连接。

展开图	行	第1列	第2列	第3列	第4列
①	第1行	空白	—	—	—
①	第2行	T右	空白	空白	S下
①	第3行	—	D①	—	—
②	第1行	T上	空白	—	—
②	第2行	—	D②	空白	—
②	第3行	—	—	S上	空白
③	第1行	T下	空白	—	—
③	第2行	—	空白	空白	S下
③	第3行	—	D③	—	—
④	第1行	空白	D④	—	—
④	第2行	—	空白	S下	—
④	第3行	—	—	空白	T下

原立体由左右两块正方体整面贴合而成，两块的前面处于同一平面。图中可见约束如下。

位置	图案及方向
左块前面	S面，半圆直径在下边
左块顶面	T面，三角形尖端指向左侧
右块前面	S面，半圆直径在右边
右块顶面	T面，三角形尖端指向后方
右块右面	D面，分界线连接前下顶点与后上顶点，后下顶点所在三角区域为黑色

“后方”指远离前面的方向。右块半圆的直径边，也是前面与右面的公共边。右面D的分界线经过这条公共边的下端。

原图没有展示左块的全部隐藏面，也没有规定两块之间的接触面必须为空白。判断时不能自行添加这些条件。

**先固定半圆，再检查邻面**

半圆的直径能确定面内方向。先让S面朝前，再使直径边符合目标位置，正方体的姿态就随之固定。此时再观察T、D所在的位置，不能单独转动某一个图案。

为了便于比较，把四张展开图分别折成同一种姿态：S面朝前，半圆直径在下边。沿公共边逐次折叠，可得：

展开图	T面的位置	D面的位置	S面的上邻面	S面的下邻面
①	右面	底面	空白面	D面
②	顶面	右面	T面	空白面
③	右面	底面	空白面	D面
④	右面	顶面	D面	空白面

左块前面的半圆直径向下，顶面必须为T面。表中只有②满足面的位置要求。继续追踪②的三角形尖端，折叠后指向左侧，也与原立体一致，所以②可以对应左块。

①、③在这一姿态下，顶面都是空白面；④的顶面是D面，均不能对应左块。

**①与③怎样区分：追踪公共边端点**

右块前面的半圆直径在右边。由上述统一姿态出发，从正面看，把整个正方体逆时针转90度，原来的右面变成顶面，原来的底面变成右面。

因此，①与③都能满足“T在顶面、D在右面”。两者的顶面三角形尖端也都指向后方，还需要检查右面D的对角线。

候选	转到右块姿态后，D分界线连接的顶点	经过前面与右面公共边的哪个端点
①	前下顶点与后上顶点	下端
③	前上顶点与后下顶点	上端

原立体要求经过下端，故①符合、③不符合。再检查黑色区域：①折成目标姿态后，后下顶点所在三角区域为黑色，与原图一致。

④在统一姿态下，D在顶面。转到半圆直径向右的姿态后，D变到左面，右面则为空白面，不能对应右块。

**沿另一条折叠路径复核**

以①为例，先保持纸面中的S下面朝前。横排四格围成立方体的一圈，从S向左逐格追踪，依次到左面、背面、右面的T。D接在背面纸格下方，折成底面。

此时，D①的左上角落在右后下顶点，右下角落在左前下顶点。再从正面看整体逆时针转90度，这两个端点分别移到右后上顶点、右前下顶点，正好得到目标右面的“后上—前下”对角线。

③的D面虽然也落在底面，但它连接的是另一对角点。经过相同旋转后，得到“前上—后下”对角线，无法与目标重合。这一复核同时说明：只核对面的位置，不能区分①与③。

②也可从纸格连接直接复核：以其S面朝前、直径仍朝纸面上方为起点，沿折痕追踪，T落在底面。再把整个正方体绕前后方向转180度，使半圆直径向下，T便转到顶面，其尖端指向左侧，符合左块。

