2024国考副省级第68题：等面积分区如何确定中央正方形边长
内容摘要：设中央方形距外边为h，四角三角形直角边2h；等面积使中央边长s=3h，四角总面积8h²对中央9h²。
先给结论
题型：数量关系：几何分割与面积比。正确答案：A。核心依据：设中央方形距外边为h，四角三角形直角边2h；等面积使中央边长s=3h，四角总面积8h²对中央9h²。
更新时间：2026年9月28日。适用范围：2024年国家公务员录用考试行测副省级第68题；依题本材料和明确条件作答。
完整题面
68． 设计师将一个正方形的大厅分成如下图所示的几个区域，已知所有的三角形都是等腰直角三角形，
梯形都是等腰梯形，且所有三角形和梯形面积均相等。在三角形的区域铺设地砖，在中间的正方形
区域铺设木地板，问地砖和木地板的面积比是多少：
A．8：9
B．16：9
C．2：3
D．4：3
命题思路与考点结构
先完整识别原图：一个外正方形，中间为与外边平行的正方形，四角各一等腰直角三角形，四边各一等腰梯形。题目只在三角形区铺地砖，梯形区没有算入地砖；木地板只在中央正方形。把全部外圈都算成地砖，就会把分子从8变成16，恰落入干扰项B。
设中央正方形边长s，中央方形与外方形对应边的距离为h。由四边等腰梯形的轴对称关系与四角等腰直角三角形，中央方形居中，角部斜线通过中央方形顶点。每个角部三角形两直角边均为2h，因此面积2h²。外方形边长s+2h。
取下侧梯形，内侧长底为s，外侧短底为外边扣两端各2h，即s−2h，高为h。梯形面积为[s+(s−2h)]h/2=h(s−h)。题面说每个三角形与每个梯形面积均相等，所以2h²=h(s−h)，h>0时得s=3h。
四个三角形面积合计8h²，木地板9h²，所求8:9。若取h=1，则外方形边长5，总面积25；中央9、四个三角形8、四个梯形8，合计恰25。完整区域守恒提供复核，且说明地砖面积不含梯形。
图中没有实际米数也不需要补测。相似放缩会使所有面积同乘比例的平方，面积比保持不变。比例赋值h=1用于简化运算，不能把示意图在屏幕上的像素当真实长度。配套解析有个别公式分子或分母提取缺失，本篇按原图重新构建统一符号并验算面积守恒。
| 核验对象 | 决定性限定 | 容易混淆的边界 |
|---|---|---|
| 角部三角形 | 直角边2h，面积2h² | 共有4个 |
| 边部梯形 | 两底s和s−2h，高h | 面积h(s−h) |
| 等面积条件 | 2h²=h(s−h) | 中央边s=3h |
| 铺设面积 | 地砖8h²，木地板9h² | 梯形不计入地砖 |
首选解法与替代解法
首选解法
设边距h和中央边长s，利用等腰直角三角形确定角部边长2h，再用梯形面积与三角形面积相等求s/h=3。最后只把四个三角形相加除以中央面积。
替代解法
统一赋值边距1，角三角形面积2；与其等面积的梯形高1，两底和4，且内底比外底长2，因此两底3和1，中央边3、面积9。外方形边5，25−9−4×2=8，也从剩余面积复核三角形合计8。
A—D逐项核验与干扰项设置
| 选项 | 核验结果 | 干扰项机制或决定条件 |
|---|---|---|
| A | 正确 | 8:9准确比较四角三角形与中央正方形。 |
| B | 排除 | 16:9把四个梯形也算入地砖区域。 |
| C | 排除 | 2:3可能将单个面积与边长比例混合。 |
| D | 排除 | 4:3不是题设等面积推出的面积比。 |
易错点与复盘
“所有三角形和梯形面积相等”是单块相等，不是两类总和与中央相等。
不要把边长比直接当面积比。
看清铺设材料对应区域，四边梯形是干扰区域。
原创迁移训练
完成以下五道训练题，先独立判断，再核对答案。
原创题1
本题图将正方形大厅分成中央正方形、四个角部等腰直角三角形和四个边部等腰梯形，中央边平行外边，各角斜线经过中央顶点，四边间距相同。每个梯形面积是每个角三角形的2倍，中央正方形面积100平方米。三角区每平方米铺装30元，梯形区20元，中央区50元。无损耗，全部铺完需多少元？
A. 6920
B. 7040
C. 7240
D. 7520
原创题2
本题图的外内正方形边平行且同心，四角为等腰直角三角形，斜边通过内方形顶点，边间区域为等腰梯形。四个梯形面积之和为四个三角形面积之和的3倍，外正方形周长72米。只给中央正方形铺木板，购入木板面积有2%损耗，剩余恰覆盖中央且面积可连续采购。至少购入多少平方米？
A. 196
B. 198
C. 200
D. 204
