数完还要定位：内外圈增量与方向｜2025云南省考第64题

完整题面

64．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定规律性：

原卷页图：核对图表与选项

正确答案为D。关键在于连续完成两次筛选：先用黑白球的数量确定候选范围，再用内外圈的新增位置区分C、D。

题干依据：数量和位置分别提供了什么信息

原图分为两组，每组应有三幅图。逐幅清点，可得：

组别	图形次序	黑球数	白球数	黑球所在区域	白球所在区域
第一组	第一幅	1	2	内圈	外圈
第一组	第二幅	2	4	内圈	外圈
第一组	第三幅	3	6	内圈	外圈
第二组	第一幅	2	1	外圈	内圈
第二组	第二幅	4	2	外圈	内圈
第二组	待补图	应为6	应为3	外圈	内圈

第一组每步增加1个黑球、2个白球；第二组前两幅显示，每步增加2个黑球、1个白球。两组中，内圈都每步增加1球，外圈都每步增加2球，内外圈的颜色发生了交换。

但数量只能说明待补图应有6个黑球、3个白球。C、D都满足这一条件，所以还需要检查位置。

首选解法：追踪新增位置

观察第一组的内圈，黑球先占左上位置，再向右上增加，随后向右下增加，呈顺时针累积。外圈白球则沿逆时针方向连续扩展，每步增加2个。

这里的“累积”意味着旧球保留，只在相邻位置新增。判断方向时，应当找前后两幅之间多出的球。

再看第二组：

- 内圈白球从右下位置开始，第二幅新增左下位置。按顺时针继续增加，第三幅应新增左上位置，因此白球应占左上、左下、右下三个位置。 - 外圈黑球分成两段：上方一段和下方一段。两段各自沿逆时针方向增加1个黑球，合计每步增加2个。

具体到外圈，上方一段先从上边第二个位置扩展到左上角，下一步应转到左边靠上的位置；下方一段从左下角向下边第二个位置扩展，下一步应增加下边第三个位置。D同时满足两条增长路径。

独立交叉解法：把图形转换成位置表

为了核对方向判断，可以把每个方框看成4行4列的位置网格。中间的2行2列构成内圈，其余边缘位置构成外圈。行从上到下编号，列从左到右编号；“空”表示没有球。

第二组内圈白球的位置变化为：

- 第一幅：第3行第3列。 - 第二幅：保留原位，新增第3行第2列。 - 待补图：继续保留，新增第2行第2列。

第二组外圈的两条黑球增长路径分别为：

- 上方：第1行第2列 → 第1行第1列 → 第2行第1列。 - 下方：第4行第1列 → 第4行第2列 → 第4行第3列。

把两条路径和内圈白球合并，得到待补图的完整位置表：

位置	第1列	第2列	第3列	第4列
第1行	黑	黑	空	空
第2行	黑	白	空	空
第3行	空	白	白	空
第4行	黑	黑	黑	空

表内共有6个黑球、3个白球，且全部位置与D一致。这次核验把视觉方向转成了明确坐标，也再次确认了数量和位置能够同时成立。

A—D逐项判断

选项	数量核验	位置核验	判断
A	8个黑球、3个白球，黑球过多	无须继续比较即可排除	不符合
B	8个黑球、3个白球，黑球过多	无须继续比较即可排除	不符合
C	6个黑球、3个白球，数量符合	内圈白球占右上、左下、右下，新增位置错误；外圈黑球也未按两段各自逆时针延伸	不符合
D	6个黑球、3个白球，数量符合	内圈白球顺时针累积，外圈两段黑球分别逆时针延伸	符合