**逐项判断**

选项	判断及原因
A．①和②	正确：①对应右块，②对应左块
B．③和④	错误：③的对角线端点不符；④的图案面位置不符
C．①和④	错误：①成立，但④无法对应左块
D．②和③	错误：②成立，但③无法对应右块

**可迁移的检查顺序**

1. 用半圆直径、箭头等确定定位面的方向。 2. 将整个正方体转到目标姿态，同时更新各面的位置和图案方向。 3. 检查相邻面类别，排除图案类型不符的候选。 4. 沿公共边追踪端点，并核对黑色区域。 5. 分别验证组合立体的各组成块，最后检查选项组合。

还要区分“当前看得见的面”“组合体外表面”和“内部接触面”。隐藏在观察方向背后的面仍可能属于外表面；两块贴合的接触面则不属于组合体外表面。

以下五道独立原创练习均为教学模拟，完整条件见各题文字和表格，无需另配图。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】一张正方体展开纸模由六个等大的正方形组成，位置如下表。“—”表示没有纸格，字母表示不同面。沿公共边折成立方体，字母所在面均朝外。可以任意旋转整个正方体。下列哪一组无法将指定的两个面分别摆成前面和顶面？

行与列	第1列	第2列	第3列	第4列
第1行	—	U	—	—
第2行	L	F	R	B
第3行	—	D	—	—

A．L面作为前面，U面作为顶面

B．F面作为前面，D面作为顶面

C．L面作为前面，R面作为顶面

D．B面作为前面，U面作为顶面

查看答案与解析

答案：C

前面与顶面必须共用一条棱。横排的L、F、R、B折成围绕立方体的一圈，其中L与R相对，F与B相对；U与D构成另一对相对面。因此C不能实现。A中的L与U、B中的F与D、D中的B与U均相邻，都能通过整体旋转成为指定的前面和顶面。独立交叉核验：固定F在前时，L在左、R在右、B在后、U在上、D在下；逐项检查仍只有C使用了相对面，答案唯一。

迁移维度：辨认立体相邻面与相对面，理解整体旋转不能改变相对关系。

原创迁移练习2

【教学模拟】六个等大的纸格按下表连接，“—”表示没有纸格。仅U面画有一支箭头，箭尾在该纸格左下角，箭头指向该纸格右上角；这里的左右上下均按展开纸模阅读。把纸模折成立方体，图案朝外，并固定F为前面、F在纸模中的上边为立体前面的上边。立体顶面的四个角称为前左、前右、后左、后右，其中左右按正对F面的观察者方向确定。U面箭头折叠后从哪个角指向哪个角？

行与列	第1列	第2列	第3列	第4列
第1行	—	—	—	U
第2行	L	F	R	B
第3行	—	D	—	—

A．从前左角指向后右角

B．从后右角指向前左角

C．从后左角指向前右角

D．从前右角指向后左角

查看答案与解析

答案：B

固定F在前，沿F、R、B依次折叠，R成为右面，B成为背面，接在B上方的U成为顶面。U的下边与B的上边相接，成为顶面的后边；B纸面左侧对应立体右侧，所以U的左下角成为后右角，其对角的右上角成为前左角。因此选B。独立交叉核验：U纸格的向右方向折叠后指向立体左侧，纸格的向上方向折叠后指向立体前方。箭头从左下到右上，合起来就是从后右到前左。A方向完全相反，C、D连接另一条对角线，均不成立。

迁移维度：沿背面连接路径追踪顶面图案方向，同时确定箭头起点和终点。

原创迁移练习3

【教学模拟】六个等大的纸格按下表连接，“—”表示没有纸格。U纸格的右上角有一个红点，所有“左上、右上、左下、右下”均以展开纸模为准。把纸模折成立方体，令F为前面，F在纸模中的上边仍为立体前面的上边。下列哪个纸格角点会与红点重合于同一个立体顶点？

