曲直交点怎么数：比较相交部位与直线方向｜2025云南省考第62题

完整题面

62．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定规律性：

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原卷页图：核对图表与选项

结论：倾向D，同时保留A的竞争规律

依据随文展示的原卷图形，D符合“曲线端点相接、曲线中段交叉”交替出现的规律，可作为首选答案。但A符合另一条完整的交替规律：与曲线相交的直线依次属于“水平或竖直、倾斜”两类。因此，本题应标注为**参考倾向D，存在A的合理竞争解释**，不能把D写成已排除所有竞争规律的唯一结论。

本次核验覆盖所附第10、11页。第62题的题干图形及四个选项均完整位于第10页；第11页从第63题开始，仅作为相邻页边界核对，不纳入本篇解析。

先统一计数口径

这里将曲线与直线具有公共点的情形统称为“曲直交点”，包括端点接触。进一步讨论相交方式时，再区分端点接触与中段穿越。若只把穿越算作相交，会漏掉本题需要比较的端点接触。

计数时应注意：外侧题格和分隔框不属于内部图形；直线之间的交点不计入曲直交点；一条连续弧线即使发生弯折方向变化，也不因此拆成多条曲线。

将题干五幅图从左到右编号，可提取以下信息：

位置	曲直交点数	交点位于曲线何处	与曲线相交的直线方向
第1幅	1	端点	竖直
第2幅	1	中段	倾斜
第3幅	1	端点	水平
第4幅	1	中段	倾斜
第5幅	1	端点	水平

这张表说明，交点数量是共同条件，却不能单独决定答案。下一步必须明确：继续比较的是曲线的相交部位，还是参与相交的直线方向。

首选解法：数量筛选，再比较相交部位

第一步，题干每幅图均有一个曲直交点。选项B的弧线两端分别接在同一条底部横线上，形成两个不同的公共点，先排除B。

第二步，只记录交点在曲线上的位置，题干得到：

端点 → 中段 → 端点 → 中段 → 端点。

若延续这一交替结构，第六幅应当由曲线中段与直线穿越相交。A和C均为曲线端点接触直线，D则由竖直线穿过弧线中段，因此首选D。

这里的“中段”表示曲线内部，**不要求恰好落在曲线长度的中点**。同样，本规律比较的是曲线端点或内部，不能擅自增加“直线端点也必须满足某种条件”。

独立交叉检验：改看直线方向，会得到A

暂时放下端点与中段，只记录相交直线的方向。将水平和竖直归为“非倾斜”，题干得到：

非倾斜 → 倾斜 → 非倾斜 → 倾斜 → 非倾斜。

按这一规律，第六幅应当让曲线与倾斜直线相交。A满足；C、D的相关直线均为竖直线；B还违反一个曲直交点的共同条件。因此，这条规则指向A。

这是需要保留的竞争解释。“第1幅是竖直，第3、5幅是水平”并不能直接推翻它，因为该解释从一开始就使用“非倾斜／倾斜”二分类，并未要求竖直与水平完全相同。

检验项目	相交部位规律	直线方向规律
共同条件	每幅一个曲直交点	每幅一个曲直交点
交替特征	曲线端点／曲线内部	非倾斜／倾斜
是否覆盖五幅题干	是	是
对应选项	D	A

倾向D的理由是：端点与内部直接描述曲线如何参与连接，且在整体旋转后仍保持不变，观察口径较稳定。但这种稳定性只是选择首选解释的理由，不能证明方向规律无效，更不能据此声称原图已经唯一确定D。

A—D逐项判断

选项	原图核验结果	判断
A	一个曲直交点；交点在曲线端点；相关直线倾斜	不符合相交部位交替，但符合直线方向交替，是合理竞争答案
B	弧线两端分别接触底部横线，共两个曲直交点	不满足题干的共同数量条件，两种解释均排除
C	一个曲直交点；交点在曲线端点；相关直线竖直	既未补上“中段”，也未补上“倾斜”，两种解释均排除
D	一个曲直交点；竖直线穿过曲线中段	符合首选的相交部位交替；不符合直线方向交替，故应标注为倾向答案

