复合计数：比较分区数与圆周点数｜2022云南省考第60题

完整题面

60． 把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：

A．①②③，④⑤⑥ B．①②④，③⑤⑥ C．①③④，②⑤⑥ D．①③⑥，②④⑤ 二、定义判断。每道题先给出一个定义，然后列出四种情况，要求你严格依据定义，从中选出一个最 符合或最不符合定义的答案。注意：假设这个定义是正确的，不容置疑的。 请开始答题：

原卷页图：核对图表与选项

答案为B：①②④为一类，③⑤⑥为一类。分类依据是圆内分区数与圆周上不同交点数的大小关系。

这里的“圆周点数”，指内部线条与圆周接触所形成的不同位置数。几条线共用一个圆周端点，该位置只计一次；圆内交点不计入圆周点数。“分区数”只计算圆内被线条分开的区域，不计算圆外区域。

**题干依据：单看一个数量，无法形成选项中的稳定分类。**

六个图形都有圆形外框和内部直线，适合先检查分区、交点、线段等数量。按附图逐个核对，得到：

图形	圆内分区数R	圆周不同交点数P	R-P
①	5	5	0
②	5	5	0
③	7	5	2
④	6	6	0
⑤	6	5	1
⑥	7	6	1

如果只看分区数，会得到①②、④⑤、③⑥三个数值相同的配对；如果只看圆周点数，会得到①②③⑤与④⑥两组。它们都不对应题目要求的分类。此时应比较两个数量之间的关系。

**首选解法：计算差值，再按关系分组。**

设D=R-P。①②④的D均为0，即分区数等于圆周点数；③⑤⑥的D均大于0，即分区数大于圆周点数。因此选择B。

这里的第二类具有共同的大小关系，但差值并不完全相同：③多2个区域，⑤⑥各多1个区域。不能把规律误写成“第二类都比圆周点数多1”。分类题中的共同特征可以是相等、大于、奇偶一致等关系，不要求每个数量都完全一致。

**独立交叉解法：用平面图关系复核分区数。**

直接数区域容易漏掉狭小区域，可以把图形看作连通平面图。将所有圆周接点、圆内交点和线条连接点视为顶点；任意相邻顶点之间的一段直线或圆弧视为一条边。设顶点总数为V，边总数为E，则圆内分区数R=E-V+1。

原因是连通平面图满足V-E+F总=2，而F总包含圆外的一个区域，所以圆内区域数为F总-1=E-V+1。此方法需要计算圆弧边，不能只计算内部线段。

图形	顶点数V	边数E（含圆弧）	E-V+1
①	6	10	5
②	5	9	5
③	7	13	7
④	8	13	6
⑤	7	12	6
⑥	8	14	7

例如，①有5个圆周接点和1个圆内汇合点，共6个顶点；圆周分成5段圆弧，内部有5条连接汇合点与圆周的边，共10条边，所以R=10-6+1=5。②没有圆内交点，5个圆周接点将外框分成5条圆弧，内部有4条边，所以R=9-5+1=5。

这一复核得到的分区数与逐块清点结果一致，再与圆周点数比较，仍然得到①②④相等、③⑤⑥大于。

**A—D逐项判断。**

- A项：①②③同组，但①②满足R=P，③满足R>P；④⑤⑥也混合了两种关系，不符合。 - B项：①②④均满足R=P，③⑤⑥均满足R>P，两组各有共同特征，符合。 - C项：①③④同组，③与①④的关系不同；②⑤⑥同组，②与⑤⑥的关系不同，不符合。 - D项：①③⑥同组，①满足R=P，③⑥满足R>P；②④⑤同组也混合了两种关系，不符合。

**常见错因与迁移方法。**

第一，把线条端点出现的次数当成不同圆周点数。两条线在圆周上共用一个端点，只形成一个位置；同一点被几笔线条使用，也不能重复计算。数圆周点时，可以从圆周顶部出发沿顺时针逐个清点，避免在内部线条之间来回跳转。

