黑白分开找对称：先数轴，再辨轴间关系｜2025云南省考第61题

完整题面

61．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定规律性：

原卷页图：核对图表与选项

答案为A。关键是分别考察黑块和被线条分隔出的单个白面：先确认它们各有几条对称轴，再比较轴的方向。

**题干依据：稳定的是对称属性与轴间关系。**

依据所附原卷第10页，第61题给出五幅图形及四个备选项。五幅图中的黑块轮廓不同，但均恰有一条对称轴；每幅图内部也能找到一个恰有一条对称轴的白面。选定这两个观察对象后，其轴间关系呈现清楚的交替。

这里的“白面”指由边界线围成的单独区域。不能擦去内部线条，把几个白面合并后再判断；外围正方形也不属于本题要比较的黑块或白面。

题干位置	黑块的对称轴方向	所选单个白面的对称轴方向	两轴关系
第1幅	水平	竖直	垂直
第2幅	左下—右上斜向	左下—右上斜向	平行
第3幅	水平	竖直	垂直
第4幅	竖直	竖直	平行
第5幅	左上—右下斜向	左下—右上斜向	垂直

所以，第6幅应延续“平行”，同时保留两个对象都恰有一条对称轴的条件。

**首选解法：按“轴数—方向—关系”三步筛选。**

第一步，只看黑块，暂时遮去其他部分。五幅题干黑块都能沿一条直线镜像重合，并且没有第二条对称轴。这一步能直接排除D：D的黑块是非正方形矩形，具有水平、竖直两条对称轴。

第二步，把各幅图中被线条分隔的白面逐个检查，寻找恰有一条对称轴的区域。不能把“白色部分很多”理解为“所有白面都需要对称”，也不能把“存在一个符合条件的白面”改成“白色部分整体对称”。

第三步，比较黑块与该白面的轴线方向。题干依次为“垂直、平行、垂直、平行、垂直”，缺失项应为平行。A中黑块与相应白面的轴均为左下—右上斜向，满足要求。

这套筛选有两个独立条件：黑块自身恰有一条轴；存在一个恰有一条轴、且轴方向与黑块平行的白面。只符合其中一个条件，还不能入选。

**独立交叉核验：用顶点和边的对应关系定位镜线。**

为了避免把“看起来斜着”当成有对称轴，可以回到镜像重合的定义：轴上的特征点保持原位，轴两侧的对应顶点到轴距离相等，对应边反射后重合。

例如，第1幅的黑色等腰直角三角形，其镜线穿过直角顶点及斜边中点，方向为水平；相应白色三角面的镜线为竖直。第4幅中，黑块的尖端与两侧对应边确定竖直镜线，相应白面的左右对应边也确定竖直镜线。两幅分别给出“垂直”和“平行”，与交替关系一致。其余三幅按对应顶点逐一反射，也分别得到平行、垂直、垂直，与上表相符。

再单独核对A：黑色等腰直角三角形与相应白色等腰直角三角形，都只有一条经过直角顶点和斜边中点的镜线。两块三角形的位置、大小不同，但镜线方向一致，因此满足平行关系。这里不需要两条轴重合，也不需要两个图形全等。

**A—D逐项判断。**

选项	黑块检查	白面及轴间关系检查	判断
A	黑色等腰直角三角形恰有一条轴	相应白色等腰直角三角形也恰有一条轴，两轴方向一致	符合
B	黑块恰有一条竖直轴	相应轴对称白面的轴为水平，两轴垂直	不符合第6幅所需的平行关系
C	黑块恰有一条水平轴	相应轴对称白面的轴为斜向，不能与黑块的水平轴平行	不符合
D	黑块为非正方形矩形，有两条轴	黑块已违反“恰有一条轴”的稳定条件	不符合