常见错因与迁移方法

**只数交点，筛选就停。** 一个曲直交点只能排除B，不能在A、C、D中直接确定答案。数量相同后，还应观察参与相交的部位、方向及接触方式。

**把端点接触漏掉。** 本题需要先统一“有公共点就计数”的口径，再细分接触与穿越。不能在某幅图中计入接触，在另一幅图中又只计穿越。

**把曲线端点与直线端点混为一谈。** 本题首选规律追踪的是曲线。迁移到其他题时，应分别检查交点是否位于曲线端点、直线端点，以及两者是否都继续延伸。

**找到一条规律，就宣布唯一。** 应把规则完整写出，逐幅检验，再将四个选项全部代入。本题换一个观察维度就能得到A，说明交叉检查确实影响结论。

可复用的步骤是：先统一交点计数口径，找共同数量条件；再分别建立相交部位、直线方向等特征序列；最后比较规则是否覆盖全部题干、是否引入例外、是否留下不同答案。若存在两条简洁且完整的竞争规则，应说明首选依据并保留争议。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】某图形序列采用明确规则：每幅图恰有一个曲直交点，交点在曲线上的部位按“端点、内部”交替出现。端点接触也计入曲直交点，外框不计。前五幅图的完整相关信息如下，未列出的线条均不与曲线接触。

图号	曲直交点数	交点在曲线上的部位	相关直线方向
1	1	端点	水平
2	1	内部，直线穿过曲线	竖直
3	1	端点	倾斜
4	1	内部，直线穿过曲线	水平
5	1	端点	竖直

以下哪一幅可以作为第六幅？各选项的描述均包含其全部曲直接触情况。

A．一条倾斜直线穿过一条曲线的内部，只有一个公共点。

B．一条横线分别接触一条弧线的两个端点，两个接触点不重合。

C．一条竖直线只接触一条曲线的一个端点。

D．一条弧线与一条横线分离，没有公共点。

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答案：A

第六幅必须同时满足交点数为1、交点位于曲线内部。A两项均满足。B有两个不同公共点；C虽只有一个交点，但位于曲线端点；D没有交点。交叉核验：所需部位为“内部”，先筛出A；再检查A的公共点数确为1。题干没有设定方向交替，不能把倾斜方向作为额外排除条件。

迁移维度：同时检验共同数量条件与部位交替，避免擅自引入方向规律。

原创迁移练习2

【教学模拟】在平面直角坐标系中，固定曲线为y=x×x，且只保留-2≤x≤2的部分。因此曲线端点为(-2，4)和(2，4)。现分别加入下面四条直线段。要求选出的线段与曲线恰有一个公共点，该点位于曲线内部和线段内部，并且线段在该处穿过曲线，而不是相切。哪一条符合？所有坐标均为教学模拟数据。

A．水平线段：y=1，-2≤x≤2。

B．水平线段：y=0，-2≤x≤2。

C．竖直线段：x=0，-1≤y≤5。

D．竖直线段：x=2，-1≤y≤5。

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答案：C

A满足x×x=1，得到x=-1和1，有两个公共点，排除。B仅在(0，0)相交，但整段曲线均位于y≥0一侧，属于相切，不是穿越，排除。C只有公共点(0，0)，该点既不是曲线端点，也不是线段端点；竖直线穿过曲线，符合。D只有公共点(2，4)，但它是曲线端点，排除。交叉核验：A、B、C、D的公共点数依次为2、1、1、1；在后三项中，B被相切条件排除，D被端点条件排除，唯一剩下C。