第二，把圆内相交与圆周相接混在一起。圆内交点会影响分区，但不属于圆周点。两个计数对象应分开记录。

第三，按线条两两相交的组合数直接增加区域。当多条线在同一点汇合时，不能把同一点重复当作多个独立交点。用“新增线段分面法”复核时，一条新弦若在圆内遇到k个互异的旧线条交点，且没有重合线段，会新增k+1个区域；同一位置只能计一次。

第四，发现局部配对后立即选择答案。①②、③⑥、④⑤的分区数分别相同，这只是单指标配对。应继续检查六个图形，确认能否形成选项要求的两类。

迁移到类似题目时，可以先列出两项计数，再依次检查“是否相等”“谁大谁小”“差值是否固定”“是否存在固定倍数”。若对象包含多层、多个组件或共享端点，还应先统一统计单位、扣除重复位置，再比较数量关系。最后将所得规则代回六个对象，并逐项检查选项，避免只用其中两个图形验证规律。

5道原创迁移练习

以下题目与数据均为青云教学原创模拟，不对应现实机构统计。

原创迁移练习1

以下为教学模拟的六个圆片方案计数记录。每条内部线段的两个端点都位于圆周上。T表示逐条线段累计得到的端点出现次数；d表示恰有两个端点重合的圆周位置数，各方案均不存在三个及以上端点重合的位置，也不存在其他端点重合。R为已经核定的圆内分区数。现按“R等于圆周不同端点数”和“R大于圆周不同端点数”分成两类，正确的一项是：

方案	R	T	d
①	5	6	1
②	7	8	2
③	7	8	1
④	6	6	1
⑤	7	10	3
⑥	7	8	2

A．①③⑤，②④⑥

B．①②④，③⑤⑥

C．①④⑥，②③⑤

D．①⑤⑥，②③④

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答案：A

每个双端点重合位置被T重复计算一次，因此圆周不同端点数P=T-d，依次为5、6、7、5、7、6。R-P依次为0、1、0、1、0、1，所以①③⑤为相等类，②④⑥为大于类，只有A符合。交叉核验可直接比较R+d与T：两者相等的仍为①③⑤，前者较大的仍为②④⑥。B、C、D的每种分组都混合了两种关系。

迁移维度：从端点出现次数中扣除重复位置，再进行双指标关系分类。

原创迁移练习2

以下四个圆片制作方案均为教学模拟。每个方案从一个没有内部线条的圆开始，依次画入m条弦。每次新弦与旧弦在圆内形成的交点互异，不经过已有交点，也不与旧弦重合。k序列按画入顺序记录每条新弦与旧弦的圆内交点数。d为最终由恰好两条弦共用的圆周端点位置数，不存在三个及以上端点重合。哪一方案最终满足“圆内分区数恰比圆周不同端点数多1”？

A．m=3，d=0，k序列为0、1、1

B．m=3，d=1，k序列为0、0、2

C．m=4，d=2，k序列为0、1、1、1

D．m=4，d=1，k序列为0、0、1、1

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答案：B

新弦有k个互异圆内交点时新增k+1个区域，所以R=1+m+各k之和；圆周不同端点数P=2m-d。A得到(R,P)=(6,6)，B为(6,5)，C为(8,6)，D为(7,7)，仅B的差为1。交叉核验按制作顺序累计区域：A为1→2→4→6；B为1→2→3→6；C为1→2→4→6→8；D为1→2→3→5→7，与公式结果一致。共享的圆周端点不属于k所记录的圆内交点。

迁移维度：利用新增线段的分面效应重建分区数，并与去重后的圆周点数比较。

原创迁移练习3

某教学模拟装置由若干层相互独立的圆片组成。每个装置的各层圆片具有相同的圆周接点数P，但各层的分区数可以不同；S为该装置所有层的圆内分区数之和，L为层数。现按“平均每层分区数等于每层圆周接点数”和“平均每层分区数大于每层圆周接点数”分成两类。下列分类正确的是：

