f(x-h)为什么向右平移，怎样用原来的点验证？

直接回答

在g(x)=f(x-h)中，若h为正，图像向右平移h个单位，因为要让内部输入仍等于原来的a，新的横坐标必须满足x-h=a，即x=a+h。因此原图像上的点(a,f(a))对应新点(a+h,f(a))，纵坐标不变。判断时先区分括号内输入变化和括号外输出变化，并同步移动定义域，不能只看减号就断言向左。

直接回答：保持原输入，反求新横坐标

设新函数为g(x)=f(x-h)，且h为正。它的图像相对原函数向右平移h个单位。原因不在于某条孤立口诀，而在于新函数把横坐标先减去h，再送入原函数。为了得到原来输入a对应的输出，新横坐标必须取a+h。

把这一过程写出来：原函数有f(a)这个输出，新函数在x=a+h时，内部输入为a+h-h=a，所以g(a+h)=f(a)。原图像上的点(a,f(a))因此对应新图像上的点(a+h,f(a))。横坐标增加h，纵坐标保持原值，这正是向右移动的含义。

概念与条件：括号内外对应不同变化

函数记号中的括号，用来标出交给原函数的输入。f(x-h)表示输入先变成x-h，再执行原规则；f(x)-h则表示先求出原输出，再减去h。两种写法的计算顺序与被改变的量不同，不能因为都出现减号就认为图像移动方向相同。

若写成f(x+h)，其中h为正，要保持原输入a，就应解x+h=a，得到x=a-h。因此相同输出在更小的横坐标处出现，图像向左移动h个单位。判断方向时，应盯住新点出现在哪里，而不是只盯内部表达式的数值增减。

这里讨论的是纯粹的水平平移：每个点的横坐标增加同一个量，纵坐标不变。因此图像形状保持，原来各点之间的相对位置也随整体移动。若表达式还含有输入倍乘、外部倍乘或符号反射，就需要分别识别，不能全部归入平移。

定义域也要对应变化。原来允许输入a，平移后相应允许的横坐标便是a+h。不能把图像搬走，却把原定义域边界留在原位。对于实际时间等变量，还要检查题目允许的时段，不能让代数公式替代情境限制。

判断步骤：用一个点看方向，用整体检查边界

1. 先认清被替换的位置。变化发生在f的括号内，主要追踪输入；变化发生在括号外，则追踪输出。不要在没有读完表达式时套方向口诀。
2. 从原图像选一个明确的参考点，记原输入为a、原输出为b，并保留f(a)=b这条关系。端点、顶点或已知表格点都可以使用。
3. 令新函数的内部输入等于a，解出新横坐标。对f(x-h)，得到a+h；再把原输出b原样保留，写出新点。
4. 核对其余点和定义域。一个参考点帮助辨方向，但整体平移的结论来自完整函数形式，不能只凭一个巧合相同的函数值认定两图像平移。

教学自拟练习一：从表格迁移三个点

情境：某教学函数的已知记录为f(1)=4、f(3)=2、f(6)=5。定义g(x)=f(x-4)。请写出与这三条记录对应的新函数记录，并判断移动方向。

答案：g(5)=4、g(7)=2、g(10)=5，图像向右移动四个单位。以第一条为例，要让内部输入x-4等于1，就应取x=5，因此新输出仍为4，而不是把输出改成0或8。

不能由f(1)=4推出g(-3)=4；实际上g(-3)=f(-7)，其值未由已知记录确定，若-7不在原定义域内，这个值还可能无定义。与原图像上的点(1,4)对应的平移点是(5,4)。即使另有f(-7)=4，也只是另一输入恰好给出相同输出，不能改变该点的平移对应关系。

也不能仅把表格中的函数名称改成g而保留全部横坐标，因为新函数在同一横坐标处使用的是另一个原输入。水平平移保留的是对应点的输出，不是所有相同横坐标处的输出。

教学自拟练习二：根号函数的起点在哪里

情境：以f(x)=√x为原函数，定义g(x)=f(x-5)+2。请确定原起点对应的新位置，并说明水平变化、竖直变化和定义域。

答案：原起点(0,0)变为(5,2)。内部x-5对应向右移动五个单位，外部加2对应向上移动两个单位。根号内部需要满足x-5≥0，所以新定义域为x≥5，值域为不小于2的实数。

解释时应先把两种变化分开：水平变化改变原输入何时被调用，竖直变化改变输出数值。若只说“有减号所以向左”，会让起点与允许输入同时出错；若只移动点而不检查根号条件，答案也不完整。

易错点：同一个减号未必改变同一个量

• 把f(x-h)读成f(x)-h。前者先改输入，后者再改输出，不能省略括号结构。
• 认为输入减小就表示图像向左。应反求获得原输出所需的新横坐标，方向由对应点的位置变化确定。
• 只移动顶点，不移动端点或定义域。纯平移作用于全部点，边界也必须一起变化。
• 看到某个输出值相同，就认定只有一个对应点。函数可能在多个输入处给出同样输出，验证时应追踪原图像上的具体点及其内部输入。

还要谨慎处理h的符号。“f(x-h)向右h个单位”若脱离h为正的条件，容易形成含混表达。更稳妥的说法是横坐标统一加h；h为负时，这个坐标变化自然对应向左移动。

迁移方法：把符号判断改成点的对应

遇到复杂表达式，可以始终保留“原输入a、原输出b”的小卡片，再问新表达式在什么横坐标处会调用a。这样做能把看似反直觉的内部符号，转换成一条可直接代入核验的等式。

在时间安排的教学模型中，也可追踪同一个阶段何时出现。若新安排在更晚的时刻达到原来的同一状态，便对应向右；若提前出现，便对应向左。前提是题设确实描述整个过程的平移，而不是同时改变过程本身。

小结

判断f(x-h)的方向，先写x-h=a，再得到新横坐标a+h。对应点的纵坐标保持，横坐标和定义域一起平移，比单独背诵符号口诀更容易核验。