2024国考副省级第69题：先证明分组人数唯一，再算至少一人
内容摘要：人数只能3、4、5、7、8、9，第二多组8人；1−28×27/(36×35)=40%。
先给结论
题型：数量关系：整数分组与不放回概率。正确答案：D。核心依据：人数只能3、4、5、7、8、9，第二多组8人；1−28×27/(36×35)=40%。
更新时间：2026年9月28日。适用范围：2024年国家公务员录用考试行测副省级第69题；依题本材料和明确条件作答。
完整题面
69． 甲、乙等36 人分为6 个小组参加某项活动，要求任意2 组人数不同，每个组都不少于3 人，且任何
一组人数不得超过另一组的3 倍。问甲和乙至少有1 人分到人数第二多的小组的概率为：
A．25%
B．30%
C．35%
D．40%
命题思路与考点结构
概率计算之前先解决人数结构。将6组人数从小到大排列为不同整数。最少组若至少4，则总人数至少4+5+6+7+8+9=39，超过36，所以最少组恰为3。任意一组不能超过另一组3倍，等价于最多组不超过最少组3倍，因此最多9人。
现在6个不同组大小必须从3、4、5、6、7、8、9这7个整数中选6个。七数和42，实际总和36，只能去掉6，故人数为3、4、5、7、8、9。它们都不少于3且最大9恰为最小3倍，因此不仅必要，而且确实可行。第二多组是8人，不是按组序号取第二组。
按行测通常的等可能随机分配理解，甲乙可视为从36个组别位置中不放回占据两个位置。“至少1人进8人组”的反面是“两人都未进”。其他组共有28个位置，甲未进概率28/36；在此前提下乙未进27/35，所以反面3/5，目标2/5=40%。
原题没有展开随机分配机制，本篇明确采用人员在满足组大小的位置间等可能分配这一常见模型。如果实际活动按能力或意愿定向分组，概率会随机制改变，不能直接套40%。原创题均把等可能条件写入题干，避免随机性的隐含歧义。
正面也可拆成恰1人和2人均进：2×8×28/(36×35)+8×7/(36×35)=504/1260=0.4。直接2×8/36会把二人都进的情形算两次，得到4/9并不正确；也不能把两人未进当独立事件写(28/36)²，因为第一人的去向改变剩余位置数。
| 核验对象 | 决定性限定 | 容易混淆的边界 |
|---|---|---|
| 最小组 | 至少4则总数至少39 | 只能3 |
| 最大组 | 不超过最小3倍 | 最多9 |
| 唯一组大小 | 3至9删去6 | 3、4、5、7、8、9 |
| 目标反面 | 两人都在其余28位置 | 不放回28/36×27/35 |
首选解法与替代解法
首选解法
先用最小和与最大倍数限制恢复人数，锁定8人目标组。再用补事件1减两人均不进组的概率，逐次减少总位置和非目标位置。
替代解法
组合计数法：两人所在的无序位置共C(36,2)=630，对应至少1目标位置的有8×28+C(8,2)=252，概率252/630=40%。正面分类与反面计数所得一致，且每一种人员安排对位置样本的权重相同。
A—D逐项核验与干扰项设置
| 选项 | 核验结果 | 干扰项机制或决定条件 |
|---|---|---|
| A | 排除 | 25%不等于本题目标事件计数结果。 |
| B | 排除 | 30%低估至少一人事件，可能漏掉一类恰1人情形。 |
| C | 排除 | 35%未按无放回位置数精确计算。 |
| D | 正确 | 40%由唯一8人组及补事件得到。 |
易错点与复盘
组大小不相同不表示成员进入各组的概率都1/6。
至少1包含恰1和2，不含0。
给定甲去向后，乙的分母是35。
原创迁移训练
完成以下五道训练题，先独立判断，再核对答案。
原创题1
30名学生随机分入5个有标识的小组，组人数互不相同，每组至少4人，最大组不超过最小组2倍；在满足组大小后，人员位置等可能随机分配。指定甲乙丙三人，恰有2人进入人数最多小组的概率是多少？
A. 112/1015
B. 154/1015
C. 176/1015
D. 224/1015
原创题2
26人随机分成4个有标识小组，人数不同且每组至少5人；在满足组大小后，人员等可能随机分配。已知甲乙不在同一组，问两人恰好一人在人数最多组、另一人在人数最少组的条件概率是多少？
A. 40/325
B. 40/251
C. 80/325
D. 80/251
