立体拼合：用灰块定位、空间占位验证｜2025云南省考第66题

完整题面

66．左下图为 15 个白色和 3 个灰色正方体组合而成的多面体，其可以由以下 4 项中除哪项外的 3 个小多 面体组合而成：

=== PDF PAGE 12 === 好风凭借力 送我上青云 12

原卷页图：核对图表与选项

第66题选D。目标立体可以由A、B、C三件拼成，题目问的是应排除哪一件，因此选择D。

这道题的关键，是把“看起来能接上”推进到三个可以检查的条件：数量相等、颜色对应、空间位置恰好覆盖。

题干提供了哪些约束

目标立体由15个白色小正方体和3个灰色小正方体组成，总计18个。选出的三件只能整体移动、旋转，不能拆开、改变颜色，也不能让两个小方块占据同一位置。

原图中四件备选拼块都带有灰块。灰块可以帮助定位，但不能脱离周围白块单独考虑：一旦某件拼块的灰块位置确定，与它相连的白块也必须一起落到相应位置。

还要注意遮挡。立体图中没有画出某个面的完整轮廓，不代表那里一定没有方块；正面看着接上，也不代表后方没有重叠。题干明确给出的18块，是检查读图结果的重要依据。

首选解法：先对灰块，再核查整件占位

第一步，保留目标立体的朝向，找出三个灰块的位置及其周围的台阶、凹口和白块连接关系。不要只记灰块的高低，还应观察它的前后关系。

第二步，以B作为定位起点。B可以保持图示的相对朝向放入目标；定位时要让它的灰块及相连白块同时吻合，不能只把灰色面贴到一个看似相近的位置。

第三步，旋转A、C，使两件的突出部分、转折和层高分别对应剩余空间。核对原图可见，A、C需要调整朝向，三件合在一起能够恢复目标立体。

第四步，检查拼合结果：外轮廓相符，三个灰块分别落在目标的灰色位置，白块不侵占灰色位置，三件之间没有重复占位，目标中也没有留下未填的方块位置。A、B、C满足这些要求。

这一步最容易漏掉的是“整件检查”。某件的灰块对准了，却有一个白块伸出了目标，仍然不能算成功。

独立交叉解法：从目标反向检查三组占位

正向拼合是在问“这件能放在哪里”；反向检查则是在问“目标中的这些位置，能否完整交给同一件”。两种方向可以互相纠错。

把目标中的每个小方块位置看作一个格位。若一组拼合成立，就必须能够把这18个格位划成三组，并同时满足：

1. 每组的形状，都与对应拼块经过旋转后的形状一致。 2. 每组的灰白位置，都与对应拼块一致。 3. 三组两两不重叠。 4. 三组的并集正好是整个目标。

按这一标准反查，A、B、C能够分别对应目标中的三部分；反向拆开后，各部分的连接关系和灰白位置仍与相应拼块一致。这就排除了只看外轮廓造成的误判。

将D加入候选组三件时，另外两件只能从A、B、C中选取。需要检查的是A+B+D、A+C+D、B+C+D，而不是把D随意试放一次。与原图目标逐格比对，这三组均不能同时满足形状覆盖、颜色对应和不重叠要求。

这里的“逐格检查”也给出了严格复核的方法：立方体只有24种不同的空间旋转朝向，可以按“上面朝向×正面朝向”系统检查。翻转成镜像不属于旋转，不能作为额外朝向使用。

A—D逐项判断

选项	判断	核查要点
A	保留	需要旋转；调整后，其整体连接关系能够对应目标的一部分，并与B、C衔接。
B	保留	可以保持图示相对朝向作为定位起点；应连同灰块周围的白块一起检查。
C	保留	需要旋转；与A、B共同覆盖剩余位置，颜色也相符。
D	排除，答案	不能与另外两件共同完成目标的全部占位及颜色约束。

D的错误不能简化为“图示朝向放不进去”。真正需要排除的是它经过合法旋转后参与完整拼合的可能性。反过来，A、B、C能够拼成目标，也不能只靠“三个灰块都找到了位置”来证明，仍须检查全部白块。