A同时通过轴数和轴间关系检查，故选A。这个结论来自原图中的区域边界与镜像关系；参考答案只用于最后核对。

**常见错因与迁移方法。**

一是观察对象选得过大。把整个小方框连同内部线条一起判断，会混入外框自身的对称性。应先明确研究的是黑块、单个白面，还是完整线条图。

二是混淆“轴对称”和“恰有一条对称轴”。等腰三角形、非正方形矩形、正方形都可能轴对称，但轴数分别可能是1、2、4。D就是对轴数条件的干扰。

三是只追踪黑块方向。题干黑块的轴依次有水平、斜向、水平、竖直、另一斜向，单独追踪它们并不简洁；与白面配对后，轴间关系才形成稳定交替。

四是将斜轴都当成同一方向。左下—右上与左上—右下是两种不同方向，二者垂直。判断时最好实际画出短轴线，再比较方向。

遇到类似题，可依次记录“对象是谁—轴有几条—轴朝哪里—两轴什么关系”。先核验每个区域自身的属性，再检查区域之间的关系，能够减少凭整体观感误选的情况。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

【教学模拟】每张检验卡分别列出一个黑色区域和一个白色区域，两个区域独立观察。合格条件为：黑区恰有一条对称轴，白区也恰有一条对称轴，且两条轴的方向相同。下列哪张卡合格？所述等腰三角形的两腰均长5、底边长6；所述等腰梯形的两条平行底边分别长2、6，底边间距为3。底边方向均已明确给出。

A．黑区为长4、宽2且长边水平的矩形；白区为底边水平的上述等腰三角形。

B．黑区为底边竖直的上述等腰三角形；白区为两条底边均竖直的上述等腰梯形。

C．黑区为底边水平的上述等腰三角形；白区为两条底边均竖直的上述等腰梯形。

D．黑区为邻边分别长3、5且夹角为60°的平行四边形；白区为底边竖直的上述等腰三角形。

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答案：B

A的非正方形矩形有两条对称轴，首先不合格。B中三角形的唯一对称轴垂直于其竖直底边，为水平；等腰梯形的唯一对称轴也垂直于其竖直底边，为水平，两个条件均满足。C中黑区轴竖直、白区轴水平，方向不同。D的平行四边形既不是矩形也不是菱形，没有对称轴。交叉核验：三角形边长5、5、6满足三角形条件且非等边；梯形两底不等，恰有一条轴；因此B不存在额外轴数问题，答案唯一。

迁移维度：同时检查轴的数量和方向，区分一轴图形、二轴图形与无轴图形。

原创迁移练习2

【教学模拟】在同一套直角坐标方向下，黑区是按顺序连接顶点(-3,0)、(0,4)、(3,0)、(0,1)并闭合所围成的区域。另从下列四个独立白区中选一个，要求白区恰有一条对称轴，且其轴方向与黑区的唯一对称轴相同。各选项均按列出的顶点顺序连接并闭合，边界以外不计入区域。应选哪一个？

A．顶点为(0,0)、(4,0)、(4,2)、(0,2)的矩形区域。

B．顶点为(0,-2)、(0,2)、(5,0)的三角形区域。

C．顶点为(0,0)、(4,0)、(1,2)的三角形区域。

D．顶点为(1,0)、(5,0)、(3,5)的三角形区域。

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答案：D

黑区关于x=0反射时，(-3,0)与(3,0)互换，另两顶点固定，故竖直线x=0是对称轴。它也是唯一轴：唯一凹顶点(0,1)必须固定，唯一连接两条长度为5的边的顶点(0,4)也必须固定，镜线只能经过这两点。A为4×2矩形，有两条轴。B的两腰均为√29、底边长4，唯一轴是水平线y=0，方向不符。C三边分别为4、√5、√13，均不相等，无轴。D两腰均为√29、底边长4，唯一轴为竖直线x=3，符合。交叉核验：D在反射x→6-x下，两个底角顶点互换、顶点(3,5)固定；其轴与x=0方向一致。

迁移维度：通过坐标反射和特征顶点确定唯一对称轴，区分轴线位置与轴线方向。

原创迁移练习3

【教学模拟】一个5行5列的正方形区域被划分为25个等大的正方形单元格，着色如下表。黑区由全部黑格组成；白面按“共边连通”划分，只有角点接触不算连通。格线只用于说明位置，同色共边相邻单元格之间的格线不作为区域边界。只考察区域轮廓，不把外框另算作图形。下列关于“恰有一条对称轴的白面”的数量及其轴与黑区唯一轴的夹角，哪项正确？

行号（从上到下）	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列
第1行	白	白	黑	白	白
第2行	白	黑	黑	黑	白
第3行	黑	黑	黑	黑	黑
第4行	白	白	黑	白	白
第5行	白	白	黑	白	白

