数奇点，判笔画：线网图形的分组方法｜2025云南省考第65题

完整题面

65．把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：

A．①③④，②⑤⑥ B．①②④，③⑤⑥ C．①②⑤，③④⑥ D．①④⑥，②③⑤

原卷页图：核对图表与选项

答案为B：①②④是一组，均最少需要两笔；③⑤⑥是一组，均可一笔画成。

这里的“一笔”，指笔尖连续移动，不重复描画任何线段。经过同一个交点多次可以，沿已经画过的线段折返则不可以。判断时只统计六个小方框内部的题干图形，外围用于排版的方框不属于待画线条。

从原图找到依据

六个图形都由相连的直线构成，包含封闭区域、斜线及多处交会。单纯数三角形、数交点，容易受到局部造型干扰；把图形看成线网，检查每个节点接出了多少条线，更能稳定地区分两组。

节点包括线段端点、折点和交会点。一个节点接出的线段条数，称为它的“度数”；度数为奇数的节点，简称奇点。

读图时要把握三个细节：

- 普通端点只有一个方向有线，度数为1，是奇点。 - 普通折角接出两条线，度数为2；线段改变方向，并不会自动产生奇点。 - 十字交会一般接出四条线，度数为4；三岔口接出三条线，五岔口接出五条线，它们都是奇点。

本题没有跨线桥或“交叉但不连接”的标记，线条交会处按连通节点处理。

首选解法：先确认连通，再数奇点

对于至少含一条边的连通线网，最少笔画数有以下对应关系：

奇点数	最少笔画数	画法特征
0	1	可以从同一点出发并回到该点
2	1	从一个奇点出发，在另一个奇点结束
4	2	至少需要两对起止位置
6	3	至少需要三对起止位置

概括起来：有奇点时，最少笔画数为奇点数除以2；没有奇点时，仍需一笔画完整个连通线网。

为什么看奇偶？一笔经过某个中途节点时，进入与离开必须配对，消耗的线段数为偶数。某节点若接出奇数条线，就必须至少承担一次起笔或收笔。每笔只有两个起止位置，因此四个奇点至少需要两笔。

逐图检查，六个图形自身均连通，结果如下：

图形	奇点数	最少笔画数	分组
①	4	2	第一组
②	4	2	第一组
③	2	1	第二组
④	4	2	第一组
⑤	2	1	第二组
⑥	2	1	第二组

可以选两幅代表图复核读图过程。

①的四个奇点分别位于：内部竖线与最上方横线的接合处、上方内横线与右侧竖线的接合处、下方内横线与左侧竖线的接合处，以及右下角。右下角同时接有底边、右边和斜线，度数为3，不能当作普通折角略过。其内部竖线下端与斜线、横线汇合的位置则接出四条线，是偶点。

③尤其适合检验是否真正理解“度数”。左侧中部的交会点接出向上、向下、向右及两条向右斜线，共五条线，是度数为5的奇点；上边靠右、短竖线下接的位置是另一个奇点。另一个内部竖线与上边、斜线汇合的位置接出四条线，属于偶点。因此③只有两个奇点，能够一笔画成。

独立交叉解法：直接构造③的一笔路线

不依赖“看起来像一笔画”，可以给③的节点临时命名，实际列出一条覆盖全部线段的路线。

沿上边从左到右，依次记为A、B、C、D：A、D为外轮廓的两个上角，B为较长内部竖线的上端，C为靠右短竖线的上端。右下角记为E，长竖线与底边相接的位置记为F，左下角记为G；左侧五岔口记为H；中间横线与长竖线的交点记为I；中间横线右端与短竖线相接的折点记为J。

一条可行路线是：

C→D→E→F→G→H→A→B→C→J→I→B→H→I→F→H。

检查相邻节点之间的线段：外轮廓、两条内部竖线、中间横线和两条斜线均恰好经过一次，起点是C，终点是H。这直接验证了③可一笔画成，也验证了其两个奇点的位置。

再用起止位置作反向检验：①②④各有四个奇点，一笔只有两个起止位置，必然无法完成；而连通线网的奇点配对定理保证它们两笔足够。③⑤⑥各有两个奇点，满足一笔画的条件。两种检查得到相同分组。