原创题3
本题图的外正方形边长20米，中央正方形同心且边平行外边，四角为等腰直角三角形，斜边通过中央顶点，其余为四个等腰梯形。外圈全部按40元/平方米铺石材，中央按60元/平方米铺木板，合计21120元，无损耗或其他费用。问每个梯形面积是多少平方米？
A. 24
B. 26
C. 28
D. 32
原创题4
本题双图是同一边长12米的正方形大厅两种方案。各方案均有同心且边平行的中央正方形，四角为斜边通过中央顶点的等腰直角三角形，四边为等腰梯形。改造前每个角三角形面积2平方米，改造后每个为8平方米。问四个梯形的总面积比改造前增加了多少？
A. 1/4
B. 1/3
C. 2/5
D. 1/2
原创题5
本题图外正方形边长10，中央正方形同心、边平行，四角均为等腰直角三角形，角部斜边通过中央顶点，其余为四个等腰梯形。每个梯形面积为6，且外侧短底长度严格大于0。问中央正方形边长是多少？
A. (20−2√7)/3
B. (20+2√7)/3
C. (10+√7)/3
D. (10−√7)/3
原创题答案
1. C；2. C；3. C；4. B；5. B。
第1题答案依据
设边距h中央边s10，梯形h(s−h)=2×2h²，得s5h、h2。三角合计32平方米，梯形64，中央100；费用32×30+64×20+100×50=7240。面积和196等于外边14的平方。
第2题答案依据
每梯形仍为角三角形3倍，h(s−h)=6h²得s7h；外边s+2h=18，所以h2、s14，中央196。购入量X满足0.98X=196，X200。直接加2%得到199.92不足。
第3题答案依据
中央面积S满足40(400−S)+60S=21120，S256、中央边16，边距h2。单梯形面积h(s−h)=2×14=28。四角总32、四梯形112、中央256合计400，费用一致。
第4题答案依据
角面积2h²，前h1后h2；中央边前10后8。四梯形面积前4×1×(10−1)=36，后4×2×(8−2)=48，增幅12/36=1/3。
第5题答案依据
边距h，中央s=10−2h，梯形面积h(10−3h)=6，h=(5±√7)/3。外短底s−2h=10−4h>0要求h<2.5，较大根约2.549不合，取较小根约0.785。s=(20+2√7)/3，另一个代数根不能构成题图。
青云训练闭环
先不看解析，独立写出变量、单位和等量条件，再用另一种方法或回代复核。把错误分成关系读错、时间或单位错位、计算失误、整数边界遗漏四类。首次完成后隔日重做五道原创题；每次记录列式、结果与耗时，重点比较是否仍需依赖原题的数字提示。
可在一人一AI老师与青云题库AI学习系统中保留首次作答、错误理由和复测记录，再由教师结合具体题面复核。按考点保存列式、材料定位与错因。学习效果可视化应展示判断依据是否改进，不把答对一道题等同于稳定掌握；上传学习记录时仅保留必要信息。
常见问题FAQ
地砖包括四个梯形吗？
原题只指定三角形区铺地砖，梯形不计入。
为什么角三角形边长2h？
角斜线为45度且经过距两外边均h的内方形顶点，与外边交距为2h。
梯形的短底是多少？
外边s+2h扣两端各2h，得到s−2h。
等面积如何推出s=3h？
2h²=h(s−h)，除正数h即可。
把h设为1会改变答案吗？
只改变统一尺度，不改变相似图形面积比。
方程两个根都能用吗？
不能，还要使所有边长和梯形短底为正，符合原图拓扑。
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来源与免责声明
题面与参考答案来自用户提供的本机题本及答案页，不将其标为官方发布题本。解析与原创训练由青云教研中心借助AI辅助整理，原创情境均为教学设计。本文服务于题目研究，不构成考试预测或结果承诺。
原题已对照本机题本原页目视核验；解法按题面条件独立推导并回代。本机配套答案首页年份与成员名不一致，本篇身份以2024副省级题本、题号与内容对应为准。原创情境为教学设计。
引用与权威来源
常见问题
地砖包括四个梯形吗？
原题只指定三角形区铺地砖，梯形不计入。
为什么角三角形边长2h？
角斜线为45度且经过距两外边均h的内方形顶点，与外边交距为2h。
梯形的短底是多少？
外边s+2h扣两端各2h，得到s−2h。
等面积如何推出s=3h？
2h²=h(s−h)，除正数h即可。
把h设为1会改变答案吗？
只改变统一尺度，不改变相似图形面积比。
方程两个根都能用吗？
不能，还要使所有边长和梯形短底为正，符合原图拓扑。