C是主要干扰项。它保留了正确的数量，却改变了球的位置。若仅凭“黑球每次增加2个、白球每次增加1个”作答，就无法在C、D之间完成选择。

常见错因与迁移方法

第一，只统计全部球的总数。两组的总球数都按3、6、9变化，但总数掩盖了颜色和内外圈的分工。遇到不同颜色、大小或形状的元素，先分别计数，再查看总数。

第二，把增加理解成整组移动。此题前一幅已有的球在后一幅中继续保留，发生变化的是新增位置。可以在心中把保留部分扣除，只比较新增球落在哪里。

第三，把外圈所有黑球看成一条连续增长带。第二组存在两个增长起点，每步应分别延长两段。若把“增加2个”误解为只从一端连续添加2个，就会得出错误位置。

第四，直接把某种颜色的规则搬到另一组。两组黑白颜色交换后，保持稳定的是空间分工：内圈顺时针增加1个，外圈逆时针增加2个。应优先比较同一区域承担的变化。

可迁移的操作顺序是：分别计数，按区域分组，确认旧元素是否保留，标出新增位置，最后逐项核对。对于本题，数量负责缩小范围，增长方向负责完成选择。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】某双圈装置的内圈有10个位置，外圈有15个位置，每个位置最多放1枚标记。初始内圈有2枚黑色标记，外圈有3枚白色标记。每完成一轮，内圈新增2枚黑色标记，外圈新增3枚白色标记，已有标记全部保留，新增标记只能放在空位。只有两圈都能完成规定的新增操作，该轮才算完成。从初始状态出发，最多可以完整执行多少轮？

A．3轮

B．4轮

C．5轮

D．6轮

查看答案与解析

答案：B

内圈剩余10－2＝8个位置，每轮新增2枚，最多支持8÷2＝4轮；外圈剩余15－3＝12个位置，每轮新增3枚，最多支持12÷3＝4轮。第4轮结束时，两圈分别有10枚、15枚标记，恰好放满；第5轮将分别需要12个、18个位置，无法完成。因此答案为B。独立核验：执行3轮后尚分别空2位、3位，足够再执行1轮，说明3轮不是最大值；5轮及6轮均超过容量。

迁移维度：数量增量与容量约束：判断累积规律能够执行到哪一步

原创迁移练习2

【教学模拟】一个装置有外圈8个位置、内圈6个位置，两圈均从正上方开始按顺时针方向分别编号为1—8、1—6。编号集合表示全部已占用位置，集合内顺序不影响含义。初始外圈黑色标记占据{1，5}，形成两条独立增长链；内圈白色标记占据{2}。每轮更新均保留全部旧标记：外圈两条链分别从各自末端沿逆时针方向新增1枚黑色标记，内圈从增长链末端沿顺时针方向新增1枚白色标记。编号越界时循环衔接，前两轮不会重叠。完成两轮后，哪项记录正确？

A．外圈黑色位置为{1，3，4，5，7，8}；内圈白色位置为{2，5，6}

B．外圈黑色位置为{1，2，3，5，6，7}；内圈白色位置为{2，3，4}

C．外圈黑色位置为{1，3，4，5，7，8}；内圈白色位置为{2，3，4}

D．外圈黑色位置为{1，3，4，5，7，8}；内圈白色位置为{4}

查看答案与解析

答案：C

外圈从1出发的链依次新增8、7，从5出发的链依次新增4、3，因此最终黑色位置为{1，3，4，5，7，8}。内圈从2顺时针新增3、4，最终白色位置为{2，3，4}，选C。A把内圈的增长方向反了；B把外圈的增长方向反了；D只保留末端位置，违反旧标记全部保留的条件。独立核验：外圈应有2＋2×2＝6枚黑色标记，内圈应有1＋2＝3枚白色标记；C同时满足数量和两条增长路径。

迁移维度：双链累积与循环编号：先核数量，再核新增位置

原创迁移练习3

【教学模拟】某设备外圈有12个位置，内圈有8个位置，各圈均按顺时针方向从1开始编号，编号越界时循环衔接。外圈初始在2、8号位置各有1枚黑色标记，形成两条链；每轮每条链都从末端逆时针新增1枚黑色标记。内圈初始在4号位置有1枚白色标记，每轮从末端顺时针新增1枚白色标记。所有旧标记均保留。记录表如下，哪一项所指记录需要修正？

