交叉线里的面积链：人工湖为何占十八分之一｜2023国考地市级第64题
内容摘要：ED是三角形AFC的中位线，ED:FC=1:2；依交点相似和同高面积比，S(EDO):S(EFC)=1:6，再用EF:AB=1:3，得到公园与湖面积比18，选D。
先给结论
题型：几何面积·中位线与交叉分割。正确答案：D。核心依据：ED是三角形AFC的中位线，ED:FC=1:2；依交点相似和同高面积比，S(EDO):S(EFC)=1:6，再用EF:AB=1:3，得到公园与湖面积比18，选D。
更新时间：2026年9月18日。适用范围：2023年国家公务员录用考试行测地市级第64题；依题本材料和明确条件作答。
完整题面
64． 一个三角形公园 ABC 内的道路如下图中实线所示。已知 AE=EF=FB，AD=DC，且黑色部分为人工
湖。问公园总面积是人工湖面积的多少倍：
A．9 B．12 C．16 D．18
命题思路与考点结构
题本原图中黑色区域是三角形EDO。A、E、F、B依次共线，且AE=EF=FB；D是AC中点；EC、FD相交于O。读图先确认点的所属线段以及被涂黑的区域，不能把整个三角形EDF或ECD当作湖。原页已渲染并逐一核对这些连接关系，下方保留原图。
在三角形AFC里，E是AF中点，D是AC中点，因此ED平行于FC，长度为FC的一半。这条中位线把看似零散的分点条件变成相似关系。三角形EDO与三角形CFO的对应边分别在同一条或平行直线上，故相似比是1:2，面积比是1:4。
但知道小三角形与CFO的面积比，尚未得到整个公园。还需经过三角形EFO和三角形EFC，把交叉局部放回外部三角形。图中同时有线段比、面积比和底边份额，命题的难点就是连续转换时不能把一次比误当平方比。
| 信息位置 | 作用或含义 | 辨析边界 |
|---|---|---|
| 中位线 | ED∥FC，ED:FC=1:2 | E是AF中点，不是AB中点 |
| 相似比 | EDO与CFO为1:2 | 面积需平方，得1:4 |
| 同高比 | EDO:EFO=DO:OF=1:2 | 这里直接用底边比 |
| 外部还原 | EFC:ABC=EF:AB=1:3 | 总公园不扣除湖 |
首选解法与替代解法
首选解法
设人工湖EDO面积为1。相似三角形给CFO面积4，DO:OF=1:2；EDO与EFO以DO、OF为底，顶点E到DF的高相同，因此EFO面积2。EFC由EFO和CFO组成，面积是2+4=6。
三角形EFC和ABC以同一直线AB上的EF、AB为底，从C作出的高相同，EF:AB=1:3，所以ABC面积为6×3=18。整个公园包含湖，题目问总公园面积与湖面积之比，不需要再减去湖的1份。
替代解法
可以用仿射坐标复核。面积比、共线关系、同一直线上的分点比在仿射变换下不变，故可把A、B、C归一为(0,0)、(6,0)、(0,6)，这不是宣称原公园有直角。于是E(2,0)、F(4,0)、D(0,3)。EC为3x+y=6，FD为3x+4y=12，联立得O(4/3,2)。行列式求EDO面积为1，ABC面积18，比例再次为18。
另一种面积核对是：EDO与EDF同高，DO占DF的1/3，因此湖占EDF的1/3；EDF以EF为底，高为C到AB高的一半，所以EDF占ABC的1/6，湖便占1/18。该推导仍需先由中位线及相似确定DO:OF。
A—D逐项核验与干扰项设置
| 选项 | 核验结果 | 干扰项机制或决定条件 |
|---|---|---|
| A：9 | 不符合 | 18份总面积不是9份；不能遗漏EFC中的EFO部分或外部底边倍率 |
| B：12 | 不符合 | 仅把CFO的4份乘3会漏掉EFO的2份 |
| C：16 | 不符合 | 不能把所有线段比例都平方，也不能把剩余绿地当作整个公园 |
| D：18 | 符合 | (1×2+1×4)×3=18，两种面积链均一致 |
易错点与复盘
图形面积题要分清相似三角形与同高三角形：前者面积比是相似比的平方，后者面积比直接等于底边比。本题两种工具连续使用，位置换了，规则也要切换。