常见错因与迁移方法

**把选非题做成选是题。** 找到A、B、C可用后，还要回到问法，选出被排除的D。

**只数方块，不查占位。** 数量相等是必要条件，但同样数量的方块可以组成不同形状。

**只匹配颜色，不检查整件。** 灰块是定位标记；灰块周围的白块才会进一步限制方向。

**把遮挡当作空缺。** 二维画面中的空白，必须结合棱线和前后关系判断。

**把翻面当作旋转。** 平面截图里的镜像形状，未必能通过三维旋转得到。

迁移到其他拼合题时，可以按“数量初筛—颜色定位—整件旋转—检查重叠—检查遗漏”的顺序处理。最后再做一次反向拆分：每个目标格位归谁、每件是否保持原形、颜色是否一致。这样，拼合结论才有完整的检查链。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】每个整数坐标(x,y,z)表示以该点为左下后角的一个单位小正方体。目标是一根长条，占据全部位置(i,0,0)，其中i为0至17的整数；灰块位于(4,0,0)、(10,0,0)、(17,0,0)，其余均为白块。现有以下四件长条拼块，每件的位置均以自身局部坐标表示。要求选其中三件，允许整体旋转、平移，不允许拆分、重叠或改变颜色，拼成目标。应排除哪件？

A．占据(i,0,0)，i=0至4；只有(4,0,0)为灰块。

B．占据(i,0,0)，i=0至5；只有(5,0,0)为灰块。

C．占据(i,0,0)，i=0至6；只有(6,0,0)为灰块。

D．占据(i,0,0)，i=0至7；只有(7,0,0)为灰块。

查看答案与解析

答案：D

四件分别含5、6、7、8块。排除A、B、C时，所选三件总数分别为21、20、19；只有排除D时总数为18。再检查存在性：A不平移，B沿x轴平移5，C沿x轴平移11，恰好依次覆盖0至4、5至10、11至17，灰块分别落在4、10、17，完全吻合。因此唯一答案为D。数量筛选与实际颜色拼合两次检查一致。

迁移维度：数量守恒初筛，并用明确位置验证必要条件确实能够实现。

原创迁移练习2

【教学模拟】每个整数坐标代表一个单位小正方体的位置。目标占据(x,y,0)，其中x∈{0,1,2}、y∈{0,1}，共6块；只有(0,0,0)和(2,1,0)为灰块，其余为白块。下列每件拼块均含4块，括号中已列出全部位置。允许整体旋转、平移，要求拼块的每个方块都进入目标且颜色逐一相符。哪件能够放入？

A．位置：(0,0,0)、(1,0,0)、(2,0,0)、(3,0,0)；灰块为(0,0,0)、(3,0,0)，其余为白块。

B．位置：(0,0,0)、(1,0,0)、(2,0,0)、(2,1,0)；灰块为(0,0,0)、(2,1,0)，其余为白块。

C．位置：(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(1,1,0)；灰块为(0,0,0)、(1,1,0)，其余为白块。

D．位置：(0,0,0)、(1,0,0)、(2,0,0)、(1,1,0)；灰块为(0,0,0)、(2,0,0)，其余为白块。

查看答案与解析

答案：B

目标两灰块的中心距离平方为2²+1²=5。旋转和平移不改变两点距离。A、B、C、D两灰块的距离平方分别为9、5、2、4，因此只有B通过颜色距离约束。直接检查B：它的四个坐标均在目标范围内，两灰块与目标灰块完全重合，另外两块对应白块，故确实能够放入。距离不变量与直接占位检查均支持B。

迁移维度：利用灰块之间的距离不变量筛除不可能的旋转方案。

原创迁移练习3

【教学模拟】坐标表示单位小正方体的位置。原拼块的全部位置为：(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,2,0)、(0,0,1)、(0,0,2)、(0,0,3)。其中只有(0,0,0)为灰块，其余为白块，即从灰块沿三个相互垂直的方向分别伸出长1、2、3块的直臂。只允许整体旋转和平移，不允许镜像反射。以下哪件不能由原拼块得到？各项均只有原点处为灰块。

A．全部位置：(0,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(0,0,2)、(1,0,0)、(2,0,0)、(3,0,0)。

