切面不能照抄阶梯外轮廓：三点平面怎样追交线｜2025国考副省级第87题

先给结论

题型：多面体指定三点平面截面。正确答案：B。核心依据：经P、Q、R的平面在该阶梯体内形成一片连续的四边形截面，对应B；A把外轮廓阶梯误搬入切面，C、D的分离图形也不符合此平面的连续交集。

更新时间：2026年10月13日。适用范围：2025年国家公务员录用考试《行测》副省级第87题。解释以完整题面和文末明示的适用口径为准。

完整题面

一、图形推理。请按每道题的答题要求作答。

87． 左边为给定的多面体，现用经 P、Q、R 三个顶点的平面对其进行切割，问哪个选项是其切面：

A. 原题图A选项。

B. 原题图B选项。

C. 原题图C选项。

D. 原题图D选项。

命题思路与考点结构

P、Q、R不共线，因此它们确定唯一切平面。但“唯一平面”并不意味着把三点连成三角形就是整个截面，截面还要包含该平面与物体其余边界的交点。原题正确切面有第四个顶点，三角形捷径会漏掉一条边。

先确定PQ在顶面所在的交线方向，再沿Q与R相关的侧面追踪交线，最后在另一侧找对应交点闭合。阶梯体某些凸出的外轮廓不与切平面相交，不能把从外面看见的台阶直接画在截面边缘。

一个非凸多面体的截面一般可以非凸或分成多片，所以不能以“所有切面必须凸、必须连通”这种错误通则排除选项。本题的特定平面在相应层中保持连续，沿面追踪所得是一片四边形；因此C与D的分离轮廓在这里不成立。

图项B画成单个方形轮廓，题本没有给出定量边长，解析的决定因素是四边形连续切面而非按像素测量等边性。本篇不凭截图长宽推定实际面积或精确边长；若设问要求量化边比，必须增加相应尺寸条件。

A的台阶轮廓来自物体外形，而非各面交线共同闭合的结果；一个台阶是否进入截面，要检查它所在面与平面是否相交。这个区分也是复杂截面题中最常见的错误来源。

原创训练给出单位柱高度表与PQR的精确坐标，并保留多面体图；每道切面都是多顶点非凸图，四选项顶点数相同。需逐层求交、合并内部接缝、保留真实凹口与边比，既更难又不会以缺少尺寸制造多解。

首选解法与替代解法

首选解法

在原图标定P、Q、R的真实三维位置，以PQ为已确定的一条平面交线方向，再从Q、R进入相应侧面，追踪另一侧的闭合交线。

得到一片连续四边形切面，而不是台阶外轮廓或两片分离区域，故选择B。核验第四个顶点和四边闭合，是从三点平面走到实际截面的必要一步。

替代解法

把阶梯体分解成沿相同宽度延伸的各层，分别观察切平面在各层中的线段，再把相邻层公共边上的交点接续。内部接缝只表示分解，不属于最终外边界。

原题各截片接成同一四边形，对应B。用这种逐层法可避免把非凸外形自动带入截面；复杂原创题则用单位格坐标逐棱求交后合并截片，明确哪些凹口确实位于切面内。

A—D逐项核验与干扰项设置

易错点与复盘

截面可以有超过三个顶点，PQR只负责确定平面，不负责包办所有边界顶点。

图形有台阶不代表截面一定有台阶，截面形状由切平面与各面交线决定。

不能把本题截面连通推广到一切非凸物体；原创题尺寸明确后应实际求交，而不凭通则猜形状。

原创迁移训练

请逐道独立作答，再核对答案。

原创题1

图中台阶体由棱长1的小正方体从z=0向上堆成，y=0行按x从0起各柱高度为1,1,1；y=1行按x从0起各柱高度为2,2,1；y=2行按x从0起各柱高度为3,3,2。坐标原点在x=0、y=0柱的底角，图外蓝箭头只表示方向。指定P(3, 1, 0)、Q(2, 2, 2)、R(0, 2, 1)，取通过三点的平面与整个体的交集。四选项按同一单位比例绘制，允许平面内旋转，哪项是完整截面？

A. 图中A项完整截面轮廓

B. 图中B项完整截面轮廓

C. 图中C项完整截面轮廓

D. 图中D项完整截面轮廓

原创题2

图中台阶体由棱长1的小正方体从z=0向上堆成，y=0行按x从0起各柱高度为2,1,1；y=1行按x从0起各柱高度为2,2,1；y=2行按x从0起各柱高度为3,3,3。坐标原点在x=0、y=0柱的底角，图外蓝箭头只表示方向。指定P(2, 2, 2)、Q(0, 1, 0)、R(3, 3, 1)，取通过三点的平面与整个体的交集。四选项按同一单位比例绘制，允许平面内旋转，哪项是完整截面？