完成轮数	外圈全部黑色位置	内圈全部白色位置
0	{2，8}	{4}
1	{1，2，7，8}	{4，5}
2	{1，2，6，7，8，12}	{4，5，6}
3	{1，2，5，6，7，8，11，12}	{4，5，6，8}

A．第1轮的外圈记录

B．第2轮的内圈记录

C．第3轮的外圈记录

D．第3轮的内圈记录

查看答案与解析

答案：D

内圈从4顺时针逐轮新增5、6、7，第3轮应记录为{4，5，6，7}，表中的8应改为7，选D。外圈两条链的新增位置分别为1、12、11以及7、6、5，表中各轮外圈记录均正确；第2轮内圈{4，5，6}也正确。独立核验：错误记录仍有4枚白色标记，数量符合1＋3＝4，因此仅计数无法发现错误；对照上一轮，第3轮应紧接6新增7，能够定位唯一错误。

迁移维度：记录审计：识别数量正确但增长位置错误的状态

原创迁移练习4

【教学模拟】某装置外圈有10个位置，内圈有6个位置，两圈均按顺时针方向从1开始编号，编号越界时循环衔接。初始外圈黑色标记占据3、8号位置，形成两条增长链；内圈白色标记占据5号位置。每轮保留旧标记，外圈两条链各从末端顺时针新增1枚黑色标记，内圈从末端逆时针新增1枚白色标记。完成两轮后的记录是：外圈黑色位置{3，4，5，8，9，10}，内圈白色位置{3，4，5}。现在将该记录回退一轮，只撤销第2轮新增的标记。回退后的记录应是哪项？

A．外圈{3，4，8，9}；内圈{4，5}

B．外圈{4，5，9，10}；内圈{3，4}

C．外圈{3，5，8，10}；内圈{3，5}

D．外圈{3，4，8，9}；内圈{5，6}

查看答案与解析

答案：A

外圈两条链分别为3→4→5和8→9→10，第2轮新增的是5、10，撤销后剩{3，4，8，9}。内圈增长链为5→4→3，第2轮新增3，撤销后剩{4，5}，选A。B删除了初始标记；C删除了第1轮的标记；D给出的内圈状态不在规定增长路径上。独立核验：从A再执行一轮，外圈新增5、10，内圈新增3，恰好恢复题设终态；其他选项均不能按规则恢复。

迁移维度：逆向回溯：根据增长端点撤销最后一轮，并正向复核

原创迁移练习5

【教学模拟】一个圆环装置的外圈有12个位置，内圈有8个位置，两圈均按顺时针方向从1开始编号，编号越界时循环衔接。外圈初始在1、7号位置各有1枚黑色标记，分别作为甲链、乙链的起点；内圈初始在2号位置有1枚白色标记。所有旧标记始终保留。每轮外圈两条链均沿逆时针方向从各自末端连续新增：奇数轮甲链新增1枚、乙链新增2枚，偶数轮甲链新增2枚、乙链新增1枚。内圈每轮从末端顺时针新增1枚白色标记。前3轮不会重叠。完成第3轮后，哪项统计记录正确？

选项	外圈黑色标记数	内圈白色标记数	外圈唯一空位的编号
A	11	4	4
B	11	4	8
C	11	4	10
D	11	4	2

A．统计记录A

B．统计记录B

C．统计记录C

D．统计记录D

查看答案与解析

答案：B

每轮外圈总共新增3枚黑色标记，3轮后共有2＋3×3＝11枚；内圈共有1＋3＝4枚白色标记。但四项数量相同，必须追踪两条链。甲链从1出发，第1轮新增12，第2轮新增11、10，第3轮新增9，最终为{1，9，10，11，12}。乙链从7出发，第1轮新增6、5，第2轮新增4，第3轮新增3、2，最终为{2，3，4，5，6，7}。合并后外圈仅8号为空，选B。A中的4、C中的10、D中的2均已有黑色标记。独立核验：两链分别有5枚、6枚，互不重叠，共11枚；其并集恰好是1—12中除8以外的全部编号，内圈位置为{2，3，4，5}，与4枚的统计一致。

迁移维度：非等速双链增长：总增量相同时仍须分别追踪各链端点