折纸不等于面积减半：2023国考行政执法类第75题投影去重
内容摘要：按题本配套解析所示的上部向下、左部向右折法，第一次投影对应b+d，第二次扣除重复覆盖的a，得到b+d−a，选D。这里计算的是压平后的覆盖范围，不是所有纸层面积之和。
先给结论
题型：图形推理·平面折叠与投影面积。正确答案：D。核心依据：按题本配套解析所示的上部向下、左部向右折法，第一次投影对应b+d，第二次扣除重复覆盖的a，得到b+d−a，选D。这里计算的是压平后的覆盖范围，不是所有纸层面积之和。
更新时间：2026年9月24日。适用范围：2023年国家公务员录用考试行测行政执法类第75题；依题本材料和明确条件作答。
完整题面
一、图形推理。请按每道题的答题要求作答。
请开始答题：
75． 将一张直角三角形形状的纸片进行两次折叠，展开后的折痕将该三角形分成如图所示的a、b、c、d
四个部分，则两次折叠后的纸片投影面积为：
A．b+d+c-a B．b+d-c
C．b+c-a D．b+d-a
命题思路与考点结构
原图用一条水平折痕和一条竖直折痕将直角三角形分成a、b、c、d四区。字母表示各区面积，题目询问两次折叠后的纸片投影面积。投影只看平面上哪些位置被纸片覆盖，同一个位置有两层、三层或更多层，都只在覆盖面积中计一次。
配套解析给出的操作顺序是先将上方的c、d沿水平折痕向下折，再沿竖直折痕将左侧部分向右折。先做第一次反射并比较新旧覆盖范围，c落入已有覆盖，d与下方区域共同形成的外轮廓可用b+d表示。这里没有把c遗漏，而是它没有额外增加投影。
第二次折叠要在第一次已经形成的覆盖范围上操作，不能回到未折的四块图重新随意相加。左侧反射到右侧后，有一块面积为a的范围在合并覆盖中重复计入，所以最终投影为b+d−a。只扣一次重复区域，得到选项D。
题本原题没有在文字中逐条写出折叠方向，配套解析的折叠示图补充了上述操作口径。本文按这一预期折法解释答案；该表达式不是任意直角三角形、任意两条折痕都能使用的通式。若折痕位置或方向改变，应重新反射并求覆盖范围，不能照搬字母公式。
图中四区的形状和相互位置提供了覆盖判断依据，但原示意图不标长度，不能直接量屏幕像素来推导精确面积比例。原创题为了使计算可独立复核，逐题明确三角形顶点坐标、折线位置、移动方向和所求面积口径，避免依赖图片比例猜答案。
| 阶段 | 计算对象 | 面积表达 | 关键理由 |
|---|---|---|---|
| 未折 | 全部纸片材料 | a+b+c+d | 材料总量 |
| 第一次折叠 | 压平后的覆盖范围 | b+d | 部分区域重叠不新增投影 |
| 第二次折叠 | 最终覆盖范围 | b+d−a | 重复覆盖a只计一次 |
| 材料守恒检查 | 各层面积累加 | 仍为原纸面积 | 与投影面积不是同一统计量 |
首选解法与替代解法
首选解法
首选方法是按折痕逐次作轴对称。把折痕看作镜面，确定移动部分的对应位置，再把反射后的区域与不动区域叠放。每完成一次折叠，都先画出当前外轮廓，再考虑下一次，避免把不同阶段的区域放在同一张原图上混算。
对原题，先确认第一次范围用b+d表示，再在第二次合并中标出a的重复覆盖，直接得b+d−a。选择D以后，回看c为什么没有新增面积、a为什么只减一次，这两点比记住答案表达式更能防止迁移时出错。
替代解法
替代法采用覆盖集合。用每块纸折后所占的平面区域构成集合，最终投影就是这些集合的并集；两集合相加时减去交集，多个集合则按重叠层数处理。这个方法能解释为什么纸片总面积不变而投影面积减少，也能适应不规则折痕位置。
有坐标时，可将位于水平线y=b上方的点变为(x,2b−y)，位于竖线x=a右侧的点变为(2a−x,y)。分片变换后计算多边形并集。再将恰一层、恰两层等区域面积按层数加权求和，结果应等于原材料面积，形成另一种守恒复核。
A—D逐项核验与干扰项设置
| 选项 | 核验结果 | 干扰项机制或决定条件 |
|---|---|---|
| A | 排除 | b+d+c−a在正确并集上又加c，重复计入已经覆盖的面积。 |
| B | 排除 | b+d−c扣除了错误的区域，第二次重复覆盖需要扣a。 |
| C | 排除 | b+c−a把参与外轮廓的d错误替换为c。 |
| D | 选择 | 第一次b+d，再扣第二次重复计入的a。 |
易错点与复盘
折一次不一定让投影恰好减半。只有特定对称折法才能得到这样的比例；偏离中点的折痕可能让部分纸伸出原范围，也可能让某些位置叠多层。先看覆盖，再算比例。
材料面积与覆盖面积应分开记录。若没有剪去纸，材料面积守恒；投影范围则可能缩小。若题目问恰好两层，既不能算并集，也不能把至少两层全部计入，三层四层必须剔除。
剪去一块纸后，投影未必减少同样面积。那块纸折到的位置若仍被其他纸层覆盖，投影不会缺失；只有原来仅由它覆盖的部分才真正减少。需要比较剪前剪后的覆盖并集。