装置	层数L	每层圆周接点数P	各层分区数之和S
①	2	5	10
②	3	4	15
③	4	3	12
④	2	6	14
⑤	3	5	18
⑥	4	4	16

A．①②③，④⑤⑥

B．①②④，③⑤⑥

C．①③⑤，②④⑥

D．①③⑥，②④⑤

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答案：D

先统一为每层口径。S/L依次为5、5、3、7、6、4，与P比较，①③⑥相等，②④⑤较大，因此选D。交叉核验可避免除法，计算S-L×P，依次为0、3、0、2、3、0，得到相同分类。A、B、C均将差值为0和大于0的装置混在同一组。直接比较S与P会把总量和每层数量混用。

迁移维度：先统一总量与平均量的统计口径，再比较两项数量关系。

原创迁移练习4

教学模拟中，一个圆片原有8个圆内分区、7个圆周不同接点。现分别从这一相同初始状态出发，实施下列四种独立操作。每种操作都只增加一条弦，均已确认可以实现；新弦不与旧线条重合，不经过已有圆内交点，所述圆内交点均互异。“新端点”指此前没有内部线条接触的圆周位置，“旧接点”指已有圆周接点。哪种操作能使操作后仍满足“分区数恰比圆周不同接点数多1”？

A．两个端点都是新端点，与旧线条没有圆内交点

B．一个端点是旧接点，另一个是新端点，与旧线条有1个圆内交点

C．两个端点都是新端点，与旧线条有1个圆内交点

D．两个端点都是旧接点，与旧线条没有圆内交点

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答案：C

一条新弦有k个互异圆内交点时，分区数增加k+1；圆周点数只按新端点的数量增加。A操作后为9个分区、9个圆周点，差0；B为10个分区、8个圆周点，差2；C为10个分区、9个圆周点，差1；D为9个分区、7个圆周点，差2。故只有C正确。交叉核验从差值变化入手：原差值为1，要保持不变，必须使新增分区数等于新增圆周点数；四项增量分别为(1,2)、(2,1)、(2,2)、(1,0)，仅C满足。

迁移维度：从静态计数迁移到增量分析，判断操作能否保持两项数量的差值。

原创迁移练习5

以下为教学模拟的六个连通圆形线网审校记录。V包含所有圆周接点及圆内交接点；E包含被这些点切分后的全部直线边和圆弧边；P仅为圆周不同接点数。V、E、P均已核实无误，“登记分区数”中恰有一行错误。已知圆内分区数R=E-V+1。修正错误后，需按R=P和R>P分类。下列审校意见正确的是：

线网	V	E	P	登记分区数
①	8	13	6	6
②	6	10	5	5
③	9	16	6	8
④	9	16	7	8
⑤	7	12	5	5
⑥	8	13	6	6

A．⑤的分区数应改为6；分类为①②⑥，③④⑤

B．⑤的分区数应改为6；分类为①②⑤，③④⑥

C．④的分区数应改为7；分类为①②④，③⑤⑥

D．③的分区数应改为7；分类为①②③，④⑤⑥

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答案：A

按R=E-V+1计算，六个线网的真实分区数依次为6、5、8、8、6、6，只有⑤登记错误，应由5改为6。再计算R-P，依次为0、0、2、1、1、0，因此①②⑥相等，③④⑤较大，选A。B虽然修正了⑤，却将⑤与⑥分错组；C、D均错误地修改了原本正确的分区数。交叉核验将登记分区数代入E=V+R-1：⑤得到7+5-1=11，与已核定的E=12矛盾，其余五行均相符；将⑤改为6后等式成立。

迁移维度：用独立结构公式审校原始计数，再判断复合数量关系，避免错误记录传导至分类。