行与列	第1列	第2列	第3列	第4列
第1行	—	U	—	—
第2行	L	F	R	B
第3行	—	D	—	—

A．F纸格的右上角

B．L纸格的左上角

C．B纸格的左上角

D．D纸格的右下角

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答案：C

U的下边与F的上边相接，成为顶面的前边，因此U的上边位于立体后方。U右上角的红点落在后上右顶点。B折成背面后，纸面左侧对应立体右侧，所以B左上角也在后上右顶点，选C。独立交叉核验：该顶点由U、R、B三个面相交形成，对应U右上角、R右上角和B左上角。A位于前上右顶点，B位于后上左顶点，D位于后下右顶点，均与红点不同，答案唯一。

迁移维度：追踪三个面共有的立体顶点，精确区分同一面的不同角点。

原创迁移练习4

【教学模拟】用两张完全相同的纸模分别折成正方体，图案朝外。每张纸模的位置及图案如下表，“—”表示没有纸格。将两块正方体左右并排、整面贴合，组成一个长方体；两块的F面都朝向同一前方，且半圆直径都位于各自前面的下边。接触面不计入长方体外表面，其余面均计入，包括从当前观察方向看不到的背面、底面。长方体外表面共有多少个带图案的单位正方形面？

行与列	第1列	第2列	第3列	第4列
第1行	—	U：一支朝纸面上方的箭头	—	—
第2行	L：一颗黑色五角星	F：直径在下边的黑色半圆	R：空白	B：空白
第3行	—	D：空白	—	—

A．4个

B．5个

C．6个

D．8个

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答案：B

每块有U、L、F三个图案面，两块合计3 × 2 = 6个。F朝前且半圆直径向下，固定了两块的姿态。接触面为左块的R面和右块的L面，其中R为空白，L有五角星，所以只隐藏一个图案面。外表面带图案的单位面数为6 - 1 = 5个，选B。独立按图案清点：外露半圆面2个、箭头面2个、五角星面1个，共2 + 2 + 1 = 5个。再核对总量，组合体外表面有6 × 2 - 2 = 10个单位面，其中图案面5个、空白面5个。A误将两个接触面都作为图案面扣除；C没有扣除内部五角星面；D超过两块纸模原有的图案面总数。

迁移维度：区分外表面、观察可见面和内部接触面，结合确定姿态完成图案面计数。

原创迁移练习5

【教学模拟】六个等大的纸格按下表连接，“—”表示没有纸格。F面画黑色半圆，直径在纸格下边；U面箭头从纸格左边中点指向右边中点；R面箭头从纸格下边中点指向上边中点，其余面空白。折成立方体且图案朝外，再整体转动，使F面正对观察者、半圆直径位于F面的右边。以下哪项正确？“向左、向右、向上”均按观察者方向理解，“向后”表示远离前面。

行与列	第1列	第2列	第3列	第4列
第1行	—	U	—	—
第2行	L	F	R	B
第3行	—	D	—	—

A．顶面箭头向左，左面箭头向上

B．顶面箭头向右，左面箭头向上

C．顶面箭头向左，右面箭头向上

D．顶面箭头向后，左面箭头向上

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答案：A

先令F朝前、半圆直径向下，得到U在顶面且箭头向右，R在右面且箭头向上。从正面看整体逆时针转90度，半圆直径由下边转到右边。原R面变成顶面，其箭头由向上变成向左；原U面变成左面，其箭头由向右变成向上。因此选A。独立交叉核验：这次旋转将原右方向统一映射为上方向、原上方向统一映射为左方向，后方向保持不变。对面的所在方向和箭头方向同时应用这一映射，仍得到顶面向左、左面向上。B反转了顶面箭头；C把有箭头的左面误置于右面，实际右面是原D空白面；D的向后也不符合方向映射。

迁移维度：利用半圆确定整体旋转，并同步追踪图案面位置与箭头方向。