同一数值结果可能对应不止一个折痕位置。反求参数时不能只找出一个满足值就停止，应把题目给定的全部候选代入。原创题第五题特意设置两个不同折痕产生同一非目标面积，训练完整回代。
原创迁移训练
完成以下五道训练题，先独立判断，再核对答案。
原创题1
一张直角三角形纸片在平面坐标中顶点为O(0,0)、(12,0)、(0,8)，坐标长度单位为厘米。先将y>3的部分沿y=3向下折，再将当时x>4的全部纸层沿x=4向左折。两次均完全压平，重叠位置在投影中只计一次。最终纸片投影面积是多少？图中蓝线为第一次折痕，红线为第二次折痕；所有坐标、折法与选项均只适用于本题。
A. 119/6平方厘米
B. 61/3平方厘米
C. 125/6平方厘米
D. 64/3平方厘米
原创题2
直角三角形纸片顶点为(0,0)、(10,0)、(0,10)，长度单位为厘米。先把y>3部分沿y=3向下折，再把当时x>4的全部纸层沿x=4向左折。纸片无厚度且完整压平。最终投影中恰好被两层纸覆盖的区域面积是多少？三层、四层位置均不能计入。图中蓝线为第一次折痕，红线为第二次折痕；所有坐标、折法与选项均只适用于本题。
A. 0平方厘米
B. 1/2平方厘米
C. 1平方厘米
D. 3/2平方厘米
原创题3
纸片是顶点(0,0)、(12,0)、(0,12)的直角三角形，长度单位为厘米。先把y>4部分沿y=4向下折，再把当时x>4的全部纸层沿x=4向左折。最终至少三层纸覆盖的区域，占最终整个投影面积的几分之几？投影按覆盖范围计一次，层数按该位置叠放的纸片层数计。图中蓝线为第一次折痕，红线为第二次折痕；所有坐标、折法与选项均只适用于本题。
A. 1/6
B. 1/4
C. 1/3
D. 1/2
原创题4
直角三角形原纸片顶点为(0,0)、(14,0)、(0,10)，长度单位为厘米。先剪去9≤x≤12、0≤y≤1的矩形部分，该部分与原底边相接。对剩余纸片，先把y>4部分沿y=4向下折，再把当时x>5的全部纸层沿x=5向左折。与未剪切的完整三角形按相同两次折法相比，最终投影面积减少多少？图中蓝线为第一次折痕，红线为第二次折痕；所有坐标、折法与选项均只适用于本题。
A. 3/2平方厘米
B. 2平方厘米
C. 5/2平方厘米
D. 3平方厘米
原创题5
直角三角形纸片顶点为(0,0)、(12,0)、(0,9)，长度单位为厘米。先将y>3部分沿y=3向下折，第二次把当时x>t的全部纸层沿x=t向左折，其中t只能取3、4、5、6之一。最终投影面积为45/2平方厘米，t是多少？图中四条红色虚线是候选折痕，第二次只选其中一条。图中蓝线为第一次折痕，红线为第二次折痕；所有坐标、折法与选项均只适用于本题。
A. 3厘米
B. 4厘米
C. 5厘米
D. 6厘米
原创题答案
1. B；2. B；3. D；4. B；5. C。
青云训练闭环
先用原题练习逐次描外轮廓，再用坐标题记录每片反射位置。将错误分为折向错误、重复区域漏扣、层数口径错误、剪切补盖遗漏或参数回代不全，复测时用材料守恒与并集计算交叉核验。
可在一人一AI老师与青云题库AI学习系统中保留首次作答、错误理由和复测记录，再由教师结合具体题面复核。按考点保存列式、材料定位与错因。学习效果可视化应展示判断依据是否改进，不把答对一道题等同于稳定掌握；上传学习记录时仅保留必要信息。
常见问题FAQ
投影面积为什么不能把四块直接相加？
四块折后可能重叠，投影对同一位置只计一次，直接相加得到的是材料面积。
原题c去了哪里？
按配套解析预期折法，c落入已有覆盖范围，不再新增投影面积。
每折一次都减半吗？
不一定，取决于折痕位置、方向以及反射后的重叠范围。
恰两层和至少两层有什么区别？
恰两层排除三层四层；至少两层则包含所有两层及以上位置。
能直接量原图计算比例吗？
不能，原题是示意图，精确计算需要明确尺寸或可推导的几何关系。
怎样独立复核原创题？
分片反射后求覆盖并集，再用各层面积按层数加权求和检查材料面积守恒。
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来源与免责声明
题面与参考答案来自用户提供的本机题本及答案页，不将其标为官方发布题本。解析与原创训练由青云教研中心借助AI辅助整理，原创情境均为教学设计。本文服务于题目研究，不构成考试预测或结果承诺。
引用与权威来源
常见问题
投影面积为什么不能把四块直接相加？
四块折后可能重叠，投影对同一位置只计一次，直接相加得到的是材料面积。
原题c去了哪里？
按配套解析预期折法，c落入已有覆盖范围，不再新增投影面积。
每折一次都减半吗？
不一定，取决于折痕位置、方向以及反射后的重叠范围。
恰两层和至少两层有什么区别？
恰两层排除三层四层；至少两层则包含所有两层及以上位置。
能直接量原图计算比例吗？
不能，原题是示意图，精确计算需要明确尺寸或可推导的几何关系。
怎样独立复核原创题？
分片反射后求覆盖并集，再用各层面积按层数加权求和检查材料面积守恒。