先找最大面，再判对称性｜2024云南省考第58题
内容摘要：从原题条件出发，逐项核验选项；配5道完整原创迁移练习及独立解析。
完整题面
58． 把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A．①③④，②⑤⑥ B．①③⑤，②④⑥ C．①⑤⑥，②③④ D．①④⑥，②③⑤
原卷页图：核对图表与选项
正确答案为C：①⑤⑥一组，②③④一组。分类对象是各图内部面积最大的面，判断依据是这个面的对称性。
题干依据：先确定观察对象
原页中的六个图形都有相同的正方形外框，内部又被线条分割成若干区域。只看外框，六图都具有相同的对称性，无法分类；逐一数内部的面，六图也都是5个面，仍不能区分。
继续比较可以发现，各图内部都有一个面积明显最大的区域。把这个区域单独提取出来，其轮廓的对称性就形成了稳定的分组依据。这里的“最大面”按面积判断，不能用边数最多、轮廓最长或位置居中来替代。
首选解法：提取最大面，再做旋转与镜像检验
先沿最大面的边界观察完整轮廓，暂时忽略其他区域及内部无关线条，再分别进行两项检验：绕某点旋转180°能否重合；沿某条直线翻折能否重合。
| 图形 | 最大面旋转180°能否重合 | 最大面是否存在对称轴 | 分类 |
|---|---|---|---|
| ① | 能 | 否 | 中心对称 |
| ② | 不能 | 是 | 轴对称 |
| ③ | 不能 | 是 | 轴对称 |
| ④ | 不能 | 是 | 轴对称 |
| ⑤ | 能 | 否 | 中心对称 |
| ⑥ | 能 | 否 | 中心对称 |
①⑤的最大面都有凹折，不能因为轮廓不规则就排除中心对称。观察它们相对位置的凸出、凹入及折边，绕中心旋转180°后能够对应。⑥的最大面是倾斜的平行四边形，也能绕两条对角线的交点旋转180°重合。
②③④的最大面则具有镜像关系：对称轴两侧的边界可以对应，但半周旋转后不能重合。因此，①⑤⑥属于一组，②③④属于另一组。
独立交叉解法：用顶点中点与边界对应复核
不依赖“看起来像对称”的整体印象，还可以检查最大面的顶点与边界。
对于中心对称多边形，每个顶点在中心另一侧都应有对应顶点，而且所有对应顶点连线的中点必须相同；相应的整条边也要互相映射。这里要求检查完整轮廓，仅找到一两对顶点并不足够。
沿①⑤最大面的轮廓逐段检查，可以把顶点和边界配成半周旋转后对应的两组。⑥还可直接利用平行四边形的性质复核：两条对角线互相平分，所以交点就是对称中心。这三图均通过中心对称检验。
对②③④作同样检查，不能让全部对应顶点共用一个中点；改作镜像检查，则能找到使完整边界对应的直线。因此，它们通过轴对称检验，未通过中心对称检验。两条路径得到相同分组，支持选C。
A—D逐项判断
| 选项 | 分组 | 判断依据 |
|---|---|---|
| A | ①③④，②⑤⑥ | 第一组把中心对称的①与轴对称的③④混在一起；第二组也混入了性质不同的②，排除。 |
| B | ①③⑤，②④⑥ | ③与①⑤的最大面对称性质不同，⑥与②④也不同，排除。 |
| C | ①⑤⑥，②③④ | 两组分别对应最大面的中心对称、轴对称，符合规律。 |
| D | ①④⑥，②③⑤ | ④被放入①⑥所在组，⑤被放入②③所在组，均破坏分类，排除。 |
常见错因与迁移方法
第一种错因是一直盯着外框。外框完全相同，就应转向内部区域。本题中，数面也不能区分，下一步应比较具有显著特征的区域。
第二种错因是把“最大”理解为视觉上最醒目。狭长区域可能周长较大，凹多边形也可能折点较多，这些都不直接决定面积大小。应先沿闭合边界确认区域范围，再比较面积。
第三种错因是混淆旋转与翻折。中心对称对应绕某点旋转180°；轴对称对应沿某条直线翻折。把纸面随意转一个角度后感觉相似，不能作为中心对称的证据。
还要注意，中心对称与轴对称并非普遍互斥：长方形、正方形等同时具有两种性质。本题能够这样分组，是因为原图中所选最大面的具体性质恰好形成上述区分，不能推广为“中心对称图形一定没有对称轴”。
遇到同类题，可按顺序处理：确认外框是否有区分度，检查数量特征，定位最大面等显著区域，提取完整轮廓，最后分别检验180°旋转和镜像关系。选出分组后，还要回看六图，确保同一标准覆盖全部成员。