原创题3
32人分成4个有标识小组，各组人数是连续的4个正奇数，成员在既定组大小下等可能随机分配。已知甲进入人数最多组，问另外指定乙丙两人中至少1人进入人数最少组的概率是多少？
A. 25/93
B. 26/93
C. 28/93
D. 30/93
原创题4
35人随机分入5个有标识小组，人数两两不同且每组至少4人，任何一组人数不超过另一组的2倍，人员位置等可能随机分配。随机指定的甲乙两人在同一组且该组不是最大组的概率是多少？
A. 70/595
B. 74/595
C. 80/595
D. 110/595
原创题5
28人分入4个有标识小组，每组人数均为不同的正偶数，任何一组人数不得超过另一组的3倍，人员位置等可能随机分配。已知指定甲乙至少1人进入人数最多组，问两人都进入该组的条件概率是多少？
A. 1/6
B. 1/5
C. 1/4
D. 1/3
原创题答案
1. B；2. B；3. C；4. B；5. B。
第1题答案依据
最小若5则至少35人，故4；最大≤8，五组只能4、5、6、7、8。目标组8，三指定人的位置组合共C(30,3)=4060，恰两目标为C(8,2)×22=616，概率154/1015。
第2题答案依据
四个不同且至少5的最小和就是5+6+7+8=26，组大小唯一。全部两位置C26,2=325，同组共有10+15+21+28=74，异组251；最大最小组之间有8×5=40对，所以40/251。
第3题答案依据
四数为5、7、9、11。甲占最大组1位置后剩31位置，最小组仍5，其余26。乙丙至少1在最小组=1−26×25/(31×30)=280/930=28/93。不能仍用32为总数。
第4题答案依据
若最小4，则最大≤8，五组只能4至8、和30，与35不符；最小至少6时最小和40，故最小5，五组5至9和35唯一。符合的两位置数C5,2+C6,2+C7,2+C8,2=74，总C35,2=595，概率74/595。
第5题答案依据
最小2则最大≤6，只有2、4、6三个偶数不够四组；最小至少6则最小和36，故最小4，四组4、6、8、10和28唯一。最大组10，二人都进组合45，至少1进组合C28,2−C18,2=378−153=225，条件概率45/225=1/5。
青云训练闭环
先不看解析，独立写出变量、单位和等量条件，再用另一种方法或回代复核。把错误分成关系读错、时间或单位错位、计算失误、整数边界遗漏四类。首次完成后隔日重做五道原创题；每次记录列式、结果与耗时，重点比较是否仍需依赖原题的数字提示。
可在一人一AI老师与青云题库AI学习系统中保留首次作答、错误理由和复测记录，再由教师结合具体题面复核。按考点保存列式、材料定位与错因。学习效果可视化应展示判断依据是否改进，不把答对一道题等同于稳定掌握；上传学习记录时仅保留必要信息。
常见问题FAQ
最小组为什么不能4人？
六组不同整数至少4时最小总和39，超过36。
为什么从3到9删6？
七数和42，实际少6且只少一个数。
第二多组几人？
排序后为8人，最大为9人。
为何不是两人各独立抽组？
组容量固定且不等，同一个位置不能被两人占据。
至少1的反面是什么？
两人都不在目标组。
已知甲去向还能用36作分母吗？
计算乙丙等剩余人员时要更新位置总数，依条件重新计数。
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来源与免责声明
题面与参考答案来自用户提供的本机题本及答案页，不将其标为官方发布题本。解析与原创训练由青云教研中心借助AI辅助整理，原创情境均为教学设计。本文服务于题目研究，不构成考试预测或结果承诺。
原题已对照本机题本原页目视核验；解法按题面条件独立推导并回代。本机配套答案首页年份与成员名不一致，本篇身份以2024副省级题本、题号与内容对应为准。原创情境为教学设计。
引用与权威来源
常见问题
最小组为什么不能4人？
六组不同整数至少4时最小总和39，超过36。
为什么从3到9删6？
七数和42，实际少6且只少一个数。
第二多组几人？
排序后为8人，最大为9人。
为何不是两人各独立抽组？
组容量固定且不等，同一个位置不能被两人占据。
至少1的反面是什么？
两人都不在目标组。
已知甲去向还能用36作分母吗？
计算乙丙等剩余人员时要更新位置总数，依条件重新计数。