A—D逐项判断

选项	第一组笔画数	第二组笔画数	判断
A：①③④／②⑤⑥	2、1、2	2、1、1	两组内部都混入不同笔画数，排除
B：①②④／③⑤⑥	2、2、2	1、1、1	两组各自一致，正确
C：①②⑤／③④⑥	2、2、1	1、2、1	两组内部均不一致，排除
D：①④⑥／②③⑤	2、2、1	2、1、1	两组内部均不一致，排除

常见错因与迁移方法

第一，凭斜线方向或封闭区域数量分组。它们可以作为初步观察，但本题更稳定的共同特征是最少笔画数。

第二，把所有交点都算成奇点。交点是否为奇点取决于接出的线段数。③的五岔口是奇点，普通十字交点则是偶点。

第三，只找裸露端点，漏掉三岔口和五岔口。奇点未必位于图形边缘，①的右下角也因多接一条斜线而成为奇点。

第四，把所有图都套用“奇点数除以2”。零奇点的连通线网仍需一笔；如果线网不连通，则必须对每个含线段的连通部分分别计算，再把笔画数相加。

迁移到新题时，按“确认哪些线相连—标出奇点—检查连通部分—计算笔画数—对照选项”的顺序处理。参考解析给出的B与原图核验一致，但其中“多圆相切和相交的变形图”并不符合本页以直线构成的图形，应舍弃这段题型描述，保留经过验证的线网与笔画分析。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】一张连通线网有A、B、C、D、E、F六个节点，全部边为AB、BC、CA、CD、DE、EF、FC、BD、AE。每条边只连接名称中的两个节点，边的内部没有其他交接点，除此之外没有线条。要求每条边恰好描画一次，允许经过同一节点多次，允许抬笔，但不允许重复描边。最少需要几笔？

A．1笔

B．2笔

C．3笔

D．4笔

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答案：B

逐点统计度数：A为3，B为3，C为4，D为3，E为3，F为2。奇点为A、B、D、E，共4个。线网连通，最少笔画数为4÷2＝2，故选B。独立构造检验：第一笔可走A→B→C→A→E→F→C→D→B，第二笔走D→E。两笔共覆盖题设9条边，每条恰好一次；而4个奇点也排除了1笔完成的可能。

迁移维度：从完整边表恢复节点度数，并用实际路线核验最少笔画数。

原创迁移练习2

【教学模拟】某装饰线稿由三个互不相连的部分组成，全部节点和边如下：第一部分的节点为A、B、C、D、E，边为AB、BC、CA、AD、BE；第二部分的节点为F、G、H、I，边为FG、GH、HI、IF；第三部分的节点为J、K、L，边为JK、KL。各部分内部只在所列同名节点处相接，除此之外没有线条或交接点。每条边恰好描画一次，不允许重复描边，最少需要几笔？

A．2笔

B．3笔

C．4笔

D．5笔

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答案：C

第一部分中，A、B的度数均为3，D、E的度数均为1，C的度数为2，共4个奇点，需要2笔。第二部分是闭合四边形，0个奇点，需要1笔。第三部分为一条折线路径，2个奇点，需要1笔。三个部分互不相连，总数为2＋1＋1＝4笔，选C。独立构造：第一部分分别走D→A→C→B→A、B→E；第二部分走F→G→H→I→F；第三部分走J→K→L，共4笔。不能把全图6个奇点直接除以2得到3笔，因为零奇点的独立闭环还须单独画一笔。

迁移维度：处理多个连通部分，识别全图奇点总数不足以直接决定笔画数。

原创迁移练习3

【教学模拟】一张线稿由三角形闭环A—B—C—A和一条线段PQ构成。P在三角形内部，Q在外部，PQ只与边AB的内部相交一次，交点位置记为O；PQ不经过A、B、C，也不接触其他边。除此之外没有线条。现规定两种版本：甲版中O是连通节点，描画时可以在O转入另一条线；乙版中O是跨线桥，两条线在此不连通，也不能转入另一条线。每条线均须恰好描画一次，不得重复描边。甲、乙两版各自的最少笔画数依次是多少？