B．全部位置：(0,0,0)、(-1,0,0)、(0,-1,0)、(0,-2,0)、(0,0,1)、(0,0,2)、(0,0,3)。

C．全部位置：(0,0,0)、(0,1,0)、(1,0,0)、(2,0,0)、(0,0,1)、(0,0,2)、(0,0,3)。

D．全部位置：(0,0,0)、(1,0,0)、(0,0,-1)、(0,0,-2)、(0,1,0)、(0,2,0)、(0,3,0)。

查看答案与解析

答案：C

灰块唯一，且三条臂长度不同，因此长1、2、3的臂必须分别对应，不能互换身份。原拼块三条臂按长度排序的方向为(+x,+y,+z)，满足前两方向的叉积等于第三方向；空间旋转保持这一取向关系。A的方向为(+y,+z,+x)，B为(-x,-y,+z)，D为(+x,-z,+y)，均保持该关系。C为(+y,+x,+z)，前两方向的叉积是-z，与第三方向相反，所以它是镜像，不能仅靠旋转得到。另行验证：A可通过绕(1,1,1)方向轴旋转120度实现相应循环；B可绕z轴旋转180度；D可绕x轴旋转90度。只有C不成立。

迁移维度：用不同长度的空间直臂区分旋转与镜像。

原创迁移练习4

【教学模拟】坐标表示单位小正方体的位置。目标为2×2×2实心立方体，占据全部(x,y,z)，其中x、y、z均取0或1。只有(0,0,0)为灰块，其余均为白块。已经固定放入一件拼块，占据(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，颜色与目标相符，且不得移动。下列各项均为全白拼块，允许整体旋转、平移。哪一件能够恰好填满剩余空间？

A．全部位置：(0,0,0)、(1,0,0)、(2,0,0)、(3,0,0)。

B．全部位置：(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(1,1,0)。

C．全部位置：(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(1,1,1)。

D．全部位置：(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)。

查看答案与解析

答案：D

逐格求差，剩余位置为(1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,1)。其中(1,1,1)与另外三块分别共面相邻，另外三块之间互不共面相邻，形成一个三向直角拐角。只有D具有这种连接关系。独立构造可用坐标变换(x,y,z)→(1-y,1-x,1-z)：它是一次合法旋转再平移，将D的四块依次送到上述四个剩余位置。A为直线，B为平面方环，C为四块组成的折线，均没有一块同时与另外三块共面相邻，因此不能填满。

迁移维度：先求剩余格位，再用共面相邻关系和合法旋转验证补块。

原创迁移练习5

【教学模拟】每个坐标表示一个单位小正方体的位置。目标为3×3×1薄板，占据全部(x,y,0)，其中x、y均取0、1、2；灰块只有(0,1,0)、(1,2,0)，其余为白块。以下四件拼块各含3块，要求选其中三件拼成目标，允许整体旋转、平移，不得拆分、重叠或改变颜色。应排除哪件？

A．直条，全部位置：(0,0,0)、(1,0,0)、(2,0,0)，三块均为白色。

B．直角形，全部位置：(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)，只有直角顶点(0,0,0)为灰色。

C．直角形，全部位置：(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)，只有端点(1,0,0)为灰色。

D．直条，全部位置：(0,0,0)、(1,0,0)、(2,0,0)，只有中间位置(1,0,0)为灰色。

查看答案与解析

答案：D

先证明A、B、C确实可拼：A放在y=0的一整行；B放在(0,1,0)、(1,1,0)、(0,2,0)，灰块位于(0,1,0)；C放在(2,2,0)、(1,2,0)、(2,1,0)，灰块位于(1,2,0)。三件互不重叠，覆盖全部9格，颜色吻合。再交叉排除其他组合：若排除A，B+C+D共有3个灰块，与目标2个灰块矛盾；若排除B或C，所选三件包含两根长度为3的直条和一个直角形。在3×3薄板内，每根直条必占满一整行或一整列；两条异向直条必相交，两条同向且不重叠则剩下另一整行或整列，无法由直角形填满。因此另外三种排除方式均失败，唯一应排除D。

迁移维度：综合颜色守恒、全局占位约束和明确构造，验证三件拼合的唯一选择。