5道原创迁移练习
以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。
原创迁移练习1
以下为教学模拟。六张卡片各含两个彼此分离的区域，面积均为已知数据，单位为平方单位。只提取每张卡片中面积最大的区域，按其“具有中心对称”或“不具有中心对称”分成两组。区域的相对位置不参与判断。分类正确的是哪项？
| 卡片 | 区域甲及面积 | 区域乙及面积 |
|---|---|---|
| ① | 等腰三角形，18 | 正方形，8 |
| ② | 非矩形且非菱形的平行四边形，20 | 等腰三角形，9 |
| ③ | 半圆形，16 | 长方形，7 |
| ④ | 长方形，24 | 半圆形，10 |
| ⑤ | 两底长度不等的等腰梯形，21 | 圆形，12 |
| ⑥ | 圆形，25 | 两底长度不等的等腰梯形，11 |
A．①②③一组，④⑤⑥一组
B．①④⑤一组，②③⑥一组
C．①②⑤一组，③④⑥一组
D．①③⑤一组，②④⑥一组
查看答案与解析
答案：D
逐行比较面积，六张卡片的最大区域均为区域甲。①的等腰三角形、③的半圆形、⑤的两底不等的等腰梯形都不具有中心对称；②的平行四边形、④的长方形、⑥的圆形都具有中心对称，因此选D。交叉核验：②可绕对角线交点旋转180°，④可绕对角线交点旋转180°，⑥可绕圆心旋转180°；三角形、半圆和两底不等的梯形均无法通过该检验。A把②与①③混合，B把④与①⑤混合，C把②与①⑤混合，均不成立。长方形和圆形也具有轴对称性，但这不影响本题按“是否中心对称”分类。
迁移维度：先按面积选择局部对象，再按指定性质分类；辨清中心对称与轴对称可以同时存在。
原创迁移练习2
以下为教学模拟。在同一直角坐标系中，每张卡片包含两个互不相接的实心多边形区域P、Q。各区域均按所列顶点顺序连线并闭合，坐标单位一致。四张卡片的Q均为正方形，顶点依次为(20,20)、(21,20)、(21,21)、(20,21)。各卡片的P如下表。只观察每张卡片中面积最大的区域，哪张卡片的该区域既中心对称，又没有对称轴？
| 卡片 | P的有序顶点 |
|---|---|
| A | (0,0)、(6,0)、(3,4) |
| B | (0,0)、(6,0)、(8,3)、(2,3) |
| C | (0,0)、(5,0)、(5,3)、(0,3) |
| D | (0,0)、(8,0)、(6,3)、(2,3) |
A．卡片A
B．卡片B
C．卡片C
D．卡片D
查看答案与解析
答案：B
Q的面积均为1。A、B、C、D中P的面积依次为6×4÷2=12、6×3=18、5×3=15、(8+4)×3÷2=18，因此四张卡片都应观察P。A是等腰三角形，只有轴对称；B是平行四边形，其相邻边长分别为6和√13，且相邻边不垂直，所以既非菱形也非矩形，具有中心对称而无对称轴；C是长方形，两种对称性兼有；D是两底不等的等腰梯形，只有轴对称。故选B。独立复核B：两条对角线的中点均为(4,1.5)，支持中心对称；平行四边形若存在对称轴，则须具有矩形或菱形的相应结构，而本图均不满足。
迁移维度：把坐标数据转成边、角和面积关系，用可计算证据核验视觉对称性。
原创迁移练习3
以下为教学模拟。用整数坐标(x,y)表示单位实心方格，其四个顶点为(x,y)、(x+1,y)、(x+1,y+1)、(x,y+1)。共享整条边的方格合并为一个区域，内部格线不算分割线。四张卡片各有下表所列的一组相连方格，另外均有一个单独的方格(10,10)。只观察每张卡片中面积最大的区域，哪一张的该区域既能旋转180°重合，又不能沿任何直线翻折重合？
| 卡片 | 相连方格的坐标 |
|---|---|
| A | (0,0)、(1,0)、(2,0)、(1,1) |
| B | (0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,0) |
| C | (1,0)、(2,0)、(0,1)、(1,1) |
| D | (0,0)、(1,0)、(0,1)、(1,1) |
A．卡片A
B．卡片B
C．卡片C
D．卡片D
查看答案与解析
