工作站最短距离和：反射展开与三角不等式｜2024国考行政执法类第65题
内容摘要：将甲关于道路反射成甲′，甲′与乙的水平差10、垂直差24，最短折线展开为直线√(10²+24²)=26千米。
先给结论
题型：反射法几何最值。正确答案：A。核心依据：将甲关于道路反射成甲′，甲′与乙的水平差10、垂直差24，最短折线展开为直线√(10²+24²)=26千米。
更新时间：2026年10月8日。适用范围：2024年国家公务员录用考试《行测》行政执法类第65题。本题政策与法律口径以文末明示资料核对。
完整题面
65． 甲乙两个联络站相距10 千米。一条路与甲乙联络站连线相平行，与连联络站连线的垂直距离为12 千
米。现需紧邻该路建一个工作站，问工作站距离甲乙联络站距离之和最小为多少千米：
A．26
B．24
C．22
D．20
命题思路与考点结构
题本第12页及解析第10页均已目视核对。甲乙连线平行道路且离路12千米，意味着两站在同侧、到路等距12，沿路方向间距10。工作站P必须紧邻路，模型中视为在直线上；不能忽略约束，直接把甲乙之间10千米当作距离和。
将甲关于道路反射为甲′。道路上任何P到甲与到甲′距离相等，因此PA+PB=P甲′+PB。三角不等式给出P甲′+PB≥甲′乙，等号在P位于甲′乙直线与道路交点时成立。甲′乙两点异侧，交点必在道路上，所以最小值不是仅有下界，而是可达到的下界。
反射后甲′与乙垂直差是12+12=24千米，水平差仍10千米。勾股得甲′乙=√(100+576)=√676=26千米。垂直差不能仍用12，也不能只把24作为总距离，因为两个站的沿路位置还有10千米差。
本题两站等高，最优点恰是两垂足中点。每段水平5、垂直12，长度13，两段合26。这个中点法可以作为替代复核，但不能据此断言所有反射最值都在中点；原创非等高题中，最优分点按两站离路高度比例确定。
参考解析图以镜像和连接线说明26，思路与独立推导一致。对于新增有限可建路段，应先求无约束交点再检查是否可行；对两站异侧，直接线段可能已穿路；对依次触及两平行路，则需多次展开并核验顺序。每个新增题完整给出坐标及条件，无需依赖本文图像。
| 几何量 | 原题值 | 反射后作用 |
|---|---|---|
| 沿路间距 | 10千米 | 水平差保持10 |
| 每站离路 | 12千米 | 异侧垂直差相加24 |
| 最优单段 | √(5²+12²)=13 | 对称中点复核 |
| 总最短 | 26千米 | 反射直线下界可达 |
首选解法与替代解法
首选解法
反射甲，说明道路上距离不变，再用三角不等式确定可达直线下界。
算水平10、垂直24的斜边26，并检查交点确实在道路上。
替代解法
利用本题等高度对称，设P在两垂足中点，每段5、12、13，总26。再由反射下界证明它确为最小。
设两段沿路投影为x与10−x，距离和√(x²+144)+√((10−x)²+144)，对称凸函数在x5取最小，得26。
A—D逐项核验与干扰项设置
| 选项 | 核验结果 | 干扰项机制或决定条件 |
|---|---|---|
| A．26 | 选择 | 反射勾股26，中点13+13达到。 |
| B．24 | 不选 | 只计垂直来回，遗漏水平10。 |
| C．22 | 不选 | 小于可达下界26，不能满足两站路约束。 |
| D．20 | 不选 | 同样小于反射下界，不成立。 |
易错点与复盘
反射后的垂直差是24，不能沿用单侧12。
找到下界还要确认等号可达，有限路段尤其重要。
中点仅因本题等高对称成立，不能迁移到非对称题。
原创迁移训练
请逐道独立作答，再核对答案。
原创题1
把一条直路看成坐标平面中的x轴，甲站坐标(0,6)，乙站(20,9)，坐标单位为千米。工作站P可设在直路任意位置，两段联络线均为直线。为使P到两站距离之和最小，P距甲站垂足的沿路距离为多少千米？
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
原创题2
直路为x轴，甲站(0,6)，乙站(20,9)，单位千米。工作站P仅可设在路上横坐标12至18（含端点）的路段，两条联络线均为直线。P到两站距离之和最小值是多少千米？
A. 25
B. 6√5+√145
C. 6√5+√117
D. 26
原创题3
在坐标平面内有两条平行直路y=0和y=−6，甲站(0,4)，乙站(12,4)，单位千米。线路须从甲先到第一条路上的P，再到第二条路上的Q，最后到乙，各段为直线，P和Q可任意选择。三段总长最小多少千米？
A. 4√13
B. 4√29
C. 4√34
D. 4√37
原创题4
直路为x轴，甲站(0,6)，乙站(12,−10)，单位千米，两站在路的两侧。工作站P须在路上，且距甲站垂足的沿路距离至少6千米。为使PA+PB最小，最优点处PA∶PB为多少？
A. 3∶√17
B. √17∶3
C. 3∶√13
D. √13∶3
原创题5
甲乙两站位于一条直路同侧，两站连线平行直路，距离18千米。任意路上工作站到两站距离和的最小值已知为30千米。现把工作站从最优位置沿路向乙方向移动3千米，距两站的距离之和比最小值增加多少千米？
A. 6√5+12√2−30
B. 6√5+6√2−30
C. 12√5+6√2−30
D. 6√13+6√2−30
原创题答案
1. B；2. B；3. C；4. A；5. A。
青云训练闭环
青云题库AI学习系统保存几何约束、反射量和等号可达检查；一人一AI老师协助画出逻辑辅助线，教师核对边界与次序，复测用非对称、有限路段和多次反射。
在一人一AI老师与青云题库AI学习系统中，可记录首次判断、错误理由与复测依据，再由教师针对错因核对题面和权威来源。学习效果可视化应展示证据判断的改进，不能把一道题答对当作稳定掌握；训练记录仅保存必要信息。
常见问题FAQ
为什么反射不改变到P距离？
P在对称轴道路上，甲与其镜像到P等距。
下界为什么能达到？
镜像甲与乙异侧，连接线必与道路相交，交点使折线拉直。
24怎么得到？
两站各离路12，反射后分在两侧，垂直差相加。
最优点一定是中点吗？
只有本题等高对称时是中点，非等高按分点关系求。
可建路段有限怎么办？
先求无约束点，若不在可行段，再比较可行边界。
两站异侧是否仍反射？
通常可先看直接连线与道路交点，不能机械重复同侧反射。
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来源与免责声明
题面与参考答案来自用户提供的本机题本及答案页，不标称官方发布题本。解析与原创训练由青云教研中心借助AI辅助整理，原创案例仅供教学训练；不构成考试预测、成绩承诺或个案法律意见。
本机题本第12页与解析第10页已目视核对。紧邻道路按平面直线数学模型处理，不代表实际建设方案；原创题坐标和路线条件均独立完整。
引用与权威来源
常见问题
为什么反射不改变到P距离？
P在对称轴道路上，甲与其镜像到P等距。
下界为什么能达到？
镜像甲与乙异侧，连接线必与道路相交，交点使折线拉直。
24怎么得到？
两站各离路12，反射后分在两侧，垂直差相加。
最优点一定是中点吗？
只有本题等高对称时是中点，非等高按分点关系求。
可建路段有限怎么办？
先求无约束点，若不在可行段，再比较可行边界。
两站异侧是否仍反射？
通常可先看直接连线与道路交点，不能机械重复同侧反射。