A. 图中A项完整截面轮廓

B. 图中B项完整截面轮廓

C. 图中C项完整截面轮廓

D. 图中D项完整截面轮廓

原创题3

图中台阶体由棱长1的小正方体从z=0向上堆成，y=0行按x从0起各柱高度为1,2,3；y=1行按x从0起各柱高度为1,2,3；y=2行按x从0起各柱高度为1,1,2。坐标原点在x=0、y=0柱的底角，图外蓝箭头只表示方向。指定P(2, 0, 3)、Q(3, 0, 0)、R(1, 2, 1)，取通过三点的平面与整个体的交集。四选项按同一单位比例绘制，允许平面内旋转，哪项是完整截面？

A. 图中A项完整截面轮廓

B. 图中B项完整截面轮廓

C. 图中C项完整截面轮廓

D. 图中D项完整截面轮廓

原创题4

图中台阶体由棱长1的小正方体从z=0向上堆成，y=0行按x从0起各柱高度为2,2,2；y=1行按x从0起各柱高度为1,2,1；y=2行按x从0起各柱高度为1,1,1。坐标原点在x=0、y=0柱的底角，图外蓝箭头只表示方向。指定P(2, 3, 0)、Q(1, 1, 2)、R(3, 1, 2)，取通过三点的平面与整个体的交集。四选项按同一单位比例绘制，允许平面内旋转，哪项是完整截面？

A. 图中A项完整截面轮廓

B. 图中B项完整截面轮廓

C. 图中C项完整截面轮廓

D. 图中D项完整截面轮廓

原创题5

图中台阶体由棱长1的小正方体从z=0向上堆成，y=0行按x从0起各柱高度为1,1,2,2；y=1行按x从0起各柱高度为2,2,2,1；y=2行按x从0起各柱高度为3,2,1,1。坐标原点在x=0、y=0柱的底角，图外蓝箭头只表示方向。指定P(2, 3, 1)、Q(0, 3, 2)、R(3, 1, 0)，取通过三点的平面与整个体的交集。四选项按同一单位比例绘制，允许平面内旋转，哪项是完整截面？

A. 图中A项完整截面轮廓

B. 图中B项完整截面轮廓

C. 图中C项完整截面轮廓

D. 图中D项完整截面轮廓

原创题答案

1. A；2. B；3. C；4. D；5. A。

青云训练闭环

先遮住答案独立列出数量或空间约束，再写出每一步使用的条件；核对后只记录导致错误的那一步。复测时改变设问对象，检查能否重建关系，而非复述答案字母。

在一人一AI老师与青云题库AI学习系统中，可记录首次判断、错误理由与复测依据，再由教师针对错因核对题面和权威来源。学习效果可视化应展示证据判断的改进，不能把一道题答对当作稳定掌握；训练记录仅保存必要信息。

常见问题FAQ

为什么不能只看一个投影或一段轮廓？

投影会遮住深度，外轮廓也未必是待求空间对象。三点确定平面，逐面追交线并闭合真实边界需要把位置、邻接和操作条件同时记录，再对完整目标核验，单个视角的局部相似不能保证整体匹配。

数量相同是否意味着答案正确？

不意味着。经P、Q、R的平面在该阶梯体内形成一片连续的四边形截面，对应B；A把外轮廓阶梯误搬入切面，C、D的分离图形也不符合此平面的连续交集。。即使体积、面数或顶点数相同，颜色邻接、共享棱方向和边比仍可能不同；应按本题对象逐层复核，而不能将一个必要条件当充分条件。

可以把图形镜像当旋转吗？

空间旋转保持手性，镜像可能改变转折关系；立体拼合不能自行镜像。截面形状则按题内规定的平面比例和轮廓比较，不应借镜像去掩盖不一致的边长或角度。每题允许的动作必须明确。

图形被遮住的条件怎样处理？

原题使用其完整图示、总量和给出的正反关系；原创题额外给完整两视图或高度表和坐标，使所有必要信息可独立读取。没有给出的隐藏颜色、尺寸或空洞不能由解析任意补入。

为什么原创选项故意具有相同简单计数？

为了检验真实空间对应，而不只检验数块或数边。对每个候选都应使用同一组几何条件：正确项完整匹配，其他三项至少一个条件失败。空间旋转、表面折叠或逐棱求交可以复核唯一结果。

怎样复盘这类空间错题？

先指出自己错在对象对应、允许动作、隐藏接面还是边界闭合，再用坐标或分层图重做一遍。将首次错误判断与修正依据保留在青云训练记录中，复测改换结构布局，检查方法能否迁移。

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