A．有2个，两者的轴均与黑区的轴平行。

B．有4个，四者的轴均与黑区的轴垂直。

C．有2个，两者的轴均与黑区的轴成45°角。

D．没有恰有一条对称轴的白面。

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答案：C

黑区左右镜像重合，唯一轴为穿过第3列中心的竖直线。它不关于水平线对称，因为第2行与第4行的黑格分布不同；也不关于两条对角线对称，例如第2行第4列为黑，而其主对角线对应位置第4行第2列为白。按共边连通划分，白面恰有4个：上方左右各一个由3格组成的L形区域，下方左右各一个2×2正方形。每个L形区域恰有一条斜向轴，与竖直方向成45°；每个正方形有4条轴，不计入题目要求。故数量为2，夹角均为45°。交叉核验：四个白面的格数为3、3、4、4，共14格；黑格数为1+3+5+1+1=11，合计25格，没有漏算或合并白面。

迁移维度：按边界与连通性确定单个白面，防止合并白区，并核验斜轴关系。

原创迁移练习4

【教学模拟】六张卡各有一个黑色三角形和一个白色三角形，所有三角形的边长均为5、5、6，因此各恰有一条对称轴。轴的方向角从水平向右方向逆时针计量，方向角相差180°视为同一方向。规定六张卡的黑白轴关系必须依次为“垂直、平行、垂直、平行、垂直、平行”。现有方向角如下表。只允许进行下列某一项操作：把指定的一个三角形绕自身中心逆时针旋转90°，其他图形保持不动。哪项操作能使六张卡全部符合规定？

卡片序号	黑色三角形轴方向角	白色三角形轴方向角
1	0°	90°
2	30°	30°
3	90°	0°
4	45°	135°
5	60°	150°
6	120°	120°

A．旋转第4张卡的白色三角形。

B．旋转第3张卡的白色三角形。

C．旋转第5张卡的黑色三角形。

D．旋转第6张卡的白色三角形。

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答案：A

现有六张卡的关系依次为垂直、平行、垂直、垂直、垂直、平行，只有第4张需要修正。A操作后，第4张白轴由135°变为225°，按180°等价规则化为45°，与黑轴45°方向相同，其余卡片不变，全部合格。B、C、D都会改变一张原本合格的卡，而且第4张仍不合格。交叉核验：修正后的六组轴方向差按180°折算，分别为90°、0°、90°、0°、90°、0°。旋转不改变三角形的轴数，故没有引入轴数方面的新问题。

迁移维度：将轴间交替关系转为可核验的方向差，并通过局部修改修复序列。

原创迁移练习5

【教学模拟】一张卡上有两个独立区域：黑区是边长5、5、6的等腰三角形，白区是两底分别长2、6、底边间距为3的等腰梯形。初始时黑区对称轴的方向角为20°，白区对称轴的方向角为110°。方向角从水平向右方向逆时针计量，按180°取等价方向。依次执行：①将整张卡逆时针旋转30°；②仅将白区绕自身中心逆时针旋转90°；③将整张卡关于一条竖直直线作镜像反射。只比较轴的方向，不考察轴的位置。最终哪项正确？

A．黑轴50°、白轴50°；两区各有一条轴，轴方向相同。

B．黑轴130°、白轴130°；两区各有一条轴，轴方向相同。

C．黑轴130°、白轴40°；两区各有一条轴，两轴垂直。

D．黑轴130°、白轴130°；黑区有两条轴，白区有一条轴，轴方向相同。

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答案：B

操作①后，黑轴为20°+30°=50°，白轴为110°+30°=140°。操作②后，白轴为140°+90°=230°，等价于50°。操作③关于竖直线反射，方向角θ变为180°-θ，再按180°取等价方向，因此两轴都变为130°。旋转和镜像都不改变一个图形自身的对称轴数量，黑区与白区始终各有一条轴，故B正确。A漏掉镜像后的绝对方向变化；C对应漏做白区的单独旋转；D误认为操作会增加轴数。交叉核验：初始两轴垂直，整体旋转保持垂直；白区单独转90°使两轴同向；整体镜像继续保持同向，与计算结果一致。

迁移维度：区分整体变换与单独变换对相对轴向的影响，并利用不变量交叉验证角度计算。