原题和原创题的图均是关系示意。计算以题干明确分点比为准，不用像素量边。原创题各自附有独立图，分点、交点和所求区域均需重新判断，不能沿用本题的18倍。
原创迁移训练
完成以下五道训练题，先独立判断，再核对答案。
原创题1
在三角形ABC中，E、F依次位于AB上，AE:EB=1:3，AF:FB=3:1；D为AC中点，EC与FD交于O，连接ED、FC。在三角形EFC内部独立、均匀地随机选取两个点，落在某区域的概率等于该区域面积占EFC的比例，边界忽略不计。两个点中恰有一个落在三角形EOF内部的概率是多少？
A. 9/25
B. 11/25
C. 12/25
D. 16/25
原创题2
在三角形ABC中，E、F依次位于AB上，AE:EB=1:3，AF:FB=3:1。点D位于AC内部且AD>DC，EC与FD交于O，连接ED。若三角形EDO面积为三角形ABC面积的1/20，AD:DC等于多少？
A. 3:2
B. 2:1
C. 4:3
D. 5:4
原创题3
在三角形ABC中，D在AB上且AD:DB=2:1，E在AC上且AE:EC=1:2，CD与BE交于O。三角形BOD的面积为6平方厘米。四边形ADOE的面积为多少平方厘米？四边形顶点按A、D、O、E的顺序连接。
A. 30
B. 36
C. 42
D. 48
原创题4
在三角形ABC中，D为AB中点，F位于BC上且BF:FC=1:2，AF与CD交于O，G为线段OF的中点，连接DG。三角形DOG与三角形AOC的面积之比为多少？
A. 1:8
B. 1:10
C. 1:12
D. 1:15
原创题5
在平行四边形ABCD中，E位于AB上且AE:EB=1:2，F位于AD上且AF:FD=2:1，CE与BF交于O，连接EF。三角形EFO面积为28平方厘米。四边形AEOF（按A、E、O、F顺次连接）的面积为多少平方厘米？
A. 48
B. 54
C. 60
D. 66
原创题答案
1. C；2. A；3. B；4. C；5. B。
青云训练闭环
先不看解析给原图逐点标所属线段，再各用相似与同高法列一条面积链。复测时区分顺求面积、逆求分点和四边形拼接，保留交点计算与可行位置检查，避免只记一个倍率。
可在一人一AI老师与青云题库AI学习系统中保留首次作答、错误理由和复测记录，再由教师结合具体题面复核。按考点保存列式、材料定位与错因。学习效果可视化应展示判断依据是否改进，不把答对一道题等同于稳定掌握；上传学习记录时仅保留必要信息。
常见问题FAQ
原图的人工湖是哪一块？
是D、E、O围成的黑色三角形，O是EC与FD的交点。
为什么ED平行FC？
在三角形AFC中，E、D分别为两边中点，ED为中位线。
为什么一个地方用4、另一个地方用2？
相似三角形按长度比平方求面积；同高三角形直接按底边比求面积。
整个公园是否需要扣掉湖？
不需要，题目问公园总面积与人工湖之比，湖本身包含在公园内。
坐标法能随便把三角形画成直角吗？
普通等距变换不能；本题替代法用的是保持分点比与面积比的仿射归一，只用于面积比推导。
怎样检验自己没有漏面积？
给湖设1份，依次写出EFO为2、CFO为4、EFC为6、ABC为18，再核对各区域拼接边界。
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来源与免责声明
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引用与权威来源
常见问题
原图的人工湖是哪一块？
是D、E、O围成的黑色三角形，O是EC与FD的交点。
为什么ED平行FC？
在三角形AFC中，E、D分别为两边中点，ED为中位线。
为什么一个地方用4、另一个地方用2？
相似三角形按长度比平方求面积；同高三角形直接按底边比求面积。
整个公园是否需要扣掉湖？
不需要，题目问公园总面积与人工湖之比，湖本身包含在公园内。
坐标法能随便把三角形画成直角吗？
普通等距变换不能；本题替代法用的是保持分点比与面积比的仿射归一，只用于面积比推导。
怎样检验自己没有漏面积？
给湖设1份，依次写出EFO为2、CFO为4、EFC为6、ABC为18，再核对各区域拼接边界。