答案：C
各卡片中相连区域的面积均为4，单独方格的面积为1，所以最大区域均由表中四个方格合并而成。A形成T形，仅有轴对称；B形成长臂为3格的L形，两种对称性均无；C形成两行错位的S形，具有中心对称而无轴对称；D形成2×2正方形，两种对称性兼有，故选C。独立复核C：绕(1.5,1)旋转180°时，方格(1,0)与(1,1)互换，方格(2,0)与(0,1)互换，全部区域对应。其外接矩形宽3、高2，排除斜向对称轴；上下两行错位，水平和竖直翻折也不能重合。
迁移维度：从文字坐标恢复组合区域，区分定位格线与实际分割线，并检验完整外轮廓。
原创迁移练习4
以下为教学模拟。四张卡片各含两个始终彼此分离的区域甲、乙，初始形状及面积如下，面积单位为平方单位。对每张卡片只进行一次操作：将乙等比放大，使其面积变为原来的2倍，甲保持不变。放大后乙的形状类别不变。哪张卡片在操作前后，面积最大的区域从“具有中心对称”变为“不具有中心对称”？
| 卡片 | 甲的形状及初始面积 | 乙的形状及初始面积 |
|---|---|---|
| A | 长方形，18 | 等腰三角形，12 |
| B | 非矩形且非菱形的平行四边形，30 | 半圆形，10 |
| C | 两底长度不等的等腰梯形，20 | 等腰三角形，12 |
| D | 等腰三角形，26 | 长方形，10 |
A．卡片A
B．卡片B
C．卡片C
D．卡片D
查看答案与解析
答案：A
A中乙的面积由12增至24，最大区域由面积18的长方形变为面积24的等腰三角形，中心对称性由有变无，符合要求。B中乙放大后面积为20，仍小于甲的30，最大区域始终为中心对称的平行四边形。C中乙放大后面积为24，超过甲的20，但两底不等的等腰梯形与等腰三角形均无中心对称，性质未发生题述变化。D中乙放大后面积为20，仍小于甲的26，最大区域始终为无中心对称的等腰三角形。故选A。交叉核验：四张卡片操作后的最大面积依次为24、30、24、26，均不存在并列最大；等比放大保持原区域的对称性质，变化只能来自最大区域身份的改变。
迁移维度：条件变化后重新锁定最大区域，区分对象更换与对象自身性质变化。
原创迁移练习5
以下为教学模拟。一张卡片包含三个彼此分离的实心区域P、Q、R，各区域按下列有序顶点连线并闭合，坐标单位相同。P的顶点依次为(0,0)、(4,0)、(4,2)、(6,4)、(2,4)、(2,2)；Q的顶点依次为(10,0)、(14,0)、(10,3)；R的顶点依次为(20,0)、(23,0)、(23,3)、(20,3)。只研究面积最大的区域，下列判断完全正确的是哪项？
A．最大区域是R，它既中心对称又轴对称。
B．最大区域是P，它关于直线x=3轴对称。
C．最大区域是P；由于P是凹多边形，所以它不可能中心对称。
D．最大区域是P，它以(3,2)为对称中心，且没有对称轴。
查看答案与解析
答案：D
按有序顶点计算，P的面积为(52−28)÷2=12；Q的面积为4×3÷2=6；R的面积为3×3=9，所以最大区域为P，A错误。P的第1与第4、第2与第5、第3与第6个顶点的中点均为(3,2)，且半周旋转把各条边依次映射到对应边，因此P以(3,2)为对称中心，C错误。再独立检查轴对称性：若存在对称轴，该轴必须经过中心(3,2)。距离中心最近的两个顶点只有(4,2)和(2,2)，任何反射必须保持这两个点组成的集合，因此候选轴只有y=2或x=3。顶点(4,0)关于这两条直线的镜像分别为(4,4)、(2,0)，均不是P的顶点，故两条候选轴都不成立，B错误，D正确。凹多边形同样可能具有中心对称，不能仅凭存在凹口否定。
迁移维度：用面积、对应顶点共同中点和候选轴排除形成完整证据链，检验凹多边形的对称性。
引用与权威来源
常见问题
第58题的参考作答和依据是什么？
参考作答C。依据所附第11页原图，六图的相同外框及相同面数不能形成有效分类。分别提取内部面积最大的面，①⑤⑥均能绕各自中心旋转180°重合，且无对称轴；②③④均存在对称轴，但不能经180°旋转重合。因此分为①⑤⑥与②③④两组，对应C。
本篇提供多少道原创迁移练习？
本篇含5道完整原创迁移练习，提供选项、参考答案与解析。原创情境和数据均为教学模拟。