A．2笔、1笔

B．2笔、2笔

C．1笔、1笔

D．1笔、2笔

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答案：D

甲版中O接出OA、OB、OP、OQ四条线，度数为4；P、Q为两个度数为1的奇点，A、B、C均为偶点，整图连通，所以需要1笔。乙版中三角形与PQ互不连通：闭环需要1笔，线段需要1笔，共2笔，因此选D。独立路线检验：甲版可走P→O→A→C→B→O→Q；乙版可分别走A→B→C→A和P→Q。区别来自连通关系，而非把视觉上的交叉一律视为可转向的节点。

迁移维度：区分相交与连通，比较跨线桥规定对笔画数的影响。

原创迁移练习4

【教学模拟】一张连通线网有A、B、C、D、E、F六个节点，全部边为AE、EB、AC、AD、BC、BD、CF、FD，没有其他线条或节点，边的内部互不相接。现在必须在下列四种方案中选择一种，新增一条连接指定两节点的边；新边的内部不与原线网相接，所有原边均保留。新增后，要求整个线网能够一笔画完，且每条边恰好经过一次。应选择哪种方案？

A．新增AF

B．新增CE

C．新增AB

D．新增EF

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答案：C

原线网中A、B、C、D的度数均为3，E、F的度数均为2，共4个奇点。新增一条边只会改变其两个端点的奇偶性。新增AB使A、B由奇点变为偶点，只剩C、D两个奇点，可以一笔画完。新增AF或CE均使一个奇点变偶、一个偶点变奇，仍有4个奇点；新增EF使两个偶点变奇，得到6个奇点。因此只有C符合。独立构造：新增AB后可走C→A→E→B→A→D→B→C→F→D，9条边各经过一次，确能一笔完成。

迁移维度：利用增边只翻转两个端点奇偶性的性质，反向设计一笔画线网。

原创迁移练习5

【教学模拟】六张线网均已确认连通，每张至少含一条边，且恰有六个节点。下表列出了每张线网全部六个节点的度数，无其他节点。节点度数表示与该节点相接的边数。按“每条边恰好描画一次时的最少笔画数相同”分成两组，分类正确的是哪一项？

线网	节点1	节点2	节点3	节点4	节点5	节点6
Ⅰ	1	1	2	2	2	2
Ⅱ	3	3	2	2	2	2
Ⅲ	3	3	3	3	2	2
Ⅳ	4	2	2	2	2	2
Ⅴ	1	1	1	3	2	2
Ⅵ	4	3	3	2	1	1

A．ⅠⅢⅤ一组，ⅡⅣⅥ一组

B．ⅠⅡⅣ一组，ⅢⅤⅥ一组

C．ⅠⅣⅥ一组，ⅡⅢⅤ一组

D．ⅠⅡⅤ一组，ⅢⅣⅥ一组

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答案：B

六张线网的奇点数依次为2、2、4、0、4、4。由于各自均连通，最少笔画数依次为1、1、2、1、2、2，所以ⅠⅡⅣ为一组，ⅢⅤⅥ为一组，选B。逐项检查：A的两组笔画数分别为1、2、2和1、1、2；C分别为1、1、2和1、2、2；D分别为1、1、2和2、1、2，均混合了不同笔画数。独立复核数据可实现性：Ⅰ可由六节点路径实现；Ⅱ可由六节点环增加一条非相邻节点间的边实现；Ⅲ可由六节点环增加两条端点互不重合的弦实现；Ⅳ可由三角形与四边形共用一个节点实现；Ⅴ可由一棵有三个叶节点的六节点树实现；Ⅵ可用边12、13、14、15、23、24、36实现，度数恰为4、3、3、2、1、1。所有行的度数和均为偶数，且存在相应连通线网。

迁移维度：从度数表进行分类，掌握零奇点与两个奇点均对应一笔画的规则。