迁移维度：用坐标独立核验交点数量，区分端点接触、内部相切与内部穿越。

原创迁移练习3

【教学模拟】研究者只比较两条事先提出的图形序列规则。每幅图都恰有一个曲直交点，且只有一条曲线；端点接触计入交点。

规则甲：奇数位置的交点位于曲线端点，偶数位置位于曲线内部。 规则乙：奇数位置与曲线相交的直线为水平或竖直方向，偶数位置为倾斜方向。

已有三幅图的信息如下：

位置	交点在曲线上的部位	相关直线方向
1	端点	水平
2	内部	倾斜
3	端点	竖直

现在选择第四幅作为区分两条规则的新证据。以下各项均恰有一个曲直交点，哪项能使规则甲继续成立，同时使规则乙不成立？

A．交点位于曲线内部，相关直线倾斜。

B．交点位于曲线内部，相关直线竖直。

C．交点位于曲线端点，相关直线倾斜。

D．交点位于曲线端点，相关直线水平。

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答案：B

第四幅处于偶数位置。规则甲要求曲线内部相交，规则乙要求相关直线倾斜。要保留甲并否定乙，应选择“内部相交且直线非倾斜”，B符合。A同时符合两条规则，不能区分；C只符合乙；D两条均不符合。交叉核验：按“甲是否成立、乙是否成立”列出四项，A为是／是，B为是／否，C为否／是，D为否／否，目标组合唯一对应B。此结论只比较题目明确给出的两条规则。

迁移维度：通过有区分力的新证据检验竞争规律，区分共同支持与排他支持。

原创迁移练习4

【教学模拟】一个线条装置包含两条曲线C1、C2和三条直线段s、t、u。P、Q、R是三个不同的点，全部曲直接触情况如下，除此之外不存在任何曲线与直线段的公共点：

位置	接触情况
P	C1的内部穿过s的内部；C2的一个端点也接在s上的同一个P点
Q	C1的一个端点接触t
R	C2的内部穿过u的内部

规定“不同交点数”按位置去重；“曲线—直线段相交配对数”按不同的曲线与直线段组合计数；“纯内部交点数”只统计参与该点相交的所有曲线都以内部经过的交点，只要有一条参与曲线在该点终止，就不计入。

上述三个数量依次是多少？

A．4、4、2。

B．3、3、1。

C．3、4、2。

D．3、4、1。

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答案：D

不同交点只有P、Q、R，故为3。相交配对为C1—s、C2—s、C1—t、C2—u，共4组。纯内部交点只有R：P虽有C1内部经过，但C2在此终止，不符合“所有参与曲线均以内部经过”；Q也是曲线端点。因此结果为3、4、1，选D。A将P的两组相交误计为两个位置，并误计纯内部点；B漏掉P处的一组配对；C把有曲线端点参与的P也算作纯内部点。交叉核验：三个位置分别贡献的配对数为2、1、1，合计4；纯内部资格分别为否、否、是，合计1。

迁移维度：区分交点位置、相交配对和部位分类，处理多个接触重合的计数口径。

原创迁移练习5

【教学模拟】一个图形由一条连续曲线和两条直线段s1、s2组成，全部曲直交点只有P、Q两个不同的点：P是曲线的一个端点，接在竖直线段s1的内部；Q位于曲线内部，水平线段s2从此穿过曲线。现将全部线条作为整体，在固定坐标系内绕P逆时针旋转45°，再整体向右平移3个单位。旋转和平移过程中不增删或伸缩线条，方向均相对于固定坐标轴判断。以下哪项描述正确？所有数值均为教学模拟数据。

A．最终只剩一个曲直交点，因为旋转中心P会使Q与P重合。

B．最终仍有两个曲直交点，但P和Q都变成曲线内部的交点。

C．最终仍有两个曲直交点；原P对应的点仍为曲线端点接触，原Q对应的点仍为曲线内部穿越，两条相关直线段均倾斜。

D．最终仍有两个曲直交点，部位分类不变，且s1仍竖直、s2仍水平。

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答案：C

整体旋转和平移是一一对应的刚体变换，P、Q保持不同，交点数仍为2；曲线端点不会因此变成内部点，P、Q原有的部位分类保持不变。相对于固定坐标轴，竖直方向旋转45°后变为135°方向，水平方向旋转45°后变为45°方向，两者均倾斜；平移不改变方向。因此C正确。A错误地认为不同点会合并；B错误地改变端点身份；D忽略旋转对方向分类的影响。交叉核验：对最终图形作反向平移、再旋转-45°，能够恢复原有两个交点及其部位，说明交点数和端点身份均保持；方向则已随旋转改变。

迁移维度：识别整体变换下保持的连接特征，以及相对于坐标轴会改变的方向特征。