正弦和余弦的正负，为什么要分别看纵坐标和横坐标？

直接回答

在标准位置角对应的单位圆上，终边交点坐标为(cosθ，sinθ)，所以余弦的正负看横坐标，正弦的正负看纵坐标。参考角帮助确定绝对值，原角终边与单位圆交点所在象限决定符号；终边落在坐标轴上时应直接读取坐标。利用平方和恒等式求另一函数值，还必须结合象限或符号条件选择结果。

直接回答：正弦对应纵坐标，余弦对应横坐标

单位圆把角与平面坐标联系起来。圆心在原点、半径为1时，标准位置角θ的终边与圆的交点可以写为(cosθ，sinθ)。因此，余弦的正负来自横坐标，正弦的正负来自纵坐标。两个符号需要分别读取，不能因为它们描述同一个角，就认为它们总是同号。

这种方法的好处是把符号判断还原为坐标事实。终点在左半平面时横坐标为负，余弦就为负；在上半平面时纵坐标为正，正弦就为正。同一个点可以同时处于左侧与上方，所以第二象限正弦为正、余弦为负，并不存在矛盾。

概念与条件：单位圆和标准位置

单位圆的圆心为(0，0)，半径为1。讨论标准位置角时，以横轴正方向为起始方向，再根据角的转动确定终边。单位圆上终点的坐标已经包含正负信息，不能把从直角三角形中得到的非负边长直接当作所有象限中的坐标。

第一象限中横纵坐标都为正，正弦和余弦也都为正；第二象限横负纵正；第三象限两者都负；第四象限横正纵负。与其把这四组符号背成没有对象的口诀，不如每次确认“余弦看横，正弦看纵”，再从点的位置判断。

终边落在坐标轴上时，不属于任何一个象限，应直接读取轴上点的坐标。例如顶端点为(0，1)，余弦为0、正弦为1。零既不应写成正数，也不应写成负数。轴上角如果硬套某个象限的严格正负结论，就会出现边界错误。

参考角负责大小，原象限负责符号

对终边位于象限内部的角，参考角是终边与横轴形成的锐角。它帮助把函数值的绝对值与第一象限熟悉的角联系起来。但参考角不能替代原角所在象限，因为对称位置的终点可能横坐标或纵坐标相反。求出参考角后，还需要把原象限提供的符号加回去。

这一过程最好分两步书写：先确定参考角对应的正弦、余弦绝对值，再分别按原角终边与单位圆交点的横、纵坐标选择正负。不能把参考角的两个正值原样搬到其他象限，也不能看到角度数本身为负，就把正弦和余弦都判成负。角的转动方向与终点坐标符号不是同一件事。原点始终固定为(0，0)，判号依据是交点的位置。

平方和只能先确定大小关系

单位圆满足x²＋y²＝1，代入坐标关系便得到cos²θ＋sin²θ＝1。已知一个函数值时，可以用这个恒等式求另一个函数值的平方。但从平方还原函数值时，往往存在正负两个候选，必须结合象限或其他符号条件选择，不能只保留计算器显示的非负平方根。

若材料只给一个正弦值而没有足够位置限制，余弦可能无法唯一确定符号。正确回答应保留两个可能，或者说明信息不足。不能为了写出单一答案，擅自把角限制在第一象限。判断信息是否充分，本身也是解题的一部分。

判断步骤：位置与数值分开处理

1. 确认角的单位和标准位置，找出终边位于哪个象限或坐标轴。
2. 若在象限内部，分别记录交点横坐标和纵坐标的符号。
3. 需要具体数值时，利用参考角确定相应绝对值。
4. 将横坐标符号赋给余弦，将纵坐标符号赋给正弦。
5. 若用平方和求值，再检查正负选择与原角终边交点的位置一致。

教学自拟情境练习一：已知正弦怎样选余弦符号

教学练习规定角θ的终边在第二象限，且sinθ＝5/13。甲同学由平方和求得cos²θ＝144/169，直接写cosθ＝12/13。请判断并给出正确值，说明象限信息在哪一步发挥作用。

答案：cosθ＝－12/13。平方和先确定余弦的绝对值为12/13，但第二象限交点的横坐标为负，因此余弦必须取负值。甲同学的大小计算正确，错误在于没有将平方结果与象限条件合并。正弦为正只说明纵坐标为正，不能据此要求横坐标也为正。

教学自拟情境练习二：负角能否直接决定两个符号

另一教学练习给出θ＝－60°，要求求出cosθ和sinθ。乙同学说：“角度是负数，所以两个函数值都为负。”请用单位圆说明终点位置，再给出两项结果。

答案：从横轴正方向按负方向转60°，终边位于第四象限，横坐标为正、纵坐标为负。参考角为60°，因此cosθ＝1/2，sinθ＝－√3/2。负号首先描述角的转动方向，函数值的符号仍须根据最终坐标分别判断，不能直接从角度数的正负复制。

易错点：不要把边长、坐标和角度混成一类

三角形边长通常取非负数，而平面坐标可以有正负。用参考三角形计算大小之后，仍需恢复坐标符号。另一个错误是交换横纵对应关系，把正弦写成横坐标；可以始终用有序对(cosθ，sinθ)提醒自己，但实际计算仍应逐项确认。

使用计算器时还要核对度数模式与弧度模式。输入相同数字，在两种模式下表示的角不同，所得函数值也可能不同。这个问题属于角的单位解释，不能通过改变象限符号去修补。先确认输入单位，再讨论终边位置和函数值。

迁移方法与小结

把每道题拆成“终点在哪”“绝对值多少”“符号怎样”三个问题，能同时处理参考角计算、已知一个函数值求另一个，以及坐标轴边界。信息只够解决其中一部分时，应明确保留未知部分，不要让熟悉角的印象代替题设条件。

单位圆中余弦看横坐标，正弦看纵坐标。参考角提供大小，原角终边与单位圆交点的位置提供符号，平方和连接数值关系。三种信息各有职责，结合使用才能得到完整而有条件的答案。